（计算数学专业论文）两类矩阵方程的正交解研究.pdf

r e s e a r c ho nt h es o l u t i o n so ft w oc l a s s e so fm a t r i x e q u a t i o n so v e ror th o g o n a lm a t r i c e s b y g o n gt a o b s h u n a nu n i v e r s i t yo fa r t s s c i e n c e 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o i o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rl i a oa n p i n g m a y 2 0 1 1 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明 所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果 除了文中特别加以标注引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体 均已在 文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名 誓日期 al 年 f 月 2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口 在 年解密后适用本授权书 2 不保密可 请在以上相应方框内打 作者签名 导师签名 日期 加 1 年f 月 7 日 日期 加c 1 年 月刍 日 硕士学位论文 摘要 线性矩阵方程的求解问题是近年来数值代数领域重点研究的问题之一 它在 参数识别 自动控制理论 勘测 遥感学领域都有着广泛的应用 正是由于不同的领 域 不同的背景 不同的约束条件或是不同的矩阵方程 所以就提出了许多不同的 矩阵方程求解问题及其相应的最佳逼近问题 本文系统地研究了线性矩阵方程a x b 在正交矩阵集合上的解 分别给出 了矩阵方程a x b 有中心对称正交解的充分必要条件以及有双对称正交解的充 分必要条件 并且分别给出了有解时的通解和最佳逼近解的表达式 接着通过算法 和算例验证了结论的正确性 最后给出了矩阵方程a x b d 有正交解的充分必 要条件 本文主要研究成果如下 1 研究了线性矩阵方程a x b 的中心对称正交解及其最佳逼近解 通过研 究中心对称正交矩阵的结构和性质 利用奇异值分解和谱分解得到了方程解存在 的充分必要条件以及通解和最佳逼近解的表达式 最后通过算法和算例验证了结 论的正确性 2 研究了线性矩阵方程4 x b 的双对称正交解及其最佳逼近解 通过研究 双对称正交矩阵的结构和性质 利用奇异值分解和谱分解得到了方程解存在的充 分必要条件以及通解和最佳逼近解的表达式 最后通过算法和算例验证了结论的 正确性 3 研究了线性矩阵方程a x b d 的正交解 通过等价的转化 将矩阵方程 a x b d 的求解问题转化为求另外一个矩阵方程的求解问题 并从该方程可解性 问题出发 给出了方程a x b d 有正交解的充要条件 关键词 线性矩阵方程 最佳逼近解 奇异值分解 谱分解 a b s t r a c t t h ep r o b l e mo fs o l v i n gl i n e a rm a t r i xe q u a t i o n sh a sb e e nah o tt o p i ci nt h ef i e l d o fn u m e r i c a la l g e b r ai nr e c e n ty e a r s i ti sa p p l i e di nm a n yf i e l d s s u c ha sp a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o n a u t o m a t i o nt h e o r y r e c o n n a i s s a n c e r e m o t es e n s i n g e t c d u et od i f f e r e n tf i e l d s d i f f e r e n tb a c k g r o u n d d i f f e r e n tc o n s t r a i n e dc o n d i t i o n so rd i f f e r e n tm a t r i x e q u a t i o n s m a n yd i f f e r e n tp r o b l e m so fs o l v i n gm a t r i xe q u a t i o n sa n d t h ec o r r e s p o n d i n g o p t i m a la p p r o x i m a t i o np r o b l e m sc a nb ep r o p o s e d i nt h i sp a p e r t h es o l u t i o n so ft h el i n e a rm a t r i xe q u a t i o n s 似 bo nt h es e to f o r t h o g o n a lm a t r i c e sa r es t u d i e ds y s t e m a t i c a l l y t h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rt h es o l v a b i l i t yo ft h el i n e a rm a t r i xe q u a t i o na x b w i t hc e n t r o s y m m e t r i co r b i s y m m e t r i co r t h o g o n a lm a t r i xc o n s t r a i n t sa r eg i v e n a n dt h eg e n e r a le x p r e s s i o n so f t h es o l u t i o n sa sw e l la st h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n sa r eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e i no r d e rt ov e r i f yt h ec o r r e c t n e s so ft h ec o n c l u s i o n s s o m ea l g o r i t h m sa n dn u m e r i c a l e x d e r i m e n t sa r er e p o r t e d f i n a l l y t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rs o l v a b i l i t y o ft h el i n e a rm a t r i xe q u a t i o na x b d w i t ht h eo r t h o g o n a ls o l u t i o n sa r eo b t a i n e d t h em a i nw o r k sa n dr e s u l t sa r ea sf o l l o w s 1 t h ec e n t r o s y m m e t r i co r t h o g o n a ls o l u t i o n sa sw e l la st h eo p t i m a la p p r o x i m a 七i o ns o l u t i o n so ft h el i n e a rm a t r i xe q u a t i o na x b a r es t u d i e d b ys t u d y i n gt h e s t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e so fc e n t r o s y m m e t r i co r t h o g o n a lm a t r i x t h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es o l v a b i l i t ya n dt h eg e n e r a le x p r e s s i o n so ft h es o l u t i o n sa sw e l l a st h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n sa r eo b t a i n e db ym e a n so ft h es i n g u l a rv a l u e d e c o m p o s i t i o na n ds p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n f i n a l l y i no r d e rt ov e r i f yt h ec o r r e c t n e s s o ft h ec o n c l u s i o n s s o m ea l g o r i t h m sa n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r er e p o r t e d 2 t h eb i s y m m e t r i co r t h o g o n a ls o l u t i o n sa sw e l la st h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o n s o l u t i o n so ft h el i n e a rm a t r i xe q u a t i o na x b a r es t u d i e d b ys t u d y i n gt h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e so fb i s y m m e t r i co r t h o g o n a lm a t r i x t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h es o l v a b i l i t ya n dt h eg e n e r a le x p r e s s i o n so ft h e s o l u t i o n sa sw e l la st h e o p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n sa r eo b t a i n e d b ym e a n so ft h es i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o na n ds p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n f i n a l l y i no r d e rt ov e r i f yt h ec o r r e c t n e s so ft h e c o n c l u s i o n s s o m ea l g o r i t h m sa n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r er e p o r t e d 3 t h eo r t h o g o n a ls o l u t i o n so ft h el i n e a rm a t r i xe q u a t i o na x b d a r es t u d i e d t h ep r o b l e mo fs o l v i n gt h ee q u a t i o na x b d c a nb et r a n s f o r m e di n t oa n o t h e r e q u a t i o ne q u i v a l e n t l y a n db yi n v e s t i g a t i n gt h es o l v a b i l i t yo ft h i sn e we q u a t i o n t h e i i i n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es o l v a b i l i t yo ft h ee q u a t i o na x b d a r e o b t a i n e d k e yw o r d s l i n e a rm a t r i xe q u a t i o n o p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n s i n g u l a r v a l u ed e c o m p o s i t i o n s p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n 硕士学位论文 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书 i 摘要 i i a b s t r a c t i i i 第1 章绪论 1 1 1 课题研究的意义与发展概况 1 1 2 本文研究的问题及主要工作 2 1 3 本文所用的记号 3 第2 章矩阵方程a x b 的中心对称正交解及其最佳逼近 4 2 1 问题的提出 4 2 2 问题2 1 1 有解的充要条件 4 2 3 问题2 1 1 通解的表达式 9 2 4 问题2 1 2 通解的表达式 1 1 2 5 算法和算例 1 3 第3 章矩阵方程a x b 的双对称正交解及其最佳逼近 2 2 3 1 问题的提出 2 2 3 2 问题3 1 1 有解的充要条件 2 2 3 3 问题3 1 1 通解的表达式 2 7 3 4 问题3 1 2 通解的表达式 3 0 3 5 算法和算例 3 3 第4 章矩阵方程a x b d 有正交解的条件 4 2 4 1 问题的提出 4 2 4 2 问题4 1 1 有解的充要条件 4 2 结论 4 7 参考文献 4 8 附录 攻读学位期间所发表的学术论文目录 5 1 致谢 5 2 v 螽 1 1 课题研究的意义与发展概况 线性矩阵方程的求解问题一直都是数值代数重点研究的领域之一 它在参数 识别 结构设计 非线性规划 有限元 自动控制理论 1 嘲 等领域都有着很广泛的应 用 正是由于不同的领域 不同的背景 不同的约束条件或是不同的矩阵方程 所 以就提出了许多不同的矩阵方程求解问题及其相应的最佳逼近问题 其中 最经典 的 研究结论最丰富的要属矩阵方程a x b 其实早在1 9 5 1 年b j e r h a m m a r 就 利用广义逆方法对矩阵方程a x b 进行研究 并得到了它有一般解的充分必 要条件以及通解的表达式吲 谢冬秀 胡锡炎 张磊提出并研究了方程在双对称矩 阵集合上的解的问题并且得到了一些很好的结论f 8 1 0 戴华在1 9 0 0 年通过矩阵分 解技术研究了矩阵方程a x b 有对称解的充分必要条件以及通解的表达式 1 1 1 1 1 a l l w r i g h tjc 和w o o d g a t ekg 研究了矩阵方程a x b 的对称半正定解以及 最小二乘解 1 2 1 4 1 9 8 9 1 9 9 0 年张磊 1 5 和廖安平 1 6 通过建立一个分块矩阵的对 称半正定性判断准则和奇异值分解方法 分别研究了矩阵方程a x b 的对称半 正定解 给出了方程解存在的充分必要条件以及通解表达式 1 9 9 0 年张磊研究了矩 阵方程a y b 的正交解及其最佳逼近问题 给出了方程有正交解的充分必要条 件以及通解和最佳逼近的表达式 1 7 1 1 9 9 2 年张磊 谢冬秀通过f r o b e n i u s 的正交不 变性进一步了研究了它在正交矩阵集合上的最小二乘问题 给出了它有正交解的 充分必要条件以及通解的表达式 1 8 1 2 0 0 6 年孟纯军 胡锡炎通过c s 分解给出了 矩阵方程a x b 有对称正交解的充分必要条件以及通解的表达式 1 9 有关矩阵 方程a x b 的其他方面的结论可以参考文献 2 0 2 6 对于线性矩阵方程a x b d 的研究也有一些很好的结论 早在1 9 5 5 年 p e n r o s e 就利用广义逆方法研究了矩阵方程似b d 有一般解的充分必要条 件以及通解的表达式 蜘 l a n c a s t a r 在1 9 7 0 年利用k r o n e c h e r 乘积和拉直映射技 术研究了矩阵方程a x b d 有一般解的条件 2 8 c h uke 2 9 1 和戴华 1 1 分别研究 了方程a x b d 的对称解 利用广义奇异值分解技术得到了方程存在对称解的 充分必要条件以及通解的表达式 1 9 9 8 年袁永新从另一类矩阵方程的可解性出发 研究了方程似b d 的对称解 给出了它有对称解的充分必要条件以及通解的 表达式 删 1 9 9 8 年c h umt 研究了此方程在正交约束下的最t j 乘问题 3 1 1 通 过最速下降法和摄影梯度法给出了判定一个矩阵是否为此矩阵方程在正交约束下 的最t j 乘的一些条件 有关矩阵方程a x b d 的其他方面的结论可以参考文 一1 一 两类矩阵方程的正交解研究 献 3 2 3 5 对于矩阵方程a x b d 的一种特殊情况a t x a b 它产生于振动理论 戴 华分别研究了方程a t x a b 的对称解 对称正定解 对称半正定解 并且利用矩 阵的奇异值分解方法分别给出了解存的充分必要条件以及有解时的通解表达式 矧 2 0 0 0 年廖安平 绷 屠文伟 3 剐分别研究了方程俨x a b 的双对称解 分别给出了 解存的充分必要条件以及有解时的通解表达式 2 0 0 2 年廖安平和白中治进一步研 究了此方程在双对称矩阵集合中的最小二乘解问题 并且利用标准相关分解方法 给出了问题有解的充分必要条件以及解的表达式 3 9 1 2 0 0 3 年谢冬秀还研究了方程 a t x a b 在半正定矩阵集合上的最小二乘问题 4 0 1 关矩阵方程a t x a b 的其 他方面的结论可以参考文献 4 1 4 4 1 对于其他类型的矩阵方程 组 似 y b c a x b c y d e x a b t y b c a r x a b t y b c d 等的研究也有很多很好的成果 4 5 5 4 1 1 2 本文研究的问题及主要工作 本文系统地研究了线性矩阵方程a x b 在正交矩阵集合上的解 分别给出 了矩阵方程a x b 有中心对称正交解的充分必要条件以及有双对称正交解的充 分必要条件 并且分别给出了有解时的通解和最佳逼近解的表达式 接着通过算法 和算例验证了结论的正确性 最后给出了矩阵方程a x b d 有正交解的充分必 要条件 本文记d 舻肌 s o r n b s o r n 肌分别表示全体n 佗阶正交矩阵 中心对 称正交矩阵 双对称正交矩阵的集合 本文主要研究了如下几个问题 问题1已知a b r m 炳 求x i 1 2 使得 a x b 1 1 这里 i 1 2 分别表示全体佗 扎阶中心对称正交矩阵集合s 0 形黼 双对称 正交矩阵集合b s o r r x n 问题2 已知戈 彤加 求又 使得 i i x x i2 v 廷 i i x x i l 1 2 其中 是问题1 的解集合 问题3 已知a 舻炳 b 舒 p d r p 求x o r n 黼 使得 a x b d 1 3 一2 一 硕士学位论文 第1 章主要介绍了线性矩阵方程的研究背景 意义及发展概况 并简单介绍了 本文的主要工作 第2 章研究了线性矩阵方程似 b 的中心对称正交解及其最佳逼近解 通过 研究中心对称正交矩阵的结构和性质 利用奇异值分解和谱分解得到了方程解存 在的充分必要条件以及通解和最佳逼近解的表达式 最后通过算法和算例验证了 结论的正确性 第3 章研究了线性矩阵方程a x b 的双对称正交解及其最佳逼近解 通过研 究双对称正交矩阵的结构和性质 利用奇异值分解和谱分解得到了方程解存在的 充分必要条件以及通解和最佳逼近解的表达式 最后通过算法和算例验证了结论 的正确性 第4 章研究了线性矩阵方程a x b d 的正交解 通过等价的转化 将矩阵方 程a x b d 的求解问题转化为求另外一个矩阵方程的求解问题 并从该方程可 解性问题出发 给出了方程a x b d 有正交解的充要条件 1 3 本文所用的记号 o i a t r a n k a a r m n 0 形 n s o 船x 仉 c s o r p x n b s o 酚x n l i 1 i f e a i a a 瓯 e k e 1 a 0 a 0 a b a b 零矩阵 单位矩阵 矩阵a 的转置 矩阵a 的秩 矩阵a 的m o o r e p e n r o s e 广义逆 全体m 他阶实矩阵的集合 全体n 佗阶正交矩阵的集合 全体死x 死阶对称正交矩阵的集合 全体nx 佗阶中心对称正交矩阵的集合 全体n 礼阶双对称正交矩阵的集合 矩阵的f r o b e n i u s 范数 a 表示矩阵a 的m o o r e p e n r o s e 广义逆 e j 为单位矩阵厶的第j 列0 1 j k 矩阵a 是对称 半 正定矩阵 矩阵a b 是对称 半 正定矩阵 一3 一 两类矩阵方程的正交解研究 第2 章矩阵方程4 x b 的中心对称正交解 及其最佳逼近 2 1 问题的提出 1 9 5 1 年 b j e r h a m m a r 利用矩阵的广义逆给出了矩阵方程a x b 有一般解 的充分必要条件以及通解的表达式吲 此后 戴华 1 1 j 1 1 谢冬秀 8 和胡锡炎 9 一1 0 l 廖安 平 1 6 和张磊 1 5 1 分别对它在对称矩阵集合 双对称矩阵集合和对称半正定矩阵集合 上的解进行了研究 对于此方程在正交矩阵集合上的研究 张磊 1 7 1 8 给出了它有正 交解的充分必要条件以及通解和最佳逼近解的表达式 并且给出了方程不相容时 的最小二乘解 本文就矩阵方程a x b 在中心对称正交矩阵集合上的解进行研 究 定义2 1 1 设a a 巧 舻黼 若 a n l i n l j i 歹 1 n 且 a t a 则称a 为中心对称正交矩阵 所有中心对称正交矩阵的全体记为c s o r x 本文主要研究如下二个问题 问题2 1 1已知a b 妒舫 求x c s o 舻加 使得 a x b 问题2 1 2 已知又 r n 姗 求又 使得 2 1 i i x x i2 锲曼i i x x l i 2 2 其中 是问题2 1 1 的解集合 本文首先讨论了中心对称正交矩阵的结构和性质 然后给出了问题2 1 1 有解 的充分必要条件 并给出了有解时通解的表达式 最后给出问题2 1 2 的解的一般 表达式 即问题2 1 1 的最佳逼近解 2 2 问题2 1 1 有解的充要条件 引理2 2 1x c s o r n 黼当且仅当 x x x r x i 由文 1 0 中引理2 的结论不难得到下面结论 一4 一 2 3 当佗 2 k 1 时 c s o r 2 k i x 2 k 1 cs k m pv t 瓯 s k ch s k 引理2 2 3x c s o r 2 七 2 七当且仅当 其中e f o r 七黼 x d f eo k 0f 击 尊 证明必要性 v x c s o r 2 知x 驰 由引理2 2 2 3 h m r 七黼 使得x f 鼠日鼠m1 i 不难发现 m s k hs k1 芦x p 弋k m 音专k m s ks k h 二s k m 令e s k m s k m s k f s k h s k ms k 嫩e f o r k 鼬 充分性 令 x df e o ld t o x d f eo d t or 一5 一 2 4 2 5 七 唬 刚 d 姐d 嚣一 嚣 肌咄 日川 一 日r 瓯 鼠 口m f 一 当且仅当 x df e 0 d t of 其中 e o r 七 1 肛h f 0 r 岛 知 吗睦 z1 0 i k 1 钜oi 1 0 一s kl 引理2 2 5 17 l 给定a b r m 期 则存在正交矩阵x o p 期 使得 的充分必要条件是 a x b a a t b b t 我们下面先给出当佗 2 k 时问题2 1 1 有解的充分必要条件 定理2 2 1 给定a b 舻 驰 则问题2 1 1 有解的充分必要条件是 a a t b b 丁 a 七a r b s 2 知b t 一6 一 2 6 2 7 证明必要性 若存在中心对称正交矩阵x c s o r 2 七 2 七使得a x b 由引 理2 2 3je f o r k 七使得 x 言0 t 其中d 为 2 5 式所示 从而 a 言三 t b c 2 8 a 言0 b c 2 9 令 a d 一a t a 2 b d 一b 1 一b 2 a a 1a 2 b b 1b 2 其中 石 石 瓦 瓦 a 1 a 2 b 1 b 2 矽 七 2 9 式等价于变为 石e 一b 1 一a 2 f 一b 2 由引理2 2 5 知 石芹 酉酽 2 1 0 石芹 瓦劳 2 1 1 又因为 所以 同理可以得到 川雉妒c 一 a l a 2 瓯 a 1 一a 2 鼠 b 1 b 2 鼠 b 1 一b 2 一7 一 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 土钜h 以 石 石 土以上讵 瓦 瓦 上两式等价于 即 从而 c 石石 吾0 c 瓦瓦 4 言三 b a 詈三 t b 令x 言三 t 则x c s r 跳 2 詹 且 证毕 当佗 2 忌 1 时 类似于定理2 2 1 的方法我们不难得到下面的结论 定理2 2 2 给定a b 舻 2 七十 则问题2 1 1 有解的充分必要条件是 a a t b b t a 岛七 l a t j e 7 岛七 1 b t 推论2 2 1 给定a b r m 跏 则问题2 1 1 有解的充分必要条件是 a a r b b t a s k a t b s b t 2 3问题2 1 1 通解的表达式 引理2 3 1 1 1 7 若有a b 舻加 且a a t b b 丁 则a b 有如下的奇异值分 a y 言三 u t b y 言兰 q t c 2 2 6 其中 d i a g a 1 0 2 0 k 0 k r a n k a r a n k b 阢q d 舻 n 引理2 3 2 1 1 7 给定a b 姗 且a a t b b 丁 a b 的奇异值分解如 2 2 6 则a x b 有正交解x 0 舻姗 且通解为 识p eo r n k x n k 定理2 3 1给定a b r m x 2 k 若a a t b b r a s 2 k a t b s 2 k b t 令 a d 一a 1 一a 2 b d 一b 1 b 2 一a 1 一a 2 一b 1 一b 2 r m 黼 三二乏享弓z i 二 乏萋弓萎 仁 石 k 言兰 u 芗 百i 言兰 q e 1 d i a g a 1 a 2 a 1 0 2 d i a g 1 p 2 p 2 0 仉 q 1 q 2 o r 知 七 k d 舻 m 则问题2 1 1 有解x c s o r 2 k 2 k 且 通解的表达式为 x 吾三 t 其中 e 巩 f 巩 钾 o r 舨七 q o 舻黼 2 2 8 d 如 2 5 式所示 p 1 o r k r 七一t 1 j p 2 o r k t 2 x k r 2 j 证明由定理2 2 1 的证明我们知道当a a t b b t a 后a t b 岛七b t 时 问 题2 1 1 有解 要求其通解只要找正交矩阵e e 使得 一a l e 酉 石f 葛 由引理2 3 1 我们知道可以对一a 1 一a 2 一b 1 一b 2 进行如 2 2 7 式的奇异值分解 由 引理2 3 2 可以求出 e 阢 f 巩 书 钾 o r 七黼 只 d r 知 n k r d q o r 岛 知 马 d r 一t 2 七一t 2 吾驴 去 尊 证毕 下面给出佗 2 k 1 时问题2 1 1 有解时的通解形式 定理2 3 2 给定a b 舻 2 七 若a a t b b t a 岛七 1 a t b 岛七 1 b t 令 a d 一a 1 一a 2 b d 酉瓦 一a 1 一b 1 r m m 忑 瓦 矽黼 且石 石 酉 瓦有如下的奇异值分解 a 1 k 1 o 石 f 2 0 牡 扣 一1 0 一 扣 扣 2 2 9 l l o 只 o 忍 0 o o 现o 酉 瓦 硕士学位论文 x 吾三 t e i 0 则问题 m i n i i x x i i l v x d r n n e c 贾 q 言o p w t p eo r n r x n r c 2 3 2 为了叙述方便 我们不妨假设 扎 2 k 即问题2 1 1 的通解 2 3 1 式中的正 交矩阵d 如 2 5 式所示 e f 如 2 2 8 式所示 我们给出这种情况下的问题2 1 1 的最佳逼近解 对于其他情况类似可得 定理2 4 1 给定贾 肝 nm 2 七 问题2 1 1 的通解 2 3 1 式中的正交矩 阵d 如 2 5 式所示 e f 如 2 2 8 式所示 令q 1 q 1 1 q 1 2 d 威煳 u i 其中 又 df e o 丁 0f e 仉 吉e 嘬三 q 2 q r 七 f 现 吉e 蜴三2 q 2 2 q 冗七 七 证明v x 其中 为问题2 1 1 的解集合 则 l i x 一又i i 儿 e i d t x d l f e 0 一 1 熹2 f 1 2 2 3 4 硕士学位论文 所以问题2 1 2 等价于求矩阵e f 使得 j l e x l l l i r a i n i i f 一咒2 l m i n 其中e f 如 2 2 8 式所示 又 e 一1 i 扣瓿l 三 书 i i 呼矗 q l l l l 1 w 曩i x 妣 j a o v l 嘿 q 小瓮1 所以 1 i e 一又 i i m i n 乍今v n 冗 m 1 i n x k r d1 1 只一晚贾 q 2 i i 由引理2 a 1 知道r e c u 2 1 1 2 2 1 1 q 1 2 r 1 吉吴 s f 丑 r c 以 r 1 c b 以吖 同理可以删b 叫蜴砌2 2 尼0 墨卜正 一8 2 嘲m 嘲刊 从而正交矩阵e f 如 2 3 4 式所示 证毕 2 5 算法和算例 为了验证文中结论的正确性 下面我们给出问题2 1 1 和问题2 1 2 的算法和 算例 以下结论都是在m a t l a b7 4 中运行得到的 为了叙述方便我们不妨假设输入 的矩阵a b 肜跏 贾 舻加 他为偶数 对于n 为奇数的情况类似可得 算法2 1 问题2 1 1 和问题2 1 2 的算法 步1输入矩阵a b 以及又 若满足条件a a t b b t a a t b s n b t 接步2 若条件不满足 问题2 1 1 和问题2 1 2 无解 步2 计算a d 一a i a s b d 瓦瓦 d 如 2 5 式所示 步3 计算石的奇异值分解得到 石 f 蜀o1 呼 令k v l l 2 oo 巩 明 仉2 对酉 进行q r 分解 得到正交矩阵q 1 令q 1 q i q 2 一 3 一 llj 挖 挖 q q n n x x 昭昭 d z d 仉厶 v 厶v i i lij 他q q n础酗 t n u u 一 一 r a 1 则酉 言0 q 是瓦的奇异值分解 步4 计算石的奇异值分解得到 石 k 言0 呀 由步3 n n 得n 瓦 言 q 令观 c 巩t 观2 q 2 c q q 2 2 步5 按 2 2 8 式计算问题2 1 1 的解 按 2 3 4 式计算问题2 1 2 的解 a 2 b 1 0 4 3 2 6 1 1 8 9 2 0 5 8 8 3 0 0 9 5 6 0 6 9 1 8 0 3 9 9 9 1 1 9 0 8 1 0 5 6 5 1 0 000 000 0 l o 2 5 0 7 0 6 5 4 6 0 2 7 2 8 0 5 8 8 82 5 0 8 01 6 3 1 2 0 0 3 9 6 1 6 1 0 21 0 000 00 00 i 7 3 4 3 9 4 0 5 6 0 13 2 0 0 32 1 4 3 0 4 3 2 2 93 8 7 0 7 4 8 1 2 30 6 5 8 0 1 0 00 0000 0 2 1 7 0 7 0 5 9 1 30 0 0 0 00 7 3 1 0 0 3 7 7 51 4 4 3 5 0 2 1 2 00 3 8 9 9 00 000 000 2 0 2 1 30 7 6 0 7 2 1 9 0 00 0 8 0 6 2 9 5 0 3 1 2 4 6 5 2 0 1 5 5 一1 2 7 0 9 00 000 000 1 5 2 3 2 0 0 5 8 51 2 8 4 51 7 0 6 70 3 5 5 3 2 8 2 2 73 2 4 6 91 3 3 1 0 00 000 0 00 a a 1a s 0 9 2 0 9 1 7 5 3 6 0 1 9 2 1 o 8 0 2 2 0 4 2 4 0 0 2 6 6 71 1 4 5 10 1 9 4 5 000 00 000 1 6 5 6 1 2 7 9 1 4 0 4 9 4 8 0 0 5 3 7 1 8 6 8 6 1 9 2 0 5 0 6 8 5 00 6 0 6 3 00 000 000 3 7 8 1 40 1 0 4 0 2 2 2 0 6o 5 9 1 82 9 1 8 4 4 3 9 6 6 2 5 8 5 0 4 3 9 0 9 00 000 0 00 1 4 硕士学位论文 b 2 t x l 0 0 5 1 3 1 0 6 6 50 9 0 0 0 0 5 6 5 50 8 0 2 5 1 7 6 3 7 0 9 4 5 8 0 1 6 0 2 00o00000 0 3 3 0 7 1 6 0 2 41 0 1 9 1 0 3 0 1 21 0 5 9 00 9 3 7 90 5 9 0 13 5 9 2 3 o000o000 3 8 1 3 91 4 4 3 0 0 2 5 7 92 9 0 7 7 2 4 6 2 40 9 0 8 11 5 6 5 11 9 0 9 2 00000000 b b 1b 2 一0 3 8 6 80 4 7 2 60 8 0 9 51 4 6 2 5 0 8 5 2 1 1 7 5 0 60 3 6 1 9 0 0 2 2 8 0 2 7 5 11 7 8 2 71 9 2 8 80 2 3 6 20 6 5 5 1 0 0 1 4 4o 4 7 7 80 1 1 0 6 0 8 2 6 20 2 6 0 60 3 9 6 1 一1 0 9 7 7 1 4 7 0 2 2 4 6 8 1 0 3 2 1 70 8 1 2 8 0 9 7 9 31 5 1 0 7 0 8 6 1 42 4 1 5 2 0 8 1 0 4 0 6 6 9 2 1 8 7 7 6 1 0 0 9 1 0 1 0 4 30 3 1 7 02 4 3 1 9 一o 4 0 2 1 1 2 7 6 2 0 2 5 9 90 6 8 0 5 1 0 0 4 6 0 1 2 7 80 8 0 3 5 0 8 4 0 50 9 1 4 11 7 2 2 3 0 3 7 2 30 2 3 3 40 2 8 3 0 0 0 6 2 50 5 8 0 90 2 8 0 5 0 1 3 6 00 1 0 1 91 3 1 8 61 2 3 9 50 2 8 9 8 0 3 7 1 61 7 7 8 60 8 2 0 41 3 1 4 2一o 8 0 2 0 0 6 5 3 10 1 2 5 7 0 2 4 7 3 一o 1 0 4 0 0 9 3 8 1 1 2 2 7 80 3 2 2 4 1 2 5 0 80 0 6 2 20 1 7 9 7 0 2 1 8 9 0 6 9 6 8 0 9 1 6 7 0 0 6 3 6 0 4 7 6 51 2 3 7 7 0 7 3 5 9 0 6 0 5 10 8 9 8 7 0 3 8 6 80 3 7 6 00 6 4 5 30 0 7 6 21 5 2 8 2 0 1 7 9 3 1 0 3 6 9 0 6 4 2 2 0 0 1 6 10 9 0 9 8 1 7 7 1 3 0 1 0 5 11 7 7 6 91 0 8 4 7 0 2 9 5 3 0 1 8 0 4 1 3 6 9 20 1 5 4 20 0 5 9 61 4 1 7 00 6 3 1 20 1 3 6 91 4 5 6 10 7 1 7 9 0 4 1 6 9 0 2 0 2 3 0 7 6 0 20 7 0 7 90 0 8 3 3 0 0 1 5 61 8 0 2 50 3 0 1 4 0 0 6 8 71 4 8 8 7 1 6 9 0 90 3 6 7 92 1 4 0 0 0 9 3 8 5 1 3 3 3 61 5 4 8 9 0 2 9 4 2 0 6 2 1 61 1 0 3 7 0 6 0 2 81 2 6 3 5 1 4 7 8 10 3 8 7 3 0 0 4 4 2 0 0 2 9 71 3 5 1 4 0 0 4 2 00 0 5 3 0 1 2 2 3 30 7 8 8 7 1 1 6 5 1 0 3 8 0 7 0 3 8 2 1 2 1 3 6 4 0 3 2 4 0 0 4 8 6 10 3 0 3 2 0 5 7 7 10 7 5 6 6 1 2 9 9 6 一o 5 5 3 9 0 1 6 6 80 5 0 6 50 2 4 4 5 0 7 3 0 10 5 2 7 61 1 6 4 2 0 7 2 4 0 0 9 3 2 4 1 7 0 5 2 1 0 2 8 6 0 7 1 8 3 1 1 4 3 61 6 7 1 7 1 0 2 3 5 0 5 6 5 0 1 3 1 5 8 0 2 7 6 5 0 0 9 9 40 1 5 3 5 1 4 1 3 20 8 0 0 11 7 0 1 60 6 2 1 7 0 3 0 1 50 3 9 4 5一o 1 1 6 40 1 3 3 8 0 5 9 1 80 8 8 3 8一o 4 9 4 2 1 3 3 5 5 2 5 9 9 6 0 0 9 8 60 6 8 9 2 1 0 0 6 20 5 1 8 9 0 2 2 4 20 1 7 2 7 一o 1 2 3 1 0 7 8 0 10 1 7 6 41 8 8 3 31 3 0 6 5 1 4 9 2 80 2 9 7 00 3 5 4 1 1 1 0 2 8 0 6 0 2 9 1 8 3 7 90 3 2 5 41 1 9 9 1 0 0 8 6 7 0 5 2 1 0 0 2 4 6 3 2 7 5 3 2 一1 5 一 两类矩阵方程的正交解研究 1 2 f0 9 4 2 8 1 5 0 2 3 0 0 9 5 2 2 5 7 7 3 0 0 1 2 6 0 1 5 5 4 0 1 4 5 7 0 2 5 2 0 1 0 2 3 90 8 1 9 20 0 3 1 2 2 0 8 6 3 0 3 4 5 9 0 0 9 8 5 1 1 6 9 0 0 8 5 8 1 0 0 6 7 8 0 2 3 4 6 0 6 1 3 80 3 8 6 10 9 8 6 30 9 9 7 2 0 0 2 2 0 1 1 3 5 4 0 0 8 1 8 1 6 3 1 6 1 7 3 1 3 0 8 6 1 00 6 4 3 30 4 3 4 50 6 1 8 3 0 2 9 7 9 1 7 6 7 0 0 3 1 7 90 4 7 8 8 1 2 3 0 82 9 1 9 9 0 0 2 5 7 1 8 6 5 91 1 5 4 3 1 7 8 1 3 0 7 9 6 3 0 4 4 7 82 6 4 1 6 1 2 4 8 6 0 3 7 9 90 0 8 1 91 0 4 6 1 i 0 6 6 0 4 0 6 9 0 80 3 8 6 8 0 9 0 4 4 0 1 5 7 1 0 2 4 2 4 1 6 0 8 02 1 2 6 9 x x 1 求中心对称正交矩阵x o c s o r l 6 1 6 使得a x o b 记 1 求得的解集合为 求一个特解又 使得 i i x x i i2 v 建 l l x x 1 1 解 通过计算 给定的矩阵a b 满足条件a f 4 r b b r a 6 a t b 两6 b t 所以问题2 1 1 和问题2 1 2 有解 通过上面的算法在微机上计算 有如下结果 a 1 a 2 b 1 一0 0 3 0 20 9 9 0 8 0 6 0 4 7 0 3 3 4 50 0 2 7 7 0 2 8 2 71 2 6 0 1 2 2 8 1 9 00o000o o 一0 7 2 1 4 0 9 6 2 30 6 8 8 5 1 6 6 9 81 8 3 0 42 7 0 2 00 5 0 9 9 2 5 6 7 8 00 00 0 000 1 4 9 0 91 8 9 9 84 2 5 8 9 1 7 6 6 6 1 8 4 9 9 3 6 4 5 3 3 4 4 4 21 5 4 2 3 00 00 0 000 0 5 8 1 60 6