统计学原理相关计算辅导.ppt

统计整理 一 统计分组的概念根据统计研究任务的要求和研究现象总体的内在特点 把现象总体按某一标志划分为若干性质不同但又有联系的几个部分称统计分组 总体的变异性是统计分组的客观依据 统计分组是总体内进行的一种定性分类 它把总体划分为一个个性质不同的范围更小的总体 二 统计分组的种类 统计分组按其任务和作用不同 分为类型分组 结构分组和分析分组 类型分组的目的是划分经济类型 结构分类的目的是研究同质总体的构成 分析分组的目的是研究现象总体内部诸标志间的依从和制约关系 下表是我国1994和1995年国民生产总值按照三产业分组情况 类型分组 1994和1995年某市居民人均月生活费收入情况 结构分组 某市某年某月按照商品流转额分组的流通率水平情况 分析分组 统计分组按分组标志的多少分为简单分组和复合分组 简单分组是将总体按一个标志进行分组 复合分组是将总体按两个或两个以上的标志重叠起来进行分组 统计分组按分组标志的性质分为品质分组和变量分组 三 统计分组的方法 1 品质标志分组方法品质标志分组一般较简单 分组标志一旦确定 组数 组名 组与组之间的界限也就确定 有些复杂的品质标志分组可根据统一规定的划分标准和分类目录进行 2 数量标志分组方法按数量标志分组的目的并不是单纯确定各组在数量上的差别 而是要通过数量上的变化来区分各组的不同类型和性质 数量标志分组方法从以下几个方面来说明 当碰上组与组之间界限不易划分时 按照统一的划分标准或分类目录进行编制 如 单项式分组和组距式分组 a 单项式分组对离散变量 如果变量值的变动幅度小 就可以一个变量值对应一组 称单项式分组 如学生按姓名分组 均可采用单项式分组 某地区职工家庭数按照儿童数分组情况 b 组距式分组离散变量如果变量值的变动幅度很大 变量值的个数很多 则把整个变量值依次划分为几个区间 各个变量值则按其大小确定所归并的区间 区间的距离称为组距 这样的分组称为组距式分组 连续变量由于不能一一列举其变量值 只能采用组距式的分组方式 且相邻的组限必须重叠 如以总产值 商品销售额 劳动生产率 工资等为标志进行分组 就只能是相邻组限重叠的组距式分组 在相邻组组限重叠的组距式分组中 若某单位的标志值正好等于相邻两组的上下限的数值时 一般把此值归并到作为下限的那一组 适用于连续变量和离散变量 等距分组和不等距分组等距分组是各组保持相等的组距 也就是说各组标志值的变动都限于相同的范围 不等距分组即各组组距不相等的分组 组限和组中值组距两端的数值称组限 其中 每组的起点数值称为下限 每组的终点数值称为上限 上限和下限的差称组距 表示各组标志值变动的范围 组中值是上下限之间的中点数值 以代表各组标志值的一般水平 组中值的计算是有假定条件的 即假定各组标志值的变化是均匀的 与组距式分组的假定条件相同 组中值 上限 下限 2 对于第一组是 多少以下 缺下限开口组组中值 上限 1 2邻组组距最后一组是 多少以上 的开口组 缺上限开口组组中值 下限 1 2邻组组距 550 400 四 变量分配数列编制的步骤 将原始资料按其数值从小到大重新排列只有把得到的原始资料按其数值大小重新排列顺序 才能看出变量分布的集中趋势和特点 为确定全距 组距和组数作准备 确定全距全距是变量值中最大值和最小值的差数 确定全距 主要是确定变量值的变动范围和变动幅度 如果是变动幅度不大的离散变量 即可编制单项式变量数列 如果是变量幅度较大的离散变量或者是连续变量 就要编制组距式变量数列 确定组距和组数组距的大小和组数的多少 是互为条件和互相制约的 当全距一定时 组距大 组数就少 组距小 组数就多 在实际应用中 组距应是整数 最好是 或 的整倍数 在确定组距时 必须考虑原始资料的分布状况和集中程度 注意组距的同质性 尤其是对带有根本性的质量界限 绝不能混淆 否则就失去分组的意义 在等距分组条件下 存在以下关系 组数 全距 组距 确定组限组限要根据变量的性质来确定 如果变量值相对集中 无特大或特小的极端数值时 则采用闭口式 使最小组和最大组也都有下限和上限 反之 如果变量值相对比较分散 则采用开口式 使最小组只有上限 用 XX以下 表示 最大组只有下限 用 XX以上表示 如果是离散型变量 可根据具体情况采用不重叠组限或重叠组限的表示方法 而连续型变量则只能用重叠组限来表示 编制变量数列经过统计分组 明确了全距 组距 组数和组限及组限表示方法以后 就可以把变量值归类排列 最后把各组单位数经综合后填入相应的各组次数栏中 根据资料编制分配数列 组距分别为80 100 100 120 120 140 140 160 例如 某车间同工种40名工人完成个人生产定额百分数如下 第一步 各个数据从小到大排列 第二步 确定全距 第三步 确定组距 158 87 71 71 4 17 75 提示 为了计算简便 我们把组距定为20 且上限和下限取整数 则有四组 80 100 100 120 120 140 140 160 第四步 编制变量数列 注意 编制变量数列原则为上限不在内原则 一 平均指标的概念 特点和种类 1 概念 平均指标又称统计平均数 用以反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间 地点条件下所达到的一般水平的综合指标 2 平均指标的特点 把总体各单位标志值的差异抽象化了 平均指标是个代表值 代表总体各单位标志值的一般水平 平均值 综合指标 按标志值所处的位置确定的平均数分 众数中位数 3 平均指标的种类有 按总体所有标志值计算的平均数分 算术平均数调和平均数几何平均数 静态平均数 动态平均数 二 平均指标的计算 算术平均数的计算算术平均数是计算平均指标的最常用方法 它的基本公式形式是总体标志总量除以总体单位总量 由于资料的不同 算术平均数有两种计算形式 即简单算术平均数和加权算术平均数 公式为 a 简单算术平均数计算公式 x代表算术平均数 x代表各单位标志值 代表总和符号 n代表总体单位数 b 加权算术平均数计算公式 x代表算术平均数 x代表各单位标志值 代表总和符号 f代表标志值出现的次数 x代表算术平均数 x代表各单位标志值 代表总和符号 f代表标志值出现的次数 当公式中各组次数相等时 则加权算术平均数又可以转化为简单算术平均数 即 例1 古冶区华云制衣厂2003年6月份按工人劳动生产率高低分组人数资料情况如下 试计算该企业工人平均劳动生产率 解 根据题意列计算表如下 xf24070 x 66件 人 f366 55657585 95 产量Xf 82506500525025501520 24070 已知 X 下限 邻组组距 2 例2 古冶区华云制衣厂2003年6月份按工人劳动生产率高低分组的人员分布资料情况如下 试计算该企业工人平均劳动生产率 解 根据题意列计算表如下 55 40 98 65 27 32 75 19 13 85 8 20 95 4 37 66件 人 已知 由第一列求的 调和平均数的计算在实际工作中 有时由于缺乏总体的单位数资料 而不能直接计算平均数 这时就可采用调和平均数计算 因此在统计工作中 调和平均数常常被作为算术平均数的变形来使用 调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种形式 公式分别为 简单调和平均数 加权调和平均数 x代表算术平均数 x代表各单位标志值 代表总和符号 n代表总体单位数 x代表算术平均数 x代表各单位标志值 代表总和符号 m代表各组标志总量 过度语 以上我们介绍了本节课的第一个重点内容 但上述两个公式应用条件都是直接或者见解已知总体的单位数资料 如果缺乏总体的单位数资料又该怎么办呢 这就需要计算调和平均数的计算 上面我们讲到 当公式中各组次数相等时 则加权算术平均数又可以转化为简单算术平均数 同理 当公式中各组标志总量相等时 则加权调和平均数又可以转化为简单调和平均数 例3 古冶区华云制衣厂2003年6月份按工人劳动生产率高低分组的生产班组数和产量资料如下 试计算该企业工人平均劳动生产率 解 根据题意列计算表如下 已知 f m x 150100703016 366 三 变异指标的计算 1 变异指标的概念 变异指标又称标志变动度 它综合反映总体各个单位标志值的差异程度或离散程度 分为以下几种 全距 平均差 标准差和变异系数 2 变异指标的作用有 反映现象总体总单位变量分布的离中趋势 说明平均指标的代表性程度 测定现象变动的均匀性或稳定性程度 3 标准差是总体中各单位标志值与算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根 又称为均方差 是测定标志变动程度的最主要的指标 计算公式如下 4 变异系数是以相对数形式表示的变异指标 常用的是标准差系数 变异系数的应用条件是 当所对比的两个数列的水平高低不同时 就不能采用全距 平均差或标准差进行对比分析 因为它们都是绝对指标 其数值的大小不仅受各单位标志值差异程度的影响 而且受到总体单位标志值本身水平高低的影响 为了对比分析不同水平的变量数列之间标志值的变异程度 就必须消除数列水平高低的影响 这时就要计算变异系数 计算方法如下 要求 分别计算两品种的单位面积产量 计算两品种亩产量的标准差和标准差系数 假定生产条件相同 确定哪一品种具有较大稳定性 宜于推广 解 根据题意得计算表如下 解 抽样估计 一 抽样的基本概念 全及总体和样本总体全及总体是我们所要研究的对象 样本总体是我们所要观察的对象 两者是有区别 全及总体又称母体 简称总体 它是指所要认识的 具有某种共同性质的许多单位的集合体 样本总体又称子样 简称样本 是从全及总体中随机抽取出来 代表全及总体的那部分单位的集合体 全及指标和抽样指标全及指标 根据全及总体各个单位的标志值或标志属性计算的 反映总体某种属性或特征的综合指示 样本容量和样本个数样本容量是指一个样本所包含的单位数 样本个数指从一个总体中可能抽取的样本个数 抽样指标 由样本总体各单位标志值计算出来反映样本特征 用来估计全及指标的综合指标 重复抽样和不重复抽样 重复抽样 它是这样安排的 要从总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本 每次从总体中随机抽取一个单位 并把它看作一次实验 连续进行n次实验构成一个样本 每次抽出的一个单位 把结果登记下来 又重新放回 参加下一次抽选 不重复抽样 它是这样安排的 要从总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本 每次从总体中随机抽取一个单位 并把它看作一次实验 连续进行n次实验构成一个样本 但每次抽出的一个单位不参加下一次抽选 二 抽样误差的概念及影响因素 1 抽样误差 是指由于随机抽样的偶然因素使样本各单位的结构不足以代表总体各单位的结构而引起抽样指标和全及指标之间的绝对离差 2 抽样误差影响因素 三 抽样平均数的平均误差 极限误差计算1 抽样平均误差的实质 抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标 它的实质含义是指抽样平均数 或成数 的标准差 说明样本指标代表性的大小 重复抽样 不重复抽样 2 抽样极限误差概念和计算 抽样极限误差 在做抽样估计时 应该根据所研究对象的变异程度和分析任务的要求确定可允许的误差范围 在这个范围内的数字都是有效的 我们把这种允许的误差范围称为抽样的极限误差 x x 例 某学校进行一次英语测验 为了解学生的考试情况 随机重复抽选部分学生进行调查 所得资料如下 试以95 45 的可靠性估计该校学生英语考试的平均成绩的范围 65 55 组中值 解 根据题意列计算表如下 四 抽样成数的平均误差 极限误差计算 重复抽样 不重复抽样 例 某学校进行一次英语测验 为了解学生的考试情况 随机重复抽选部分学生进行调查 所得资料如下 试以95 45 的可靠性估计该校学生英语考试成绩在80分以上的学生所占的比重的范围 成数的平均数为P 即表示总体中具有某种性质的单位数在总体单位数中所占的比重 p p 2 0 04996 0 0999280分以上学生所占的比重的范围 p p 0 48 0 099920 3801 0 5799在95 45 概率保证程度下 该校学生成绩在80分以上的学生所占的比重的范围在38 01 57 99 之间 例 某学校进行一次英语测验 为了解学生的考试情况 随机重复抽选部分学生进行调查 所得资料如下 试以95 45 的可靠性估计该校学生英语考试成绩在80分以上的学生所占的比重的范围 成数的平均数为P 即表示总体中具有某种性质的单位数在总体单位数中所占的比重 p p 2 0 04996 0 0999280分以上学生所占的比重的范围 p p 0 48 0 099920 3801 0 5799在95 45 概率保证程度下 该校学生成绩在80分以上的学生所占的比重的范围在38 01 57 99 之间 相关分析 一 相关的概念和种类 相关的概念相关分析就是研究两个或两个以上变量之间相关程度大小以及用一定函数来表达现象相互关系的方法 相关的种类 按相关的程度分 有完全相关 不完全相关和不相关 相关分析的主要对象是不完全的相关关系 按相关的性质分 有正相关和负相关 正相关指的是因素标志和结果标志变动的方向一致 负相关指的是因素标志和结果标志变动的方向相反 按相关的形式分 有线性相关和非线性相关 按影响因素多少分 有单相关和复相关 二 相关图表 相关表编制相关表不仅可以直观地显示现象之间的数量相关关系 而且它也是计算相关指标的基础 相关表有简单相关表和分组相关表 分组相关表又有单变量分组相关表和双变量分组相关表 相关图相关图有相关散点图和相关曲线图 借助相关图可以直观而形象地显示现象之间相关的性质和密程度 三 相关系数 相关系数的特点相关系数是测定变量之间相关密切程度和相关方向的代表性指标 相关系数用符号 表示 其特点表现在 参与相关分析的两个变量是对等的 不分自变量和因变量 因此相关系数只有一个 相关系数有正负号反映相关关系的方向 正号反映正相关 负号反映负相关 计算相关系数的两个变量都是随机变量 利用相关系数判别相关密切程度的方法 当 r 1 表示x与y变量为完全线性相关 存在确定的函数关系 当 r 时 表示x与y为正相关 当r 0时 表示x与y为负相关 当 r 时 表示x与y没有线性相关关系当0 r 1时 表示x与y存在一定的线性相关关系 相关系数的计算利用相关系数的基本公式计算相当繁琐 但利用代数推演的方法可得到许多计算相关系数的简化式 如 四 回归分析 回归分析的意义回归分析是对具有相关关系的两个或两个以上变量之间数量变化的一般关系进行测定 确定一个相应的数学表达式 以便从一个已知量来推测另一个未知量 为估计预测提供一个重要的方法 2 回归与相关的区别与联系回归和相关都是研究两个变量相互关系的分析方法 相关分析研究两个变量之间相关的方向和相关的密切程度 但是相关分析不能指出两变量相互关系的具体形式 也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化关系 回归方程则是通过一定的数学方程来反映变量之间相互关系的具体形式 以便从一个已知量来推测另一个未知量 为估算预测提供一个重要的方法 相关分析既可以研究因果关系的现象也可以研究共变的现象 不必确定两变量中谁是自变量 谁是因变量 而回归分析是研究两变量具有因果关系的数学形式 因此必须事先确定变量中自变量与因变量的地位 计算相关系数的两变量是对等的 可以都是随机变量 各自接受随机因素的影响 改变两变量的地位并不影响相关系数的数值 在回归分析中因变量是随机的 自变量是可控制的解释变量 不是随机变量 因此回归分析只能用自变量来估计因变量 而不允许由因变量来推测自变量 回归分析和相关分析是互相补充 密切联系的 相关分析需要回归分析来表明现象数量相关的具体形式 而回归分析则应该建立在相关分析的基础上 依靠相关分析表明现象的数量变化具有密切相关 进行回归分析求其相关的具体形式才有意义 在相关程度很低的情况下 回归函数的表达式代表性就很差 简单线性回归方程的建立简单线性回归方程式为 式中 是 的估计值 代表直线在 轴上的截距 表示直线的斜率 又称为回归系数 回归系数的涵义是 当自变量 每增加一个单位时 因变量 的平均增加值 当 的符号为正时 表示两个变量是正相关 当 的符号为负时 表示两个变量是负相关 都是待定参数 可以用最小平方法求得 例如 某企业上半年产品产量与单位成本资料如下 要求 计算相关系数 说明两个变量相关的密切程度 配合回归方程 指出产量每增加1000件时 单位成本平均变动多少 假定产量为6000件时 单位成本为多少元 解 计算相关系数时 两个变量都是随机变量 不须区分自变量和因变量 考虑到要配和合回归方程 所以这里设产量为自变量 单位成本为因变量 计算相关系数 说明产量和单位成本之间存在高度负相关 配合回归方程 1 82 77 37 回归方程为 当产量为 件时 即 代入回归方程 元 指数分析 一 综合指数的作用 特点 综合指数的作用综合指数是总指数的一种形式 编制综合指数的目的在于测定由不同度量单位的许多商品或产品所组成的复杂现象总体数量方面的总动态 综合指数包括数量指标指数和质量指标指数 2 综合指数编制的特点是 1 确定与指数化指标相联系的同度量因素 2 对复杂现象总体所包括两个因素 把其中一个因素 同度量因素的时期加以固定 以便消除其变化 来测定我们所要研究的那个因素即指数化指标的变动 二 指数编制的原则 编制数量指标综合指数时 指数化指标是数量指标 以基期的质量指标作为同度量因素 编制质量指标综合数时 指数化指标是质量指标 以计算期的数量指标为同度量因素 如果P表示质量指标 q表示数量指标 0表示基期 1报告期 那么根据指数编制原则 大家自己思索以下数量指标指数和质量指标指数计算公式如何编制 三 综合指数的计算与分析 数量指标指数此公式的计算结果说明复杂现象总体数量指标综合变动的方向和程度 此差额说明由于数量指标的变动对价值量指标影响的绝对额 P表示质量指标 q表示数量指标 0表示基期 1报告期 质量指标指数此公式的计算结果说明复杂现象总体质量指标综合变动的方向和程度 此差额说明由于质量指标的变动对价值量指标影响的绝对额 例 某厂生产的三种产品的有关资料如下 要求 1 计算三种产品的成本总指数以及由于单位产品成本变动使总成本使总成本变动的绝对额 2 计算三种产品产量总指数以及由于产量变动而使总成本变动的绝对额 解 根据题意列计算表如下 Kp Kq Kpq 1 产品成本指数由于单位产品成本变动使总成本使总成本变动的绝对额 46100 48000 1900 万元 2 产品产量总指数由于产量变动而使总成本变动的绝对额 48000 42000 6000 万元 下面我们大家看一下数量指标指数与质量指标指数之间的关系 首先 二者相对数之积等于什么 有什么含义 其次 二者绝对数之和等于什么 有什么含义 下面我们大家看一下数量指标指数与质量指标指数之间的关系 1 二者相乘 2 二者分子与分母相减后只和 解 根据题意列计算表如下 Kpq 3 总成本指数 46100 42000 4100 万元 指数体系 109 76 96 04 114 29 4100 万元 1900 6000分析说明 报告期总成本比基期增加了9 76 增加的绝对额为4100万元 由于各种产品的单位产品成本平均降低了3 96 甲 丙产品成本降低 乙产品成本提高 使总成本节约了1900万元 由于各种产品的产量增加了14 29 使报告期的总成本比基期增加了6000万元 返回 动态数列 一 动态数列的概念和种类 动态数列又称时间数列 它是指某社会经济现象在不同时间上的一系列统计指标值按时间先后顺序加以排列后形成的数列 因此 动态数列由两部分构成 一部分是反映时间顺序变化的数列 一部分是反映各个指标值变化的数列 动态数列按其指标表现形式的不同分为三种 总量指标动态数列总量指标动态数列是将总量指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列形成的数列 它反映的是现象在一段时间内达到的绝对水平及增减变化情况 总量指标动态数列又可分为时期数列和时点数列 所谓时期数列是指由时期指标构成的数列 即数列中每一指标值都是反映某现象在一段时间内发展过程的总量 时期数列具有以下特点 数列具有连续统计的特点 数列中各个指标数值可以相加 数列中各个指标值大小与所包括的时期长短有直接关系 所谓时点数列是指由时点指标构成的数列 即数列中的每一指标值反映的是现象在某一时刻上的总量 时点数列具有以下特点 数列指标不具有连续统计的特点 数列中各个指标值不具有可加性 数列中每个指标值的大小与其时间间隔长短没有直接联系 相对指标动态数列相对指标动态数列是将一系列同类相对指标值按时间先后顺序排列而形成的数列 它反映的是社会经济现象之间相互联系的发展过程 平均指标动态数列平均指标动态数列是将一系列平均指标值按时间先后顺序排列而形成的数列 它反映的是社会经济现象总体各单位某标志一般水平的发展变动程度 二 现象发展水平指标的种类及计算 发展水平发展水平又称发展量 它反映社会经济现象在各个时期所达到的规模和发展的程度 发展水平既可以表现为总量指标 也可表现为相对指标或平均指标 发展水平实际就是动态数列中的每一项具体数值 平均发展水平平均发展水平又称序时平均数 它是动态数列中各项发展水平的平均数 反映现象在一段时期中发展的一般水平 序时平均数与一般平均数既有区别又有共同之处 其区别是 序是平均数平均的是现象总体在不同时期上的数量表现 从动态上说明其在某一时期内发展的一般水平 而一般平均数是将总体各单位同一时间的变量值差异抽象化 用以反映总体在具体历史条件下的一般水平 序时平均数是根据动态数列计算的 而一般平均数是根据变量数列计算的 其共同点是 它们都是将各个变量值差异抽象化 平均发展水平的计算有以下几种方法 由总量指标动态数列计算序时平均数由于总量指标动态数列分为时期数列和时点数列 而形成以下几种计算方法 由时期数列计算 在间断时点数列的条件下计算又有两种情况 若间断的间隔相等 则采用 首末折半法 计算 公式为 由时点数列计算时点数列有连续时点数列和间断时点数列之分 其计算方法也不相同 例 根据下表资料计算第三季度平均生猪存栏头数某农场2001年第三季度生猪存栏数 时间7月1日8月1日9月1日10月1日生猪存栏数2040203520452058 头 注意 上月末资料 可作为下月初资料 或下月初的资料可作为上月末的资料 若间断的间隔不等 则应以间隔数为权数进行加权平均计算 公式为 例 某市人口及国民生产总值资料如下 1 2000年末人口数为182万人 2 2001年人口变动情况如下 单位 万人月份1471012月末人数185190192184184 3 2001年国民生产总值为392062 5万元试求 1 该市2001年平均人口数 2 2001年该市人均国民生产总值 解 根据题意可知 2001年该市平均人口 万人 该市2001年人均国民生产总值为 由相对指标或平均指标动态数列计算序时平均数由于这两种动态数列是由总量指标动态数列派生出来的 因此其计算序时平均数的方法也是由总量指标计算序时平均数的方法派生出来的 具体方法为 先根据资料分别计算出所对比的两个数列的序时平均数 然后将两个序时平均数进行对比 从而得到相对指标或平均指标动态数列的序时平均数 基本公式为 式中 代表相对指标或平均指标动态数列的序时平均数 b代表分子数列的序时平均数 a代表分母数列的序时平均数 数列和 数列既可以是时期数列也可以是时点数列 例1 某企业总产值和职工人数的资料如下 月份3456月总产值 万元 1150117012001370末职工人数 千人 6 56