多边形及其内角和镶嵌(教师版).doc

无忧教育：牵手无忧 成就未来多边形内外角和与镶嵌问题一、基础知识归纳（一）多边形有关概念1、多边形定义：在平面内，由不共线的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，组成多边形的线段，叫做多边形的边，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做外角4、正多边形：如果多边形的各内角都相等，各边也都相等，那就称它为正多边形.5、n边形的对角线条数6、n边形的内角和等于(n2)180（n3的正整数）7、任意多边形的外角和等于360. 注意：n边形的外角和恒等于360，它与边数的多少无关.（二）平面镶嵌1、用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。2、用相同的正多边形铺地板:当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360时，就铺成一个平面图形.二、重难点知识归纳（一）多边形内角和定理的证明2、过n边形一个顶点连对角线，可以得(n3)条对角线，并且将n边形分成(n2)个三角形，这(n2)个三角形的内角和恰好是多边形的内角和，等于(n2)180.3、在n边形一边上取一点与各顶点相连，得(n1)个三角形，n边形内角和等于这(n1)个三角形内角和减去所取点处的一个平角，即(n1)180180=(n2)180.注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想.(转化思想)（二）多边形外角和定理的证明多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n180，外角和等于n180(n2)180=360.（三）多边形边数与内角和、外角和的关系1、内角和与边数成正比，边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少.每增加一条边，内角和就增加180.（反过来也成立）2、多边形外角和恒等于360，与边数的多少无关.用来铺地的多边形必须满足同顶点的所有角的和等于360.三、典型例题讲解例1、已知两个多边形的内角和的和为1980，且这两个多边形的边数之比为23，求这两个多边形的边数.解：设这两个多边形的边数分别为2x和3x，由多边形内角和定理，可得：(2x2)180(3x2)180=1980解得x=3.2x=6,3x=9.这两个多边形的边数分别为6和9.说明：利用多边形内角和定理，通过列方程求解，是计算多边形边数常用的方法，但要注意的是，边数之比并不等于内角之比.例3、一个多边形，除了一个内角之外，其余各内角和为2750，求这个多边形对角线的条数分析：要求多边形对角线的条数，应先求出多边形的边数可设多边形的边数为n，除去的内角为，根据条件列方程求解解答：设这个多边形的边数为n，除去的内角为（0180），根据题意，得：(n2)180=2750，化简整理得n为正整数， 为整数，又0180，=130，n=18故多边形对角线的条数为（条）例4、足球一般是由许多黑白相同的小皮缝合而成的，黑块呈五边形，白块呈六边形（如图所示）已知黑块有12块，则白块有_.分析：观察可知每一个白块有3边与黑块相连，而黑块的每边都与白块的边相连，因此我们可以从边数的关系来求解解答：设白块有x块，则与黑块相连的边数为3x， 而黑块共有125=60条边故3x=60，x=20 即白块有20块多边形及镶嵌同步练习一选择题：1.n边形所有对角线的条数是( c ) A. B. C. D. 4.下列命题中，正确的有( D ) 没有对角线的多边形只有三角形内角和小于外角和的多边形只有三角形边数最少的多边形是三角形三角形的外角和小于任何一个多边形的外角和A.0个 B.1个 C.2个 D.3个5.某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是(C)A 正方形 B正六边形 C 正八边形 D 正十二边形4、C6.某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是( C ).A 正方形 B 矩形 C 正八边形 D正六边7.下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是正（B ）边形.A三 B、五 C、六 D、八二填空题：1.一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是 4 边形.2.多边形的边数增加一条时，其外角和 不变 ，内角和增加 180 .4.正八边形的外角和是_ 360_，每个内角是 135 .5.一个多边形有14条对角线，则这个多边形是 七边形 .6.如图7-3-2，已知四边形ABCD中，1=2，3=4，5=6，7=8，则E+F= 180 .7.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 360 时，就拼成一个平面图形.8.能用一种正多边形拼成地面的有 3 、 4 、 6 .10. 如图用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空；当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为 16 块；当白色瓷砖为n2块时，黑色瓷砖为 4n+4 。三.解答: 1.一个五边形的五个外角的读数比是12345，求这个五边形的五个内角的度数比.13:11:9:7:52.两个正多边形的边数之比为12，内角和之比为38，求这两个多边形的边数、内角和两个多边形的边数分别为11和22,内角和分别为16200,36000.3.一个多边除一个内角外，其余个内角的和为20300，求这个多边形的边数.设边数为n，这个内角为x，则00x1800根据题意，得(n-2)1800=x+20300(n-2)1800是1800的倍数 x+20300必是1800的倍数203001800=1150x=1800-500=1300(n-2)1800=180011+1800n-2=12 n=14答：这个多边形的边数为14.4.已知ABC的边BA、BC分别于DEF的边ED、EF垂直，垂足分别是M、N,且ABC=700,求DEF的度数.(1) 如图7-3-1（1）DEAB BME=900 EFBC BNE=900 B+BME+BNE+DEF=3600 又B=700 DEF=1100 (2) 如图7-3-1（2）DEAB