中考数学模拟试题汇编 四边形综合题.doc

2013年中考数学模拟试题汇编 四边形综合题一、选择题1. 如图，四边形abcd中，aca，bdb，且ac丄bd，顺次连接四边形abcd 各边中点，得到四边形a1b1c1d1，再顺次连接四边形a1b1c1d1各边中点，得到四边形a2b2c2d2，如此进行下去，得到四边形anbncndn下列结论正确的有（）四边形a2b2c2d2是矩形；四边形a4b4c4d4是菱形；四边形a5b5c5d5的周长是四边形anbncndn的面积是a、b、c、d、考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。专题：规律型。分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形abcd中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：根据矩形的判定与性质作出判断；根据菱形的判定与性质作出判断；由四边形的周长公式：周长边长之和，来计算四边形a5b5c5d5 的周长；根据四边形anbncndn 的面积与四边形abcd的面积间的数量关系来求其面积解答：解：连接a1c1，b1d1在四边形abcd中，顺次连接四边形abcd 各边中点，得到四边形a1b1c1d1 ，a1d1bd，b1c1bd，c1d1ac，a1b1ac；a1d1b1c1，a1b1c1d1，四边形abcd是平行四边形；b1d1a1c1（平行四边形的两条对角线相等）；a2d2c2d2c2b2b2a2（中位线定理），四边形a2b2c2d2 是菱形；故本选项错误；由知，四边形a2b2c2d2是菱形；根据中位线定理知，四边形a4b4c4d4是菱形；故本选项正确；根据中位线的性质易知，a5b5a3b3a1b1ab，b5c5b3c3b1c1bc，四边形a5b5c5d5的周长是2（a+b）；故本选项正确；四边形abcd中，aca，bdb，且ac丄bd，s四边形abcdab；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形anbncndn的面积是；故本选项错误；综上所述，正确；故选c点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系2.如图，在平行四边形 abcd中(abbc)，直线ef经过其对角线的交点o,且分别交ad、bc于点m、n，交ba、dc的延长线于点e、f，下列结论：ao=bo；oe=of； eamebn；eaocno，其中正确的是a. b. c. d.考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：根据平行四边形的对边相等的性质即可求得aobo，即可求得错误；易证aoecof，即可求得eo=fo；根据相似三角形的判定即可求得eamebn；易证eaofco，而fco和cno不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误答案：解：平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中acbd，即aobo，故错误；abcd，e=f，又eoa=foc，ao=coaoecof，oe=of，故正确；adbc，eamebn，故正确；aoecof，且fco和cno，故eao和cno不相似，故错误，即正确故选b点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了平行四边形对边平行的性质，本题中求证aoecof是解题的关键3. 如图，正方形abcd中，ab6，点e在边cd上，且cd3de将ade沿ae对折至afe，延长ef交边bc于点g，连结ag、cf下列结论：abgafg；bggc；agcf；sfgc3其中正确结论的个数是( )abcdfeg10题图a1 b2 c3 d4考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证abgafg；在直角ecg中，根据勾股定理可证bg=gc；通过证明agb=agf=gfc=gcf，由平行线的判定可得agcf；由于sfgc=sgcesfec，求得面积比较即可解答：解：正确因为ab=ad=af，ag=ag，b=afg=90，abgafg；正确因为：ef=de=cd=2，设bg=fg=x，则cg=6x在直角ecg中，根据勾股定理，得（6x）2+42=（x+2）2，解得x=3所以bg=3=63=gc；正确因为cg=bg=gf，所以fgc是等腰三角形，gfc=gcf又agb=agf，agb+agf=180fgc=gfc+gcf，agb=agf=gfc=gcf，agcf；错误过f作fhdc，bcdh，fhgc，efhegc，=，ef=de=2，gf=3，eg=5，=，sfgc=sgcesfec=344（3）=3故选c点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度4. 己知直角梯形abcd中，adbcbcd=90，bc=cd=2ad，e、f分别是bc、cd边的中点连接bf、df交于点p连接cp并延长交ab于点q，连揍af，则下列结论不正确的是( )acp平分bcdb四边形abed为平行四边形c，cq将直角梯形abcd分为面积相等的两部分dabf为等腰三角形【考点】直角梯形；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质【专题】证明题；几何综合题【分析】本题可用排除法证明，即证明a、b、d正确，c不正确；易证bcfdce（sas），得fbc=edc，bpedpf，bp=dp；bpcdpc，bcp=dcp，a正确；ad=be且abbe，所以，四边形abed为平行四边形，b正确；bf=ed，ab=ed，ab=bf，即d正确；【解答】证明：易证bcfdce（sas），fbc=edc，bf=ed；bpedpf（aas），bp=dp，bpcdpc（sss），bcp=dcp，即a正确；又ad=be且abbe，四边形abed为平行四边形，b正确；bf=ed，ab=ed，ab=bf，即d正确；综上，选项a、b、d正确；故选c【点评】本题考查了等腰三角形、平行四边形和全等三角形的判定，熟记以上图形的性质，并能灵活运用其性质，是解答本题的关键，本题综合性较好5.如图，在平行四边形abcd中，e为ab的中点，f为ad上一点，ef交ac于g，af=2cm，df=4cm，ag=3cm，则ac的长为（）a、9cmb、14cm c、15cmd、18cm考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质。分析：延长fg交cb的延长线于点h根据平行四边形的性质，得bc=ad=6cm，bcad根据aas可以证明afebhe，则bh=af=2cm，再根据bcad，得，求得cg的长，从而求得ac的长解答：解：四边形abcd是平行四边形，bc=ad=6cm，bcadeaf=ebh，afe=bhe，又ae=be，afebhe，bh=af=2cmbcad，即，则cg=12，则ac=ag+cg=15（cm）故选c点评：此题综合考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理此题中要能够巧妙构造辅助线6.下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（）a、平行四边形 b、正方形 c、等腰梯形 d、矩形考点：等腰梯形的性质；平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质专题：常规题型分析：利用对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形作出判断即可解答：解：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故选b点评：本题考查了等腰梯形、平行四边形、正方形及矩形的对角线的性质，牢记特殊的四边形的判定定理是解决此类问题的关键7. 如图，四边形abcd中，bad=adc=90，ab=ad=，cd= ，点p在四边形abcd上，若p到bd的距离为，则点p的个数为（）a、1 b、2 c、3 d、4【答案】b【考点】解直角三角形；点到直线的距离【专题】几何综合题【分析】首先作出ab、ad边上的点p（点a）到bd的垂线段ae，即点p到bd的最长距离，作出bc、cd的点p（点c）到bd的垂线段cf，即点p到bd的最长距离，由已知计算出ae、cf的长与比较得出答案【解答】解：过点a作aebd于e，过点c作cfbd于f，bad=adc=90，ab=ad=，cd= ，abd=adb=45，cdf=90-adb=45，ae=abtanabd=2 tan45=2 =2 ，所以在ab和ad边上有符合p到bd的距离为 的点2个，cf=cdtancdf= =1，所以在边bc和cd上没有到bd的距离为 的点，所以p到bd的距离为的点有2个，故选：b【点评】此题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到bd的最大距离比较得出答案8. 如图，在正方形abcd中，点o为对角线ac的中点，过点o作射线om、on分别交ab、bc于点e、f，且eof=90，bo、ef交于点p则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形abcd的面积等于四边形oebf面积的4倍；（3）be+bf=oa；（4）ae2+cf2=2opob，正确的结论有（）个a、1b、2c、3d、4考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。分析：本题考查正方形的性质，四边相等，四个角都是直角，对角线相等，垂直且互相平分，且平分每一组对角解答：解：（1）从图中可看出全等的三角形至少有四对故（1）错误（2）obe的面积和ofc的面积相等，故正方形abcd的面积等于四边形oebf面积的4倍，故（2）正确（3）be+bf是边长，故be+bf=oa是正确的（4）因为ae=bf，cf=be，故ae2+cf2=2opob是正确的故选c点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理和相似三角形的判定和性质等9. 已知正六边形的边心距为，则它的周长是（）a、6b、12 c、6 d、12考点：正多边形和圆。专题：计算题。分析：设正六边形的中心是o，一边是ab，过o作ogab与g，在直角oag中，根据三角函数即可求得边长ab，从而求出周长解答：解：如图，在rtaog中，og=，aog=30，oa=ogcos 30=2这个正六边形的周长=12故选b点评：此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题解题的关键是正确的构造直角三角形二、填空题1. 把一张矩形纸片abcd按如图方式折叠，使顶点b和顶点d重合，折痕为ef若bf=4，fc=2，则def的度数是60考点：翻折变换（折叠问题）。专题：计算题。分析：根据折叠的性质得到df=bf=4，bfe=dfe，在rtdfc中，根据含30的直角三角形三边的关系得到fdc=30，则dfc=60，所以有bfe=dfe=（18060）2，然后利用两直线平行内错角相等得到def的度数解答：解：矩形纸片abcd按如图方式折叠，使顶点b和顶点d重合，折痕为ef，df=bf=4，bfe=dfe，在rtdfc中，fc=2，df=4，fdc=30，dfc=60，bfe=dfe=（18060）2=60，def=bfe=60故答案为60点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等也考查了矩形的性质和含30的直角三角形三边的关系2. 1. 已知正方形abcd，以cd为边作等边cde，则aed的度数是考点：正方形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。专题：计算题。分析：当e在正方形abcd内时，根据正方形abcd，得到ad=cd，adc=90，根据等边cde，得到cd=de，cde=60，推出ad=de，得出dae=aed，根据三角形的内角和定理求出即可；当e在正方形abcd外时，根据等边三角形cde，推出ade=150，求出即可解答：解：有两种情况：当e在正方形abcd内时，正方形abcd，ad=cd，adc=90，等边cde，cd=de，cde=60，ade=9060=30，ad=de，dae=aed=（180ade）=75；当e在正方形abcd外时，等边三角形cde，edc=60，ade=90+60=150，aed=dae=（180ade）=15故答案为：15或75点评：本题主要考查对正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键3. 如图，在四边形abcd中，a=90，ad=4，连接bd，bdcd，adb=c若p是bc边上一动点，则dp长的最小值为4考点：角平分线的性质；垂线段最短分析：根据垂线段最短，当dp垂直于bc的时候，dp的长度最小，则结合已知条件推出c=adc，推出abcpbd，即可ad=dp解答：解：根据垂线段最短，当dpbc的时候，dp的长度最小，bdcd，adb=c，a=90，c=adc，abcpbd，ad=4，dp=4故答案为：4点评：本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、全等三角形的判定和性质、角平分的性质，解题的关键在于确定好dp处置于bc三、解答题1. 如图，在梯形abcd中，adbc，ab=dc，过点d作debc，垂足为e，并延长de至f，使ef=de连接bf、cd、ac（1）求证：四边形abfc是平行四边形；（2）如果de2=bece，求证四边形abfc是矩形考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质专题：证明题分析：（1）连接bd，利用等腰梯形的性质得到ac=bd，再根据垂直平分线的性质得到db=fb，从而得到ac=bf，然后证得acbf，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形解答：证明：（1）连接bd，梯形abcd中，adbc，ab=dc，ac=bd，acb=dbcdebc，ef=de，bd=bf，dbc=fbc，ac=bf，acb=cbfacbf，四边形abfc是平行四边形；（2）de2=bece ，deb=dec=90，bdedecbdc=bfc=90，四边形abfc是矩形点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大2. 如图5所示，在菱形abcd中，abc 60，deac交bc的延长线于点e求证：debe图5考点：菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，线段的倍分关系专题：四边形分析：思路一：易知四边形aced是平行四边形，则adcebc，从而可知bcbe，要说明debe，只需说明debc即可思路二：连接bd，先证bde90，再证dbe30，根据30的角所对的直角边等于斜边的一半可直接获得结论（自己完成证明过程）解答：abcd是菱形，ad/bc，abbccdda又abc 60，bcacaddeacaced为平行四边形ceadbc，deacdecebc，debe点评：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边相等，由此可以得出相等的线段，可实现线段的等量代换（转移），这就为证明线段相等或倍、分关系创造了条件3.如图，梯形abcd中，adbc，dcb=45，cd=2，bdcd过点c作ceab于e，交对角线bd于f，点g为bc中点，连接eg、af（1）求eg的长；（2）求证：cf=ab+afabegcdf24题图考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理分析：（1）根据bdcd，dcb=45，得到dbc=dcb，求出bd=cd=2，根据勾股定理求出bc=2，根据cebe，点g为bc的中点即可求出eg；（2）在线段cf上截取ch=ba，连接dh，根据bdcd，becd，推出ebf=dcf，证出abdhcd，得到ad=bd，adb=hdc，根据adbc，得到adb=dbc=45，推出adb=hdb，证出adfhdf，即可得到答案解答：（1）解：bdcd，dcb=45，dbc=45=dcb，bd=cd=2，在rtbdc中bc=2，cebe，点g为bc的中点，eg=bc=答：eg的长是（2）证明：在线段cf上截取ch=ba，连接dh，abegcdf24题答图bdcd，bece，ebf+efb=90，dfc+dcf=90，efb=dfc，ebf=dcf，db=cd，ba=ch，abdhcd，ad=dh，adb=hdc，adbc，adb=dbc=45，hdc=45，hdb=bdchdc=45，adb=hdb，ad=hd，df=df，adfhdf，af=hf，cf=ch+hf=ab+af，cf=ab+af点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键4. 如图，四边形abcd是矩形，直线l垂直平分线段ac，垂足为o，直线l分别与线段ad、cb的延长线交于点e、f（1）abc与foa相似吗？为什么？（2）试判定四边形afce的形状，并说明理由考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质。专题：证明题；综合题。分析：（1）根据角平分线的定义，同角的余角相等可知afo=cab，根据垂直的定义，矩形的性质可知abc=foa，由相似三角形的判定可证abc与foa相似；（2）先证明四边形afce是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判断解答：解：（1）直线l垂直平分线段ac，afo=cfo，cfo+fco=cab+fco=90，afo=cab，aof=cba=90，abcfoa（2）直线l垂直平分线段ac，af=cf，可证aofaoe，ae=cf，fo=eo四边形abcd是矩形，四边形afce是平行四边形，四边形afce是菱形点评：考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定，矩形的性质，菱形的判定，综合性较强，有一定的难度5. 如图，矩形abcd中，ab=6，bc=2，点o是ab的中点，点p在ab的延长线上，且bp=3一动点e从o点出发，以每秒1个单位长度的速度沿oa匀速运动，到达a点后，立即以原速度沿ao返回；另一动点f从p点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线pa匀速运动，点e、f同时出发，当两点相遇时停止运动，在点e、f的运动过程中，以ef为边作等边efg，使efg和矩形abcd在射线pa的同侧设运动的时间为t秒（t0）（1）当等边efg的边fg恰好经过点c时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边efg和矩形abcd重叠部分的面积为s，请直接写出s与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设eg与矩形abcd的对角线ac的交点为h，是否存在这样的t，使aoh是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由adcobpfe26题图考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形分析：（1）当边fg恰好经过点c时，cfb=60，bf=3t，在rtcbf中，解直角三角形可求t的值；（2）按照等边efg和矩形abcd重叠部分的图形特点，分为0t1，1t3，3t4，4t6四种情况，分别写出函数关系式；（3）存在当aoh是等腰三角形时，分为ah=ao=3，ha=ho，oh=oa三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值解答：解：（1）当边fg恰好经过点c时，cfb=60，bf=3t，在rtcbf中，bc=2，tancfb=，即tan60=，解得bf=2，即3t=2，t=1，当边fg恰好经过点c时，t=1；adcobpfeg26题答图（2）当0t1时，s=2t+4；当1t3时，s=t2+3t+；当3t4时，s=4t+20；当4t6时，s=t212t+36；（3）存在理由如下：在rtabc中，tancab=，cab=30，又heo=60，hae=ahe=30，ae=he=3t或t3，1）当ah=ao=3时，（如图），过点e作emah于m，则am=ah=，在rtame中，cosmae，即cos30=，ae=，即3t=或t3=，t=3或t=3+，adcobpehm26题答图2）当ha=ho时，（如图）则hoa=hao=30，又heo=60，eho=90，eo=2he=2ae，又ae+eo=3，ae+2ae=3，ae=1，即3t=1或t3=1，t=2或t=4；adcobpeh26题答图3）当oh=oa时，（如图），则oha=oah=30，hob=60=heb，点e和点o重合，ae=3，即3t=3或t3=3，t=6（舍去）或t=0；adco(e)bph26题答图综上所述，存在5个这样的t值，使aoh是等腰三角形，即t=3或t=3+或t=2或t=2或t=0点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论6.（1）如图，在正方形abcd中，aef的顶点e，f分别在bc，cd边上，高ag与正方形的边长相等，求eaf的度数（2）如图，在rtabd中，bad=90，ab=ad，点m，n是bd边上的任意两点，且man=45，将abm绕点a逆时针旋转90至adh位置，连接nh，试判断mn，nd，dh之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接bd分别交ae，af于点m，n，若eg=4，gf=6，bm=3，求ag，mn的长考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。分析：（1）根据高ag与正方形的边长相等，证明三角形相等，进而证明角相等，从而求出解（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果解答：（1）在rtabe和rtage中，abeage 同理，（2）， 又，amnahn ， abcfdeg（图）mn（3）由（1）知，设，则，解这个方程，得，（舍去负根）在（2）中，设，则即点评：本题考查里正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等7.如图所示，在梯形abcd中，adbc，ab=ad，bad的平分线ae交bc于点e，连接de（1）求证：四边形abed是菱形；（2）若abc=60，ce=2be，试判断cde的形状，并说明理由考点：梯形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）根据ab=ad及ae为bad的平分线可得出1=2，从而证得baedae，这样就得出四边形abed为平行四边形，根据菱形的判定定理即可得出结论；（2）过点d作dfae交bc于点f，可得出df=ae，ad=ef=be，再由ce=2be得出de=ef，从而结合abc=60，abde可判断出结论解答：（1）证明：如图，ae平分bad，1=2，ab=ad，ae=ae，baedae，be=de，adbc，2=3=1，ab=be，ab=be=de=ad，四边形abed是菱形（2）解：cde是直角三角形如图，过点d作dfae交bc于点f，则四边形aefd是平行四边形，df=ae，ad=ef=be，ce=2be，be=ef=fc，de=ef，又abc=60，abde，def=60，def是等边三角形，df=ef=fc，cde是直角三角形点评：本题综合考查了梯形、全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质，难度较大，解答本题需要掌握有一组邻边相等的平行四边形是菱形，直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半8. 如图，在abc中，acb=90，bc的垂直平分线de交bc于d，交ab于e，f在de上，且af=ce=ae（1）说明四边形acef是平行四边形；（2）当b满足什么条件时，四边形acef是菱形，并说明理由考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。分析：（1）证明aeceaf，即可得到ef=ca，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断；（2）当b=30时，四边形acef是菱形根据直角三角形的性质，即可证得ac=ec，根据菱形的定义即可判断解答：（1）证明：由题意知fdc=dca=90，efca，aef=eac，af=ce=ae，f=aef=eac=eca又ae=ea，aeceaf，ef=ca，四边形acef是平行四边形（2）当b=30时，四边形acef是菱形理由是：b=30，acb=90，ac=，de垂直平分bc，be=ce，又ae=ce，ce=，ac=ce，四边形acef是菱形点评：本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键9. 如图，已知矩形abcd的两条对角线相交于o，acb=30，ab=2（1）求ac的长（2）求aob的度数（3）以ob、oc为邻边作菱形obec，求菱形obec的面积考点：矩形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质。专题：综合题。分析：（1）根据ab的长结合三角函数的关系可得出ac的长度（2）根据矩形的对角线互相平分可得出obc为等腰三角形，从而利用外角的知识可得出aob的度数（3）分别求出obc和bce的面积，从而可求出菱形obec的面积解答：解（1）在矩形abcd中，abc=90，rtabc中，acb=30，ac=2ab=4（2）在矩形abcd中，ao=oa=2，又ab=2，aob是等边三角形，aob=60（3）由勾股定理，得bc=，所以菱形obec的面积是2点评：本题考查矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，综合性较强，注意一些基本知识的掌握是关键10.如图，在四边形abcd中，db平分adc，abc=120，c=60，bdc=30；延长cd到点e，连接ae，使得e=c（1）求证：四边形abde是平行四边形；（2）若dc=12，求ad的长考点：等腰梯形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质专题：计算题；证明题分析：（1）可证明abed，aebd，即可证明四边形abde是平行四边形；由abc=120，c=60，得abed；e= c=bdc=30，得aebd；（2）可证得四边形abcd是等腰梯形，ad=bc，易证bdc是直角三角形，可得bc= dc=6解答：证明：（1）abc=120，c=60，abc+bcd=180，abdc，即abed；又c=60，e= c，bdc=30，e=bdc=30，aebd，四边形abde是平行四边形；解：（2）abdc，四边形abcd是梯形，db平分adc，bdc=30，adc=bcd=60，四边形abcd是等腰梯形；bc=ad，在bcd中，c=60，bdc=30，dbc=90，又dc=12，ad=bc= dc=6点评：本题考查了知识点较多，有等腰梯形、直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，只有牢记这些知识才能熟练运用11. 如图，在abcd中，e、f分别为边ab、cd的中点，bd是对角线，过点a作agdb交cb的延长线于点g（1）求证：debf；（2）若g90，求证：四边形debf是菱形考点：菱形的判定；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。专题：证明题。分析：（1）根据已知条件证明adecbf，即3cbf，再根据角平分线的性质可知bdefbd，根据内错角相等，即可证明debf，（2）根据三角形内角和为180，可以得出12，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论解答：证明：（1）四边形abcd是平行四边形，4c，adcb，abcd点e、f分别是ab、cd的中点，aeab，cfcdaecf，adecbf，3cbf，adbcbd，2fbd，debf，（2）g90，四边形agbd是矩形，adb90，2+390，22+2318012，34deaebe，abcd，debf，四边形debf是菱形点评：本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定、平行的判定、菱形的判定，比较综合，难度适中10.12. 以四边形abcd的边abbccdda为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为efgh，顺次连接这四个点，得四边形efgh（1）如图1，当四边形abcd为正方形时，我们发现四边形efgh是正方形；如图2，当四边形abcd为矩形时，请判断：四边形efgh的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形abcd为一般平行四边形时，设adc=（090），试用含的代数式表示hae；求证：he=hg；四边形efgh是什么四边形？并说明理由考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定与性质专题：证明题分析：（1）根据等腰直角三角形得到角都是直角，且边都相等即可判断答案；（2）hae=90+a，根据平行四边形的性质得出，bad=180a，根据had和eab是等腰直角三角形，得到had=eab=45，求出hae即可；根据aeb和dgc是等腰直角三角形，得出ae=ab，dc=cd，平行四边形的性质得出ab=cd，求出hdg=90+a=hae，证haehdc，即可得出he=hg；由同理可得：gh=gf，fg=fe，推出gh=gf=ef=he，得出菱形efgh，证haehdg，求出ahd=90，ehg=90，即可推出结论解答：（1）答：四边形efgh的形状是正方形（2）解：hae=90+a，在平行四边形abcd中abcd，bad=180adc=180a，had和eab是等腰直角三角形，had=eab=45，hae=360hadeabbad=3604545（180a）=90+a，答：用含的代数式表示hae是90+a证明：aeb和dgc是等腰直角三角形，ae=ab，dc=cd，在平行四边形abcd中，ab=cd，ae=dg，had和gdc是等腰直角三角形，hda=cdg=45，hdg=hda+adc+cdg=90+a=hae，had是等腰直角三角形，ha=hd，haehdc，he=hg答：四边形efgh是正方形，理由是：由同理可得：gh=gf，fg=fe，he=hg，gh=gf=ef=he，四边形efgh是菱形，haehdg，dhg=ahe，ahd=ahg+dhg=90，ehg=ahg+ahe=90，四边形efgh是正方形点评：本题主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键13. 如图，在abcd中，e为bc的中点，连接de延长de交ab的延长线于点f求证：ab=bf考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：根据平行四边形的性质先证明decfeb，然后根据ab=cd，运用等量代换即可得出结论解答：解：由abcd是平行四边形得abcd，cde=f，c=ebf又e为bc的中点，decfeb，dc=fb又ab=cd，ab=bf点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，难度一般，对于此类题目关键是熟练掌握并运用平行四边形的性质14. 如图，点g是正方形abcd对角线ca的延长线上任意一点，以线段ag为边作一个正方形aefg，线段eb和gd相交于点h（1）求证：eb=gd；（2）判断eb与gd的位置关系，并说明理由；（3）若ab=2，ag=，求eb的长考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。分析：（1）在gad和eab中，gad=90+ead，eab=90+ead，得到gad=eab从而gadeab，即eb=gd；（2）ebgd，由（1）得adg=abe则在bdh中，dhb=90所以ebgd；（3）设bd与ac交于点o，由ab=ad=2在rtabd中求得db，所以得到结果解答：（1）证明：在gad和eab中，gad=90+ead，eab=90+ead，gad=eab，又ag=ae，ab=ad，gadeab，eb=gd；（2）ebgd，理由如下：连接bd，由（1）得：adg=abe，则在bdh中，dhb=180（hdb+hbd）=18090=90，ebgd；（3）设bd与ac交于点o，ab=ad=2在rtabd中，db=，eb=gd=点评：本题考查了正方形的性质，考查了利用其性质证得三角形全等，并利用证得的条件求得边长15. 如图，在abc中，acb=90，bc的垂直平分线de交bc于d，交ab于e，f在de上，且af=ce=ae（1）说明四边形acef是平行四边形；（2）当b满足什么条件时，四边形acef是菱形，并说明理由考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。分析：（1）证明aeceaf，即可得到ef=ca，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断；（2）当b=30时，四边形acef是菱形根据直角三角形的性质，即可证得ac=ec，根据菱形的定义即可判断解答：（1）证明：由题意知fdc=dca=90，efca，aef=eac，af=ce=ae，f=aef=eac=eca又ae=ea，aeceaf，ef=ca，四边形acef是平行四边形（2）当b=30时，四边形acef是菱形理由是：b=30，acb=90，ac=ab，de垂直平分bc，be=ce，又ae=ce，ce=ab ，ac=ce，四边形acef是菱形点评：本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键16.如图，在菱形abcd中，a60，点p、q分别在边ab、bc上，且apbq（1）求证：bdqadp；（2）已知ad3，ap2，求cosbpq的值（结果保留根号）考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。分析：（1）由四边形abcd是菱形，可证得adab，abdcbdabc，adbc，又由a60，易得abd是等边三角形，然后由sas即可证得bdqadp；（2）首先过点q作qeab，交ab的延长线于e，然后由三角函数的性质，即可求得pe与qe的长，又由勾股定理，即可求得pq的长，则可求得cosbpq的值解答：解：（1）四边形abcd是菱形，adab，abdcbdabc，adbc，a60，abd是等边三角形，abc120，adbd，cbda60，apbq，bdqadp（sas）；（2）过点q作qeab，交ab的延长线于e，bdqadp，bqap2，adbc，qbe60，qeqbsin602，beqbcos6021，abad3，pbabap321，pepbbe2，在rtpqe中，pq，cosbpq点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理、三角函数的性质此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用17. 如图，四边形abcd是平行四边形，ac是对角线，beac，垂足为e，dfac，垂足为f求证：df=be考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：根据平行四边形的对边相等得出bc=ad，再由两直线平行内错角相等可得出bca=dac，从而可判断出cebafd，利用全等三角形的性质即可得出结论解答：证明：四边形abcd是平行四边形bc=ad，bcadbca=dacbeac，deacceb=afd=90cebafdbe=df点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，属于基础