1.2.1集合之间的关系

练习：1.2006上海高考,理1已知集合A=-1,3,2m-1,集合B=3,m2.若BA,则实数m=_.活动：先让学生思考BA的含义,根据BA,知集合B中的元素都属于集合A,集合元素的互异性,列出方程求实数m的值.因为BA,所以3A,m2A.对m2的值分类讨论.解：BA,3A,m2A.m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.m=1.答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后,再代入验证.讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.变式训练已知集合M=x|2-x2,由于NM,则N=或N,要对集合N是否为空集分类讨论.解：由题意得M=x|x2,则N=或N.当N=时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0;当N时,关于x的方程ax=1中有解,则a0,此时x=,又NM,M.2.0a.综上所得,实数a的取值范围是a=0或0a,即实数a的取值范围是a|0a2.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:,a,a,b,a,b,c.(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集？活动：学生思考子集的含义,并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集;(2)由(1)总结当n=0,n=1,n=2,n=3时子集的个数规律,归纳猜想出结论.答案：(1)的子集有:,即有1个子集;a的子集有:、a,即a有2个子集;a,b的子集有:、a、b、a,b,即a,b有4个子集;a,b,c的子集有:、a、b、c、a,b、a,c、b,c、a,b,c,即a,b,c有8个子集.(2)由(1)可得:当n=0时,有1=20个子集;当n=1时,集合M有2=21个子集;当n=2时,集合M有4=22个子集;当n=3时,集合M有8=23个子集;因此含有n个元素的集合M有2n个子集.变式训练已知集合A2,3,7,且A中至多有一个奇数,则这样的集合A有( )A.3个 B.4个 C.5个 D.6个分析:对集合A所含元素的个数分类讨论.A=或2或3或7或2,3或2,7共有6个.答案：D点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合M中含有n个元素,则集合M有2n个子集,有2n-1个真子集,记住这个结论,可以提高解题速度.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.知能训练课本P7练习1、2.【补充练习】1.判断正误:(1)空集没有子集. ( )(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( )(4)若BA,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ( )分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲,当xB时必有xA,则xA时也必有xB.2.集合A=x|-1x3,xZ,写出A的真子集.分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的子集有2n个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集.解：因-1x3,xZ,故x=0,1,2,即a=x|-1x3,xZ=0,1,2.真子集:、1、2、0、0,1、0,2、1,2,共7个.3.(1)下列命题正确的是 ( )A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.1是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为 ( )10,1,2 1,-3=-3,1 0,1,21,0,2 0,1,2 0A.5 B.2 C.3 D.4(3)M=x|3x4,a=,则下列关系正确的是 ( )A.aM B.aM C.aM D.aM分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确,无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D.(2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.应是10,1,2,应是0,1,2,应是0.故错误的有.(3)M=x|3x4,a=.因3a4,故a是M的一个元素.a是x|3x2m-1即m2m-1,得m4.综上有m4.点评：此问题解决要注意：不应忽略;找A中的元素;分类讨论思想的运用.拓展提升问题:已知AB,且AC,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,则满足上述条件的集合A共有多少个？活动：学生思考AB,且AC所表达的含义.AB说明集合A是集合B的子集,即集合A中元素属于集合B,同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素.思路1:写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合,得满足条件的集合A;思路2:分析题意,仅求满足条件的集合A的个数,转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数.解法一：因AB,AC,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,由此,满足AB,有:,0,1,2,3,4,0,1,0,2,2,3,2,4,0,3,0,4,1,2,1,3,1,4,3,4,0,2,4,0,1,2,0,1,3,0,1,4,1,2,3,1,2,4,2,3,4,0,3,4,0,1,2,3,1,2,3,4,0,1,3,4,0,2,3,1,3,4,0,1,2,4,0,2,3,4,0,1,2,3,4,共25=32(个).又满足AC的集合A有:,0,2,4,8,0,2,0,4,0,8,2,4,2,8,4,8,0,2,4,0,2,8,0,4,8,2,4,8,0,2,4,8,共24=16(个).其中同时满足AB,AC的有8个:,0,2,4,0,2,0,4,2,4,0,2,4,实际上到此就可看出,上述解法太繁.解法二：题目只求集合A的个数,而未让说明A的具体元素,故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4,组成集合的子集有23=8(个).点评：有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决;关于集合的子集个数的结论要熟练掌握,其应用非常广泛.课堂小结本节课学习了:子集、真子集、空集、Venn图等概念;能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集;清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明.作业课本P11习题1.1A组5.设计感想本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知,在实际教学中,要留给学生适当的思考时间,使学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式.备课资料备选例题【例1】下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系,问集合A、B、C、D、E分别是哪种图形的集合？图1-1-2-6思路分析：结合Venn图,利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定.解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故A=四边形;梯形不是平行四边形、菱形、正方形,而菱形、正方形是平行四边形,故B=梯形,C=平行四边形;正方形是菱形,故E=正方形,即A=四边形,B=梯形,C=平行四边形,D=菱形,E=正方形.【例2】2006全国高中数学联赛山东赛区预赛,3设集合A=x|x|2-3|x|+2=0,B=x|(a-2)x=2,则满足BA的a的值共有( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个分析:由已知得A=x|x|=1或|x|=2=-2,-1,1,2,集合B是关于x的方程(a-2)x=2的解集,BA,B=或B.当B=时,关于x的方程(a-2)x=2无解,a-2=0.a=2.当B时,关于x的方程(a-2)x=2的解x=A,=-2或=-1或=1或=2.解得a=1或0或4或3,综上所得,a的值共有5个.答案：D【例3】2005天津高考,文1集合A=x|0x3且xN的真子集的个数是( )A.16 B.8 C.7 D.4分析:A=x|0x3且xN=0,1,2,则A的真子集有23-1=7个.答案：C【例4】已知集合A=x|1x3,B=x|(x-1)(x-a)=0,试判断集合B是不是集合A的子集？是否存在实数a使A=B成立？解析:先在数轴上表示集合A,然后化简集合B,由集合元素的互异性,可知此时应考虑a的取值是否为1,要使集合B成为集合A的子集,集合B的元素在数轴上的对应点必须在集合A对应的线段上,从而确定字母a的分类标准.当a=1时,B=1,所以B是A的子集;当1a3时,B也是A的子集;当a3时,B不是A的子集.综上可知,当1a3时,B是A的子集.由于集合B最多只有两个元素,而集合A有无数个元素,故不存在实数a,使B=A.点评：分类讨论思想,就是科学合理地划分类别,通过“各个击破”,再求整体解决(即先化整为零,再聚零为整)的策略思想.类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求,探索划分的数量界限是分类讨论的关键.思考(1)空集中没有元素,怎么还是集合?(2)符号“”和“”有什么区别?剖析:(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解,并产生怀疑的想法.产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景,其突破方法是通过实例来体会.例如,根据集合元素的性质,方程的解能够组成集合,这个集合叫做方程的解集.对于=0,x2+4=0等方程来说,它们的解集中没有元素.也就是说确实存在没有任何元素的集合,那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念,把不含任何元素的集合叫做空集.这就是建立空集这个概念的背景.由此看出,空集的概念是一个规定.又例如,不等