中考数学知识点 二次函数复习 二次函数的图象和性质.doc

二次函数的图象和性质一、 选择题a组1、(中江县2011年初中毕业生诊断考试) 小李从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条信息：（1）b24ac0；（2）c1；（3）ab0；（4）abc0. 你认为其中错误的有( )a. 2个 b. 3个 c. 4个 d. 1个答案：a2、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)在平面直角坐标系中，如果抛物线y2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) ay2(x + 2)22 by2(x2)2 + 2 cy2(x2)22 dy2(x + 2)2 + 2答案：a3、（2011淮北市第二次月考五校联考）下列函数中，不是二次函数的是（ ）a、y= b、y=2（x-1）2+4c、y= d、y=（x-2）2-x2答案 d4、（2011淮北市第二次月考五校联考）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a0）一个解x的取值范围（ ）x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c0.060.020.030.09a、3x3.23 b、3.23x3.24 c、3.24x3.25 d、3.25x0,b0,c0 b.a0,b0,co c.a0,c0 d.a0,co 答案：d16（2011北京四中模拟）己知二次函数，且则一定有（ ）.a： b： c： d：答案：a17（2011年北京四中34模）已知抛物线，若点p（，5）与点关于该抛物线的对称轴对称，则点的坐标是（ ）a（0 ，5 ） b（2 ，5） c（3 ， 5 ） d（4 ， 5 ）答案：d18（2011年北京四中34模）已知二次函数的图象如右图所示，下列结论：的实数)， 其中正确的结论有（ ）a1个 b2个 c3个 d4个答案：b19（2011年杭州市上城区一模）下列函数的图象，经过原点的是（ ）a. b. c. d.答案：a第7题20.（2011年杭州市模拟）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为 答案：d第9题21. （2011年杭州市模拟）如图，在直角梯形中，动点同时从点出发，点沿、运动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度 都是/，而当点到达点时，点正好到达点设点运动的时间为，的面积为则能正确表示整个运动中关于的函数关系的大致图象是a b c d 答案：b22（2011年海宁市盐官片一模）已知二次函数，则函数值y的最小值是（ ）a. 3b. 2c. 1d. 1答案：d23（赵州二中九年七班模拟）点e为正方形abcd的bc边的中点，动点f在对角线ac上运动，连接bf、ef设afx，bef的周长为y，那么能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）oxoooxxxyyyyabcdabcdfe答案：bxy024（赵州二中九年七班模拟）二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）。a. b.c. d.0答案：d二、 填空题a组1、（2011重庆市纂江县赶水镇）在正方形的网格中，抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，请你观察图象并回答：当1x”或“”或“=”号）答案：2、（重庆一中初2011级1011学年度下期3月月考）小颖同学想用“描点法”画二次函数的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：1、2、 3、4、5、 06、 17、 28、 9、10、 11、 1112、 213、 114、 215、 516、 由于粗心，小颖算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x= _答案：23、（2011年北京四中四模）抛物线的顶点坐标是_.答案：（0，3）4、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)抛物线的顶点坐标是_.答案：(3，6) 5、（2011北京四中模拟6）把抛物线向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是 .答案：46、（2011淮北市第二次月考五校联考）抛物线y=ax2+bx+c（a0）上两点，当x取-1与3时，y值相同，抛物线的对称轴是_.答案 x17（淮安市启明外国语学校20102011学年度第二学期初三数学期中试卷）如图，菱形abcd的三个顶点在二次函数y=ax22ax+ （a0）的图象上，点a、b分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点d的坐标为 第7题图答案：（2，）8、（2011年北京四中模拟28）抛物线的顶点坐标是 答案：（0，-1）9、(2011浙江杭州模拟14)老师给出一个y关于x的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x2时，y随x的增大而减小；丁：当x0.已知这四位同学叙述都正确。请写出满足上述所有性质的一个函数_.答案： 答案不唯一.例如：10、(2011浙江杭州模拟15)甲、乙两位同学对问题“求函数的最小值”提出各自的想法。甲说：“可以用配方法，把它配成，所以函数的最小值为-2”。乙说：“我也用配方法，但我配成，最小值为2”。你认为_（填写“甲对”、“乙对”、“甲、乙都对”或“甲乙都不对”）的。你还可以用_法等方法来解决答案：乙 图象（答案不唯一）11、（2011年黄冈中考调研六）抛物线y7x228x30的顶点坐标为 。答案12、已知关于x的函数y（m1）x22xm图像与坐标轴有且只有2个交点，则m 答案：13.(河北省中考模拟试卷)抛物线y=（x+1）2-2的顶点坐标是 答案：(-1,-2)b组1（2011年三门峡实验中学3月模拟）抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为_答案：或 第2题2（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，已知p的半径为2，圆心p在抛物线上运动，当p与轴相切时，圆心p的坐标为 . 答案：或3（ 2011年杭州三月月考）将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 。答案：oxayhcy=x24（2011 天一实验学校 二模）如图，在第一象限内作射线oc,与x轴的夹角为30o,在射线oc上取一点a，过点a作ahx轴于点h.在抛物线y=x2 (x0)上取点p，在y轴上取点q，使得以p，o，q为顶点的三角形与aoh全等，则符合条件的点a的坐标是 _ .源答案：(3，) ,(，) , (2，2) , (，)5（2011浙江杭州育才初中模拟）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。如图，点a、b、c、d分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点d的坐标为（0，-3）ab为半圆直径，半圆圆心m（1，0），半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为_。经过点c的“蛋圆”的切线的解析式为_。（08年益阳第20题）答案：y=x2-2x-3, y=-2x-36（2011年浙江杭州27模）我们知道，根据二次函数的平移规律，可以由简单的函数通过平移后得到较复杂的函数，事实上，对于其他函数也是如此。如一次函数，反比例函数等。请问可以由通过_平移得到。答案：向右平移1个单位，再向上平移3个单位第7题7. （2011年浙江省杭州市模2） 如图，在第一象限内作射线oc，与x轴的夹角为30，在射线oc上取一点a，过点a作ahx轴于点h在抛物线y=x2（x0）上取点p，在y轴上取点q，使得以p，o，q为顶点的三角形与aoh全等，则符合条件的点a的坐标是 .答案：(，)(，)(3，)(2，2)8.（安徽芜湖2011模拟）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为a（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c0的解集是 .答案: x-1或x3 9.（河南新乡2011模拟）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为答案：200910.（浙江杭州进化2011一模）老师给出一个y关于x的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x2时，y随x的增大而减小；丁：当x0.已知这四位同学叙述都正确。请写出满足上述所有性质的一个函数_.第11题图答案：答案不唯一.例如： 11（2011北京四中模拟）如图示：己知抛物线，关于轴对称，抛物线，关于轴对称。如果抛物线的解析式是，那么抛物线的解析式是 12（江西省九校20102011第一次联考）将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是 答案：y2x2-1 13（北京四中2011中考模拟12）一个函数具有下列性质：它的图象不经过第三象限；图象经过点（1，1）；当时函数值随自变量x增大而增大.试写出一个满足上述三条性质的函数的解析式 。答案：等（写一个即可）14（北京四中2011中考模拟13）把抛物线向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是 .答案：；15（北京四中2011中考模拟14）抛物线y=(k+1)x-9开口向下,且经过原点,则k=_.答案：-3;三、 解答题a组1、（衢山初中2011年中考一模）如图，在平面直角坐标系中，点a，b，c的坐标分别为（1）请在图中画出向下平移3个单位的像；（2）若一个二次函数的图象经过（1）中的三个顶点，求此二次函数的关系式xoyacb答案：20、（1）xoya cbaaa （2）由题意得的坐标分别是（0，-1），（3，-1），（2，0）设过点的二次函数的关系式为，则有 解得 二次函数的关系式为 2、(中江县2011年初中毕业生诊断考试)如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x轴交于a、b两点，d是抛物线的顶点，o为坐标原点. a、b两点的横坐标分别是方程的两根，且cosdab.（1）求抛物线的函数解析式；（2）作acad，ac交抛物线于点c，求点c的坐标及直线ac的函数解析式；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在一点p，使apc的面积最大？如果存在，请求出点p的坐标和apc的最大面积；如果不存在，请说明理由.答案：（10分）解：（1）解方程得，.a（2，0），b（6，0）. 过d作dex轴于e， d是顶点，点e是ab的中点，e（2，0）.在rtdae中，cosdab，dae45，aede4，d（2，4） （由a、b、d三点坐标解出二次函数解析式，不论用顶点式、两根式还是一般式均可）抛物线的解析式为（或写成）. （2）acad，由（1）dae45得：bac45，acg是等腰直角三角形. 设c（a，b）（显然a0，b0），则ba2，即c（a，a2）点c在抛物线上，a2（a2）24a28a200解之得：a110，a22（舍去）c（10，12）设直线ac的方程为，代入a、c的坐标，得 解之得：直线ac的解析式为yx2. （3）存在点p（4，3），使sapc最大54. 理由如下：作cgx轴于g，pfy轴交x轴于q，交ac于f. 设点p的横坐标是h，则g（10，0），p（h，），f（h，h2）pf pcf的高等于qg .sapcsapfspcf pfaqpfqg pf（aqqg）pfag 当h4时，sapc最大54. 点p的坐标为（4，3）. 3、（2011年北京四中四模）已知二次函数的图象经过点（1，5），（0，4）和（1，1）.求这个二次函数的解析式.答案：设所求函数的解析式为把（1，5），（0，4），（1，1）分别代入，得 ， 解这个方程组，得所求的函数的解析式为 4、（2011北京四中模拟7）已知二次函数，它的图象与x轴只有一个交点，交点为a，与y轴交于点b，且ab=2 . (1)求二次函数解析式； (2)当b0 c0 ac=1 二次函数与x轴，y轴交点坐标为 在rtdabo中， 把(1)代入(2)，解得 把 二次函数解析式为(2)当b0时，由二次函数的解析式 直线与二次函数图象交点c的坐标为 过c点作cfx轴，垂足为f，可推得 ab=ac，bac=90(如图所示) 在cf上截取cm=bd，连结em、am，则 可证dabddacm 从而可证ddaedmae 1=2，dae=eam dam=bac=90 dae=45 5、（2011北京四中模拟8）如图，在直角坐标系xoy中，正方形oabc的边长为2cm，点a、c分别在x轴、y轴的正半轴上。抛物线经过点b、c。（1）求抛物线的解析式；（2）点d、e分别是ab、bc上的动点，且点d从点a开始，以1cm/s的速度沿ab向点b移动，同时点e从点b开始，以1cm/s的速度沿bc向点c移动。运动t 秒（t2）后，能否在抛物线上找到一点p，使得四边形bedp为平行四边形。如果能，请求出t 值和点p的坐标；如果不能，请说明理由。答案 ;能,p6、（2011淮北市第二次月考五校联考）已知，二次函数y=x2+bx+c的图象过点a（1，0）和点b（3，0）两点，且与y轴交于点c，（1）求抛物线的解析式；（2）求abc的面积。答案 解：(1)y(x+1)(x-3)=x2-2x-3 2分 (2)ab=3-(-1)=4 4分 sabc=43=6 8分7、（2011淮北市第二次月考五校联考）丁丁推铅球的出手高度为1.6m，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动路线是抛物线y=0.1（xk）2+2.5，求铅球的落点与丁丁的距离。答案 y=0.1 x2+0.2kx-0.1k2+2.5 2分 -0.1k2+2.5=1.6 k3 k3 4分0.1（x3）2+2.5=0 x1=2(舍去) x2=8 所以, 铅球的落点与丁丁的距离为8cm. 8分8（淮安市启明外国语学校20102011学年度第二学期初三数学期中试卷）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过、两点，抛物线与y轴交点为c，其顶点为d，连接bd，点p是线段bd上一个动点（不与b、d重合），过点p作y轴的垂线，垂足为e，连接be（1）求抛物线的解析式，并写出顶点d的坐标；（2）如果p点的坐标为（x，y），pbe的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；12331dycbap2exo第8题图（3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点p作x的垂线，垂足为f，连接ef，把pef沿直线ef折叠，点p的对应点为p，请直接写出p点坐标，并判断点p是否在该抛物线上答案：（1）抛物线解析式为： 顶点的坐标为 （2）设直线解析式为：（），把两点坐标代入，得 解得直线解析式为，s=peoe 当时，取得最大值，最大值为 (e)12331dycbap2xofmh（3）当取得最大值，四边形是矩形作点关于直线的对称点，连接过作轴于，交轴于点设，则在中，由勾股定理，解得，由，可得， 坐标 不在抛物线上。9（2011年浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题）已知二次函数的图象q与x轴有且只有一个交点p，与y轴的交点为b（0，4），且acb， （1）求这个二次函数的解析式。（2）将一次函数y3x的图象作适当平移，使它经过点p，记所得的图象为l，图象l与q的另一个交点为c，请在y轴上找一点d，使得cdp的周长最短。答案：（1）由b（0，4）得，c=4. q与x轴的交点p（，0），由条件，得，所以=，即p（，0）所以解得所求二次函数的解析式为（2）设图象l的函数解析式为y=x+b，因图象l过点p（，0），opbcxypd所以，即平移后所得一次函数的解析式为y=令=，解得， 将它们分别代入y=，得， 所以图象l与q的另一个交点为c（，9）点p（，0）关于y轴的对称点为点p（2，0）则直线cp的解析式为，且与y轴的交点为即 10（2011年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题）已知：抛物线经过点，且对称轴与轴交于点.（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点、分别是轴、对称轴上的点，且四边形是矩形，点是上一点，将沿着直线翻折，点与线段上的点重合，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，点是对称轴上的点，直线交于点，求点坐标.(第3题图)答案：（1）由题意得解，得.（2）与重合，又，四边形是矩形，设，则，解，得，.（3）过点作，垂足为点.，.经过点，的直线的表达式为，.11（20102011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）如图1，已知抛物线经过坐标原点o和x轴上另一点e，顶点m的坐标为 (2,4)；矩形abcd的顶点a与点o重合，ad、ab分别在x轴、y轴上，且ad=2，ab=3.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形abcd以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点p也以相同的速度从点a出发向b匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0t3），直线ab与该抛物线的交点为n（如图2所示）. 当t=时，判断点p是否在直线me上，并说明理由； 设以p、n、c、d为顶点的多边形面积为s，试问s是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由图2bcoademyxpn图1bco(a)demyx答案：（1）（2）点p不在直线me上依题意可知：p（,），n（，）当0t3时，以p、n、c、d为顶点的多边形是四边形pncd，依题意可得：=+=+=抛物线的开口方向向下，当=，且0t3时，=当时,点p、n都重合，此时以p、n、c、d为顶点的多边形是三角形依题意可得，=3综上所述，以p、n、c、d为顶点的多边形面积s存在最大值12、(2011浙江杭州模拟15)_m_a_b_o_x_y第1题图如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点a、b，m是抛物线上一个动点，连接om。（1） 当m为抛物线的顶点时，求omb的面积；（2） 当点m在抛物线上，omb的面积为10时，求点m的坐标；（3） 当点m在直线ab的下方且在抛物线对称轴的右侧，m运动到何处时，omb的面积最大；答案：13、（2011年北京四中中考模拟20）(本题14分)已知直角梯形纸片oabc在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为o(0，0)，a(10，0)，b(8，)，c(0，)，点t在线段oa上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点a落在射线ab上(记为点a)，折痕经过点t，折痕tp与射线ab交于点p，设点t的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为s；(1)求oab的度数，并求当点a在线段ab上时，s关于t的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)s存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。yxobcatyxobcat解：(1) a，b两点的坐标分别是a(10，0)和b(8，)， ， 当点a在线段ab上时，ta=ta， ata是等边三角形，且， ，aabptecoyx ， 当a与b重合时，at=ab=， 所以此时。 (2)当点a在线段ab的延长线，且点p在线段ab(不与b重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中e是ta与cb的交点)，aatcoyxpf 当点p与b重合时，at=2ab=8，点t的坐标是(2，0) 又由(1)中求得当a与b重合时，t的坐标是(6，0)be 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，。 (3)s存在最大值 当时， 在对称轴t=10的左边，s的值随着t的增大而减小，当t=6时，s的值最大是。当时，由图，重叠部分的面积aeb的高是， 当t=2时，s的值最大是；当，即当点a和点p都在线段ab的延长线是(如图，其中e是ta与cb的交点，f是tp与cb的交点)，四边形etab是等腰形，ef=et=ab=4，综上所述，s的最大值是，此时t的值是。图514、（2011年北京四中中考模拟18）已知二次函数的图象经过点（2，0）、（1，6）。（1）求二次函数的解析式；（2）画出它的图象；（3）写出它的对称轴和顶点坐标。解：（1）依题意，得：，解得：所以，二次函数的解析式为：y2x24x（2）（图略）；（3）对称轴为x1，顶点坐标为（1，2）。15、（2011年北京四中中考模拟19）（本小题满分6分） 已知抛物线与x轴交于a（1，0）和b（3，0）两点，且与y轴交于点c（0，3）。（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴方程和顶点m坐标；（3）求四边形abmc的面积。解：（1）y=x2+2x+3；（2）x=1，m（1，4），（3）9；16、（北京四中模拟）已知：二次函数的图象与x轴交于a（1，0）、b（5，0），抛物线的顶点为p，且pb=，求：（1）二次函数的解析式。（2）求出这个二次函数的图象；（3）根据图象回答：当x取什么值时，y的值不小于0。解（1）由题意，设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-5),即y=ax2-6ax+5a 对称轴为x=3，设对称轴与x轴的交点为c(3,0) oc=3 ob=5 bc=2 p是顶点，bp= pc=4 p（3，-4） 二次函数的解析式为 （2）略（3）当1x5时，y017、（北京四中模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形abcd是边长为8的正方形，oa=2，求：（1）写出a、b、c、d各点的坐标；（2）若正方形abcd的两条对角线相交于点p，请求出经过o、p、b三点的抛物线垢解析式；（3）在（2）中的抛物线上，是否存在一点q，使qab的面积为16，如果存在，请求出q点的坐标；如果不存在，请说明理由。解：（1）a（2，0）、b（10，0）、c（10，8）、d（2，8） （2）过p作pex轴于e pe=ae=bc=4 oe=6 p（6，4） 设抛物线，即 故二次函数的解析式为：，顶点（5，） （3）存在点q使qab的面积为16，q1（4，4）、q2（6，4）q3（-2，-4）q4（-4，12） 18、（北京四中模拟）如图，抛物线，与轴交于点，且（i）求抛物线的解析式；（ii）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由； （iii）直线交轴于点，为抛物线顶点若，的值解：（i），且代入，得（ii）当可证 同理: 如图当 当 综上，坐标轴上存在三个点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形，分别是，（iii） 又 19、（2011杭州模拟25）在abc中，aob=90，oa=ob=10，分别以边oa、ob所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点p自点a出发沿线段ab匀速运动至点b停止。同时点d自原点o出发沿x轴正方向匀速运动。在点p、d运动的过程中，始终满足po=pd，过点o、d向ab做垂线，垂足分别为点c、e,设od=x(1)ap=(用含x的代数式表示)（2）在点p、d运动的过程中，线段pc与be是否相等？若相等，请给予证明，若不相等，说明理由。（3）设以点p、o、d、e为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围。（原创）20、（2011杭州模拟26）已知：二次函数的图象与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，其中点b在x轴的正半轴上，点c在y轴的正半轴上，线段ob、oc的长（oboc）是方程x210x160的两个根，且a点坐标为（6，0）（1）求此二次函数的表达式；（2）若点e是线段ab上的一个动点（与点a、点b不重合），过点e作efac交bc于点f，连接ce，设ae的长为m，cef的面积为s，求s与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的基础上试说明s是否存在最大值，若存在，请求出s的最大值，并求出此时点e的坐标，判断此时bce的形状；若不存在，请说明理由解：（1）解方程x210x160得x12，x281分 点b在x轴的正半轴上，点c在y轴的正半轴上，且oboc, b、c三点的坐标分别是b（2，0）、c（0，8） 3分将a（6，0）、b（2，0）、c（0，8）代入表达式yax2bx8，解得 所求二次函数的表达式为yx2x8 5分2）ab8，oc8，依题意，aem，则be8m，oa6，oc8， ac10.efac, befbac. 6分 .即 . ef. 7分过点f作fgab，垂足为g，则sinfegsincab . . fg8m. 8分ssbcesbfe