高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.4 三角函数的最值与综合应用课件.ppt

4 4三角函数的最值与综合应用 高考数学 考点三角函数的最值与综合应用1 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 1 y asinx bcosx sin x 其中cos sin 2 y 或y 可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式 或转化为sinx f y 或cosx f y 的形式 由正 余弦函数的有界性求解 2 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式 1 y asin2x bcosx c a 0 可转化为关于cosx的二次函数 2 y asinx a b c 0 令sinx t 则转化为求y at 1 t 1且t 0 的最值 一般可利用图象求解 知识清单 3 用解析法求三角函数的最值常见的函数形式y 或y ab 0 可转化为椭圆上的动点与定点连线斜率的最值问题 4 三角函数的实际应用是指用三角函数理论解答生产 科研和日常生活中的实际问题 三角函数应用题的特点 1 实际问题的意义反映在三角形中的边角关系上 这样的三角形有直角三角形 斜三角形 有时一个问题中既有直角三角形又有斜三角形 2 函数的模型多种多样 关于三角函数值域或最值的解题策略求三角函数的值域或最值 除了判别式 基本不等式 单调性等方法之外 结合三角函数的特点 还有如下常用方法 1 涉及正 余弦函数以及asin bcos sin 的都可考虑利用有界性处理 2 y asin2x bsinxcosx cos2x cy asin2x bcos2x c sin 2x c 再利用有界性处理 3 形如y asin2x bcosx c或y acos2x bsinx c a 0 的函数求最值时都可进行适当变换 通过配方来求解 4 sinx cosx sinx cosx在关系式中出现时 可考虑用换元法处理 如令t 方法技巧 sinx cosx 则sinx cosx 把三角问题转化为代数问题解决 5 形如y ab 0 的函数 可考虑数形结合 常用到直线斜率的几何意义 6 形如y x 或能确定在所给区间上单调性的函数 可考虑利用单调性求解 例1 2017浙江名校协作体 18 已知0 函数f x cos 2x sin2x 1 若 求f x 的单调递增区间 2 若f x 的最大值是 求 的值 解题导引 1 由二倍角公式和辅助角公式把函数化为y acos x b的形式 利用单调性得结论 2 由两角和的余弦公式和二倍角公式把函数化为y acos2x bsin2x c的形式 由函数最值求cos 的值 结合 的范围得结论 解析 1 由题意可知 f x cos2x sin2x 3分 cos 5分 由2k 2x 2k k z 得k x k k z 所以f x 的单调递增区间为 k z 8分 2 由题意可知 f x cos2xcos sin2xsin 所以f x cos2x sin sin2x 10分 由于函数f x 的最大值为 所以 1 12分 从而cos 0 又0 故 14分 三角函数综合应用的解题策略1 三角函数模型在实际中的应用主要体现在两个方面 一是已知函数模型 确定相应参数和自变量的范围问题 二是需要先将实际问题抽象转化成数学问题 建立三角函数模型 再利用三角函数的相关知识解决问题 最后需要检查此问题容易被疏忽的地方 注意所得结果要符合实际意义 2 三角函数的综合应用主要是利用三角函数的周期性 奇偶性 单调性和三角函数图象的对称性等知识 解决函数的零点 恒成立问题等 例2 2017浙江镇海中学模拟 18 已知函数f x cos sin2x 1 求函数f x 的单调递增区间 2 现将y f x 图象上的每一点纵坐标不变 横坐标变为原来的 m 0 使其在区间 0 1 上恰好出现2017次最大值 求m的取值范围 解题导引 1 由二倍角公式和两角和的余弦公式把函数解析式化简 利用单调性得结论 2 通过函数变换把问题转化为函数y sin2mx在闭区间 0 1 上的最小值的个数问题 利用三角函数的周期性 把问题转化为区间 0 1 内包含的周期的个数问题 解不等式得结论 解析 1 f x cos sin2x cos2xcos sin2xsin sin2x 令2k 2x 2k k z 得k x k k z 所以函数f x 的单调递增区间为 k z 2 设变换后的图象对应的函数为g x 则g x f mx sin2mx 要使g x 在区间