专题四 数列及算法框图.doc

专题四 数列及算法框图 蔡家坡高级中学 张红利一考情分析1. 数列是一类特殊函数，近年来一直是高考的重点。数列与函数、方程、不等式、解析几何等的关系十分密切。数列中的递推思想、函数思想以及数列求通项、求和的各种方法和技巧在中学数学中都有着十分重要的地位。每年高考大多是一道小题（主要考查等差数列与等比数列的概念、性质通项公式、前n项和等基础知识），一道大题(数列综合题、或与函数、不等式、数学归纳法等的综合)，重点围绕求数列通项、求前n项和、求参数范围（常涉及数列的单调性）、不等式的证明（或比较大小）等重点题型考查。2. 算法框图在高考中主要是以选择或填空为主，主要是求输出结果或判断条件。二. 考情快递考点统计考查频度考例展示等差数列 13北京10，广东11，浙江7，山东20等比数列10辽宁14，新课标全国5，安徽4数列求和9大纲全国5，湖北18，浙江19，江西16数列的综合应用10大纲全国22，山东20，安徽21，湖南19算法初步14天津3，广东13，山东6，福建12三考试主要内容1. 数列（1）数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）。了解数列是自变量为正整数的一类函数。(2) 等差数列、等比数列理解等差数列、等比数列的概念。掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。2. 框图（1）流程图了解程序框图了解工序流程图（即统筹图）能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用。（2）结构图了解结构图。会运用结构图梳理已学过的知识、梳理收集到的资料信息。四常考题型考点一 数列的性质1. 单调性的判断及应用例1. （2009年陕西高考卷）已知数列满足，.猜想数列的单调性，并证明你的结论；证：（1）由由猜想：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即易知，那么=即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立练习.已知an1an30，则数列an是(A)A递增数列 B递减数列C常数列 D不确定2. 周期性的判断及应用例2. (2012福建高考)数列an的通项公式anncos ，其前n项和为Sn，则S2 012等于 ()A1 006B2 012 C503 D0解析：选A 由题意知，a1a2a3a42，a5a6a7a82，a4k1a4k2a4k3a4k42，kN. 故S2 01250321 006.练习. 在数列an中，a1，an11(n2)，则a16_.解析由题可知a211，a312，a41，此数列是以3为周期的周期数列，a16a351a1.答案例3.（2012年陕西高考卷）设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列则数列的公比为( )解析：设数列的公比为（）。由成等差数列，得，即。由得，解得，（舍去），所以。练习.（2012高考新课标理5）已知为等比数列，则（ ） 【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，考点二 数列求通项1.由前几项猜出通项 2. 由前n项和求通项例4.（2006年陕西高考卷）已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项解: 10Sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn1=an12+5an1+6(n2), 由得 10an=(an2an12)+6(anan1),即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 , anan1=5 (n2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列 a13;当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3.练习. 已知数列 an 的前n项和Sn2n22n，数列 bn 的前n项和Tn2bn，求数列 an 与 bn 的通项公式；解：由于a1S14，当n2时，anSnSn1(2n22n)2(n1)22(n1)4n， 所以an4n(nN*)由b12b1，得b11，当n2时，bnTnTn1bn1bn，所以2bnbn1，所以数列bn为等比数列，其首项为1，公比为.所以bnn1.3. 由递推关系求通项（1）累加法 ： 形如an1anf(n)(f(n)是可以求和的)的递推式求通项公式时，常用累加法，巧妙求出ana1与n的关系式例5. 数列an的首项为3，bn为等差数列且bnan1an(nN*)若b32，b1012，则a8 ()A0 B3 C8 D11解析：因为bn是等差数列，且b32，b1012，故公差d2.于是b16，且bn2n8(nN*)，即an1an2n8，所以a8a76a646a5246a1(6)(4)(2)02463练习. 在数列an中a11，an13an2，求an解析an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.（2）累积法 : 形如an1anf(n)(f(n)是可以求积的)的递推式求通项公式时，常用累乘法，巧妙求出与n的关系式例6. 已知数列an中，a11，(2n1)an(2n3)an1(n2)，则数列an的通项公式为_解析：原递推公式即为(n2)，所以，(n2)各式左右两边分别相乘得(n2)，解得an(n2)，又a11适合上式，所以数列an的通项公式为an.练习. 已知数列an满足a11，anan1(n2)求an.解析anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得 ana1.4. 构造等比数列形如an1kanb(k1)(其中k、b为常数)，都可以构造等比数列an，先求出该等比数列的通项公式，再求an.例7在数列an中，a11，an2an11，则a5的值为()A30 B31 C32 D33解析a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131.答案B考点三 数列求和1. 公式法 2. 拆并法 3. 倒序相加法 4. 错位相减法 5.裂项相消法例8. (2012天津高考)已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Tna1b1a2b2anbn，nN*，证明Tn8an1bn1(nN*，n2)思路点拨(1)由已知条件列出方程组，求出等差、等比数列的公差、公比，写出通项公式；(2)利用错位相减法求解数列的前n项和，再作比较证明解：(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由条件，得方程组解得所以an3n1，bn2n，nN*.(2)证明：由(1)得 Tn22522823(3n1)2n， 2Tn222523(3n4)2n(3n1)2n1.由得Tn2232232332n(3n1)2n1(3n1)2n12(3n4)2n18，即Tn8(3n4)2n1. 而当n2时，an1bn1(3n4)2n1，所以，Tn8an1bn1，(nN*，n2)例9(2011新课标全国)等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列的前n项和解(1)设数列an的公比为q.由a9a2a6得a9a，所以q2.由条件可知q0，故q.由2a13a21，得2a13a1q1，所以a1. 故数列an的通项公式为an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2.2.所以数列的前n项和为.练习1.(2011辽宁)已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，由已知条件可得解得故数列an的通项公式为an2n.(2)设数列的前n项和为Sn， ，Sn.记Tn1， 则Tn，得：Tn1， Tn.即Tn4. Sn444.练习3【2012高考全国卷理5】已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（ ）(A) (B) (C) (D) 【解析】由,得，所以，所以又，选A.考点四 数列的综合应用例10（2008年陕西高考卷）已知数列的首项，（）求的通项公式；（）证明：对任意的，；（）证明：解法一：（），又，是以为首项，为公比的等比数列，（）由（）知，原不等式成立（）由（）知，对任意的，有 取则原不等式成立解法二：（）同解法一（）设，则，当时，；当时，当时，取得最大值原不等式成立（）同解法一练习. 已知等差数列an的前n项的和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，公比是q，且满足：a13，b11，b2S212，S2b2q.(1)求an与bn；(2)设cn3bn，若数列cn是递增数列，求的取值范围解：(1)由已知可得所以q2q120，解得q3或q4(舍)，从而a26，所以an3n，bn3n1.(2) 由(1)知，cn3bn3n2n. 由题意，cn1cn对任意的nN*恒成立，即3n12n13n2n恒成立，亦即2n23n恒成立，即2n恒成立由于函数yn是增函数，所以min23，故3，即的取值范围为(，3)3)年企业的剩余资金为4 000万元考点五 算法例1.【2012高考新课标理6】如果执行下边的程序框图，输入正整数和实数，输出，则（ ）为的和为的算术平均数和分别是中最大的数和最小的数和分别是中最小的数和最大的数【解析】根据程序框图可知，这是一个数据大小比较的程序，其中A为最大值，B为最小值，选C.【答案】C 例2.【2012高考陕西理10】右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A. B. C. D. 【答案】D.【解析】根据第一个条件框易知M是在圆内的点数，N是在圆外的点数，而空白处是要填写圆周率的计算公式，由几何概型的概念知，所以.故选D.练习 1. (2010陕西)如图是求x1，x2，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为()ASS*(n1) BSS*xn1CSS*n DSS*xn解析第一次执行S1(31)13，i2；第二次执行S3(32)14，i3；第三次执行S4(33)11，i4；第四次执行S1(34)10，i54，结束循环，故输出的结果是0，选B.2. (2011新课标全国)执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()A120 B720 C1 440 D5 040解析由题意得，p111，k16；k112，p122，k26；k213，p236，k36；k314，p6424，k46；k415，p245120，k56；k516，p1206720，k6不小于6，故输出p7