高考数学二轮复习 第三篇 攻坚克难 压轴大题多得分 第31练 函数与导数课件 文.ppt

第31练函数与导数 第三篇攻坚克难压轴大题多得分 明考情函数与导数问题是高考的必考题 作为试卷的压轴题 在第21题或第22题的位置 知考向1 导数的几何意义 2 导数与函数的单调性 3 导数与函数的极值 最值 研透考点核心考点突破练 栏目索引 规范解答模板答题规范练 研透考点核心考点突破练 考点一导数的几何意义 要点重组导数的几何意义 函数y f x 在x x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点 x0 f x0 处切线的斜率 方法技巧 1 已知斜率求切点 已知斜率k 求切点 x1 f x1 即解方程f x1 k 2 求切线倾斜角的取值范围 先求导数的取值范围 即确定切线斜率的取值范围 然后利用正切函数的单调性解决 1 2 3 解由计算可知 点 2 6 在曲线y f x 上 f x x3 x 16 3x2 1 y f x 在点 2 6 处的切线的斜率k f 2 13 切线方程为y 13 x 2 6 即y 13x 32 1 已知函数f x x3 x 16 1 求曲线y f x 在点 2 6 处的切线方程 解答 2 直线l为曲线y f x 的切线 且经过原点 求直线l的方程及切点坐标 解答 1 2 3 解设切点为 x0 y0 又 直线l过点 0 0 x0 2 y0 2 3 2 16 26 k 3 2 2 1 13 直线l的方程为y 13x 切点坐标为 2 26 1 2 3 1 求a的值 解答 解由题意知 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线斜率为2 所以f 1 2 1 2 3 2 是否存在自然数k 使得方程f x g x 在 k k 1 内存在唯一的根 如果存在 求出k 如果不存在 请说明理由 解答 1 2 3 解当k 1时 方程f x g x 在 1 2 内存在唯一的根 当x 0 1 时 h x 0 所以存在x0 1 2 使得h x0 0 所以当x 1 2 时 h x 0 1 2 3 当x 2 时 h x 0 所以当x 1 时 h x 单调递增 所以当k 1时 方程f x g x 在 k k 1 内存在唯一的根 1 2 3 解答 1 若a 1 求b的值 1 2 3 设y f x 与y g x x 0 在公共点 x0 y0 处的切线相同 由题意知 f x0 g x0 f x0 g x0 1 2 3 解答 2 用a表示b 并求b的最大值 1 2 3 解设y f x 与y g x x 0 在公共点 x0 y0 处的切线相同 由题意知 f x0 g x0 f x0 g x0 1 2 3 则当2t 1 3lnt 0 即0 t 时 h t 0 当2t 1 3lnt 0 即t 时 h t 0 故h t 在 0 上的最大值为故b的最大值为 1 2 3 考点二导数与函数的单调性 方法技巧 1 函数单调性的判定方法 在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在此区间内单调递增 如果f x 0 那么函数y f x 在此区间内单调递减 2 常数函数的判定方法 如果在某个区间 a b 内 恒有f x 0 那么函数y f x 在此区间内是常数函数 不具有单调性 3 已知函数的单调性求参数的取值范围 若可导函数f x 在某个区间内单调递增 或递减 则可以得出函数f x 在这个区间内f x 0 或f x 0 从而转化为恒成立问题来解决 注意等号成立的检验 4 解答 5 6 7 8 结合 可知 4 5 6 7 8 解答 2 若f x 为r上的单调函数 求a的取值范围 解若f x 为r上的单调函数 则f x 在r上不变号 结合 与条件a 0知 ax2 2ax 1 0在r上恒成立 即 4a2 4a 4a a 1 0 由此并结合a 0知 0 a 1 所以a的取值范围为 0 1 4 5 6 7 8 1 求b c的值 解答 解f x x2 ax b 4 5 6 7 8 2 若a 0 求函数f x 的单调区间 解答 解由 1 得f x x2 ax x x a a 0 当x 0 时 f x 0 当x 0 a 时 f x 0 所以函数f x 的单调递增区间为 0 a 单调递减区间为 0 a 4 5 6 7 8 3 设函数g x f x 2x 且g x 在区间 2 1 内存在单调递减区间 求实数a的取值范围 解g x x2 ax 2 依题意 存在x 2 1 使g x x2 ax 2 0成立 当x 2 1 时 解答 4 5 6 7 8 6 2017 全国 已知函数f x lnx ax2 2a 1 x 1 讨论f x 的单调性 若a 0 则当x 0 时 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 4 5 6 7 8 解答 证明 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 当x 0 1 时 g x 0 当x 1 时 g x 0时 g x 0 4 5 6 7 8 1 若f x 在x 0处取得极值 确定a的值 并求此时曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 因为f x 在x 0处取得极值 所以f 0 0 即a 0 4 5 6 7 8 解答 解答 4 5 6 7 8 2 若f x 在 3 上为减函数 求a的取值范围 令g x 3x2 6 a x a 当x x1时 g x 0 即f x 0 故f x 为减函数 当x1 x x2时 g x 0 即f x 0 故f x 为增函数 当x x2时 g x 0 即f x 0 故f x 为减函数 4 5 6 7 8 8 已知a r 函数f x x2 ax ex x r e为自然对数的底数 1 当a 2时 求函数f x 的单调递增区间 4 5 6 7 8 解当a 2时 f x x2 2x ex 所以f x 2x 2 ex x2 2x ex x2 2 ex 令f x 0 即 x2 2 ex 0 因为ex 0 解答 解答 4 5 6 7 8 2 若函数f x 在 1 1 上单调递增 求a的取值范围 解因为函数f x 在 1 1 上单调递增 所以f x 0对x 1 1 都成立 因为f x 2x a ex x2 ax ex x2 a 2 x a ex 所以 x2 a 2 x a ex 0对x 1 1 都成立 因为ex 0 所以 x2 a 2 x a 0对x 1 1 都成立 对x 1 1 都成立 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 考点三导数与函数的极值 最值 要点重组 1 可导函数极值点的导数为0 但导数为0的点不一定是极值点 如函数f x x3 f 0 0 但x 0不是极值点 2 极值点不是一个点 而是一个数x0 当x x0时 函数取得极值 在x0处有f x0 0是函数f x 在x0处取得极值的必要不充分条件 3 一般地 在闭区间 a b 上函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么函数y f x 在 a b 上必有最大值与最小值 函数的最值必在极值点或区间的端点处取得 9 2017 北京 已知函数f x excosx x 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 9 10 11 12 解因为f x excosx x 所以f x ex cosx sinx 1 f 0 0 又因为f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 解答 9 10 11 12 解答 解由 1 可知 f x ex cosx sinx 1 设h x ex cosx sinx 1 则h x ex cosx sinx sinx cosx 2exsinx 即f x 0 9 10 11 12 9 10 11 12 10 设函数f x x alnx a r 若曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与y轴垂直 求函数f x 的极值 9 10 11 12 解答 解函数f x 的定义域为 0 所以f 1 5 a 故曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率为5 a 由题意可得5 a 0 解得a 5 由f x 0 解得x 1或4 9 10 11 12 f x f x 随x的变化情况如下表 9 10 11 12 9 10 11 12 1 当a 1时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 解答 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为x ey 1 0 2 当x 0时 f x 的最大值为a 求a的取值范围 解f x 在x 0时的最大值为a 等价于f x a对于x 0恒成立 于是g x 在 0 2 上单调递增 在 2 上单调递减 9 10 11 12 解答 1 求a b的值 经检验适合题意 9 10 11 12 解答 9 10 11 12 解答 x 1是f x 的极大值点 9 10 11 12 9 10 11 12 规范解答模板答题规范练 例 12分 设函数f x a2x2 lnx a r 1 求函数f x 的单调区间 2 如果函数f x 的图象不在x轴的下方 求实数a的取值范围 模板体验 审题路线图 规范解答 评分标准 当a 0时 f x 0 故f x 在 0 上单调递减 综上 当a 0时 f x 的单调递减区间为 0 2 f x 的图象不在x轴的下方 即当x 0时 f x 0恒成立 构建答题模板 第一步 求导 一般先确定函数的定义域 再求导数f x 第二步 转化 判断函数单调性 求极值 最值 常转化为 判断f x 的符号 切线方程 切线的斜率 或倾斜角 切点坐标 常转化为 导数的几何意义 恒成立问题 常转化为 求最值 等 第三步 求解 根据题意求出函数的单调区间 极值 最值等问题 第四步 反思 单调区间不能用 连接 范围问题的端点能否取到 1 确定a的值 解对f x 求导 得f x 3ax2 2x 规范演练 1 2 3 4 5 解答 2 若g x f x ex 讨论g x 的单调性 1 2 3 4 5 解答 令g x 0 解得x 0 x 1或x 4 当x 4时 g x 0 故g x 为减函数 当 4 x 1时 g x 0 故g x 为增函数 当 1 x 0时 g x 0 故g x 为减函数 当x 0时 g x 0 故g x 为增函数 综上可知 g x 在 4 和 1 0 上为减函数 在 4 1 和 0 上为增函数 1 2 3 4 5 2 已知函数f x ax2 bx c ex在 0 1 上单调递减且满足f 0 1 f 1 0 1 求a的取值范围 解由f 0 1 f 1 0 得c 1 a b 1 则f x ax2 a 1 x 1 ex f x ax2 a 1 x a ex 依题意对任意x 0 1 f x 0且a 1时 因为二次函数y ax2 a 1 x a的图象开口向上 而f 0 a0 f x 不符合条件 故a的取值范围为 0 1 1 2 3 4 5 解答 2 设g x f x f x 求g x 在 0 1 上的最大值和最小值 1 2 3 4 5 解答 解g x 2ax 1 a ex g x 2ax 1 a ex 当a 0时 g x ex 0 g x 在x 0处取得最小值g 0 1 在x 1处取得最大值g 1 e 当a 1时 对于任意x 0 1 有g x 2xex 0 g x 在x 0处取得最大值g 0 2 在x 1处取得最小值g 1 0 g x 在 0 1 上单调递增 1 2 3 4 5 g x 在x 0处取得最小值g 0 1 a 在x 1处取得最大值g 1 1 a e 在x 0或x 1处取得最小值 而g 0 1 a g 1 1 a e 1 2 3 4 5 3 已知函数f x lnx a2x2 ax a r 若函数f x 在区间 1 上是减函数 求实数a的取值范围 1 2 3 4 5 解答 解函数f x lnx a2x2 ax的定义域为 0 所以f x 在区间 1 上是增函数 不合题意 1 2 3 4 5 所以f x 在区间 1 上是增函数 不合题意 1 2 3 4 5 当a 0时 要使函数f x 在区间 1 上是减函数 只需f x 0在区间 1 上恒成立 因为x 0 所以只要2a2x2 ax 1 0在区间 1 上恒成立 1 2 3 4 5 4 2017 全国 设函数f x 1 x2 ex 1 讨论f x 的单调性 解f x 1 2x x2 ex 1 2 3 4 5 解答 2 当x 0时 f x ax 1 求a的取值范围 1 2 3 4 5 解答 解f x 1 x 1 x ex 当a 1时 设函数h x 1 x ex 则h x xex0 因此h x 在 0 上单调递减 而h 0 1 故h x 1 所以f x x 1 h x x 1 ax 1 当00 x 0 所以g x 在 0 上单调递增 而g 0 0 故g x g 0 ex x 1 当0 1 x 1 x 2 1 x 1 x 2 ax 1 x 1 a x x2 故f x0 ax0 1 1 2 3 4 5 则x0 0 1 f x0 1 x