全国高校自主招生数学模拟试卷四 新人教版.doc

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1已知abc，若对任意tr，则abc一定为a锐角三角形 b钝角三角形 c直角三角形 d答案不确定 2设logx(2x2x1)logx21，则x的取值范围为ax1 bx且x1 c x1 d 0x1 3已知集合ax|5xa0，bx|6xb0，a，bn，且abn2，3，4，则整数对(a，b)的个数为a20 b25 c30 d42 4在直三棱柱a1b1c1abc中，bac，abacaa11已知g与e分别为a1b1和cc1的中点，d与f分别为线段ac和ab上的动点(不包括端点)若gdef，则线段df的长度的取值范围为a，1) b，2) c1，) d，) 5设f(x)x3log2(x)，则对任意实数a，b，ab0是f(a)f(b)0的a. 充分必要条件 b. 充分而不必要条件c. 必要而不充分条件 d. 既不充分也不必要条件 6数码a1，a2，a3，a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为a(10200682006) b(10200682006) c10200682006 d10200682006二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7. 设f(x)sin4xsinxcosxcos4x，则f(x)的值域是 8. 若对一切r，复数z(acos)(2asin)i的模不超过2，则实数a的取值范围为 9已知椭圆1的左右焦点分别为f1与f2，点p在直线l：xy820上. 当f1pf2取最大值时，比的值为 10底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm311方程(x20061)(1x2x4x2004)2006x2005的实数解的个数为 12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 给定整数n2，设m0(x0，y0)是抛物线y2nx1与直线yx的一个交点. 试证明对任意正整数m，必存在整数k2，使(x，y)为抛物线y2kx1与直线yx的一个交点14将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和记sxixj问： 当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，s取到最大值； 进一步地，对任意1i，j5有2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，s取到最小值. 说明理由15设 f(x)x2a. 记f1(x)f(x)，fn(x)f(fn1(x)，n1，2，3，mar|对所有正整数n，2证明，m2，2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)答c解：令abc，过a作adbc于d，由，推出2t t2,令t，代入上式，得 2cos2cos2，即 sin2, 也即sin从而有由此可得acb 答b解：因为，解得x且x1由logx(2x2x1)logx21， logx(2x3x2x)logx2 或解得0x1或x1所以x的取值范围为x且x1 答c解：5xa0x；6xb0x要使abn2，3，4，则，即所以数对(a，b)共有cc30个 答a解：建立直角坐标系，以a为坐标原点，ab为x轴，ac为y轴，aa1为z轴，则f(t1，0，0)(0t11)，e(0，1，)，g(，0，1)，d(0，t2，0)(0t21)所以(t1，1，)，(，t2，1)因为gdef，所以t12t21，由此推出0t2又(t1，t2，0)，从而有1答a解：显然f(x)x3log2(x)为奇函数，且单调递增于是若ab0，则ab，有f(a)f(b)，即f(a)f(b)，从而有f(a)f(b)0反之，若f(a)f(b)0，则f(a)f(b)f(b),推出ab，即ab0 答b解：出现奇数个9的十进制数个数有ac92005c92003c9又由于 (91)2006c92006k以及(91)2006c(1)k92006k从而得ac92005c92003c9(10200682006)填0，解：f(x)sin4xsinxcosxcos4x1sin2x sin22x令tsin2x，则f(x)g(t)1tt2(t)2因此g(t)g(1)0， g(t)g() 故，f(x)0，填，解：依题意，得|z|2(acos)2(2asin)242a(cos2sin)35a22asin()35a2(arcsin)对任意实数成立2|a|35a2|a|，故 a的取值范围为，填1.解：由平面几何知，要使f1pf2最大，则过f1，f2，p三点的圆必定和直线l相切于点p直线l交x轴于a(82，0)，则apf1af2p，即apf1af2p，即 又由圆幂定理，|ap|2|af1|af2| 而f1(2，0)，f2(2，0)，a(82，0)，从而有|af1|8，|af2|84代入，得，1填()解：设四个实心铁球的球心为o1，o2，o3，o4，其中o1，o2为下层两球的球心，a，b，c，d分别为四个球心在底面的射影则abcd是一个边长为的正方形。所以注水高为1故应注水(1)4()3()填1解：(x20061)(1x2x4x2004)2006x2005(x)(1x2x4x2004)2006 xx3x5x20052006，故x0，否则左边0 2006xx3x2005210032006等号当且仅当x1时成立所以x1是原方程的全部解因此原方程的实数解个数为1填0.0434解：第4次恰好取完所有红球的概率为()2()20.0434证明：因为y2nx1与yx的交点为x0y0显然有x0=n2(5分)若(x，y)为抛物线y2kx1与直线yx的一个交点，则kx(10分)记kmx，由于k1n是整数，k2x(x0)22n22也是整数，且 km1km(x0)km1nkmkm1，(m2) (13.1)所以根据数学归纳法，通过(13.1)式可证明对于一切正整数m，kmx是正整数，且km2现在对于任意正整数m，取kx，满足k2，且使得y2kx1与yx的交点为(x，y)(20分)解：(1) 首先这样的s的值是有界集，故必存在最大值与最小值。 若x1x2x3x4x52006，且使sxixj取到最大值，则必有 1 (1i，j5) (5分) (*)事实上，假设(*)不成立，不妨假设x1x22，则令x1x11，x2x21，xixi (i3，4，5)有x1x2x1x2，x1x2x1x2x1x21x1x2将s改写成sxixjx1x2(x1x2)(x3x4x5)x3x4x3x5x4x5同时有 sx1x2(x1x2)(x3x4x5)x3x4x3x5x4x5于是有ssx1x2x1x20这与s在x1，x2，x3，x4，x5时取到最大值矛盾所以必有1，(1i，j5)因此当x1402，x2x3x4x5401时s取到最大值 (10分) 当x1x2x3x4x52006，且2时，只有（i） 402， 402， 402， 400， 400；（ii） 402， 402， 401， 401， 400；（iii） 402， 401， 401， 401， 401； 三种情形满足要求 (15分)而后两种情形是由第一组作xixi1，xjxj1调整下得到的根据上一小题的证明可知道，每次调整都使和式sxixj变大所以在x1x2x3402，x4x5400时s取到最小值(20分)证明： 如果a2，则|a|2，am (5分) 如果2a，由题意，f1(0)a，fn(0)(fn1(0)2a，n2，3，则 当0a时，(n1). 事实上，当n1时，|a|，设nk1时成立(k2为某整数），则对nk， a()2 当2a0时，|a|，(n1)事实上，当n1时，|a|，设nk1时成立(k2为某整数)，则对nk，有|a|aaa2a注意到当2a0时，总有a22a，即