28[1].2012年全国高中数学联赛模拟卷(十四)答案.doc

2012年全国高中数学联赛模拟卷(十四)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_考试号：_得分：_一、填空题（共8题，每题8分，64分）1、函数的值域是_.解析：.因，设（），则（其中，为锐角），所以当时，当时，故.2、.均为非负实数，则的最小值为。_.解析：在直角坐标系中，作点，。则（应用三角不等式）2010。如果取，即，那么取到最小值2010。3、把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：，例如：.那么 .解析：2679一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为聪明数，例如16=5533就是一个聪明数，问98是不是一个聪明数，说明理由，从1到2000这2000个正整数中，共有几个聪明数解：设一个正整数可以表示成 a2-b2=(a+b)(a-b) 其中a+b、a-b奇偶性相同，即同为奇或同为偶，且a+ba-b。 当a2-b2=1、2时无整数解， 当a2-b2=(a+b)(a-b)=2*质数时无整数解， 除以上两种情形外，任何一个正整数都可以表示成两个正整数的平方差的形式。共有2000-168=1832个聪明数。 2000/2=1000 从1到1000，质数共有166个，所以共有 166+2=178个不能表示成两个正整数的平方差的形式。一个非0自然数，若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”。那么从1起第1990个智慧数是显然1不是“智慧数”，而大于1的奇数2k1=(k+1)2-k2，都是“智慧数” 因为:4k=(k+1)2-(k-1)2 所以大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不是“智慧数”，由于x2y2=(xy)*(xy)(其中x、yN)，当x，y奇偶性相同时，(xy)*(xy)被4整除当x，y奇偶性相异时，(xy)*(xy)为奇数，所以形如4k2的数不是“智慧数” 在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”此后每连续四个数中有三个“智慧数” 由于1989=3663，所以2656=4664是第1990个“智慧数”4、在中，则的面积为 .解：在中，由 得由正弦定理得 因为，所以角可取锐角或钝角，从而故5、圆锥曲线的离心率是 .解析：原式变形为，即 所以动点到定点的距离与它到直线的距离之比为故此动点轨迹为双曲线，离心率为6、已已知集合，其中， 且。若正整数，且，符合条件的有 个.解析：个. 转化为进制。，故，,中以的数有个的数有个，的数最大到，有个。中 ，故中。从而，满足要求的数有个。 ，不小于小的数有个满足要求的数有1004662 7、知（），且 则a的取值范围是 解析：由题设知在时为偶函数，且 所以当，且时，恒有由于不等式的解集为，不等式的解集为因此当时，恒有.8、如图，记从“田字型”网格（由4个边长为1的正方形构成）的9个交点中任取3个构成三角形的面积记为（当所取3点共线时，0），则的数学期望= 。0P，二、解答题（共3题，共56分）9、（本题满分16分）设函数定义于区间，满足，且对任意，都有，其中常数满足，求的值。解：因为，所以 8分由此得，而，所以 14分10、（本题20分）已知二次函数在区间上的最小值为，最大值为3. （1）求的表达式；（2）若，其中，且.求证：.解：（1） （2）利用进行放缩11、（本题20分）已知的三边长度各不相等，分别是，的平分线与边，的垂直平分线的交点.求证：的面积小于的面积.证明：由题设可证，六点共圆. （10分）不妨设圆半径为1，则有，.由于的面积小于的面积.2012年全国高中数学联赛模拟卷(十四)加试(考试时间：150分钟 满分：180分)1、（本题40分）ABC外接圆的圆心为,分别在线段上，分别是的中点，圆过并且与相切，证明：。2、（本题40分）将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，求出这个数列的第2010项。解：1105的所有正整数中共有个与105互素，他们从小到排列为：。对于任一的，由带余除法存在唯一的q,r使得 由（，105）=1，可得（r，105）=1，即。反之，对于任意固定非负整数q, 有（105q+r，105）=1，于是105q+r 都是数列的项，从而存在正整数n，使得。因此数列仅由的数由小到大排列而成的。因为2010=48*41+42，所以有。3、（本题50分）设求的最小值及取得最小值时满足的条件。解：令得32，此时4、（本题50分）一个正方形被剖分为4个正方形，剖分图的边数为12，若一个正方形被剖分为2005个凸多边形，试求剖分图中边数的最大值。解：由欧拉定理可知，简单多面体的顶点数，面数，棱数有关系：由欧拉定理容易看出，若一个凸多边形被剖分为个凸多边形，则剖分图中的顶点数，多边形数，边数有关系： （1）下面在一般的情况下，即正方形被剖分为个凸多边形时，求剖分图中边数的最大值，设剖分图中的顶点数为，多边形数为，边数为（一）先求边数的上界设原正方形的4个顶点是，若凸多边形的顶点V则易知（这里用表示通过顶点的边数），于是有 这样的顶点有个，于是有个上面的不等式，将它们相加求和，并注意到除去正方形四边的每条边恰是两个凸多边形的边，有即有 因为 ，所以 （2）由公式（1），有