数系的扩充与复数的引入全章课件.ppt

3 1 1数系的扩充与复数的引入 3 1数系的扩充和复数的概念 2 数的发展过程 自然数 分数 有理数 无理数 实数 虚数 复数 复数集 实数集 虚数集 纯虚数集 虚数的引入数系的扩充 为了解决x2 这个方程在实数系无解的问题 我们设想引入一个新数i 使i是方程x2 的根 即i i 1引入的这个数i显然不是实数系中的数 那么我们引入i以后 还希望它能与实数之间像实数系那样进行加法和乘法运算 并满足加法 乘法交换律 结合律 以及乘法对加法分配律 依照以上设想 实数a b与i加法和乘法进行运算如下 a i b ia bi 实数集 产生了一个新的数集 新的数集 a bi a bR 新数系中元素的特点 i 1 i a 0时 比如2i 3i 5i等 a 0且b 0时 比如2 3i 4 i 3 2i 5 2i等 b 0时 规定0i 0 则 对实数a b进行讨论 在新数集中我们完全可以把a bi a bR 看作元素的代表 复数的相关概念 我们把集合 a bi a bR 中的数 即形如a bi a bR 的数叫做复数 其中i叫做虚数单位 全体复数所成的集合C叫做复数集 复数常用字母z表示 即z a bi 以后不作特殊说明 都有a bR 其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部 规定a bi c di a c且c d 4 对于a bi当且仅当a 时 它是实数 当且仅当a 0且b 0时 它是实数 当b 0时 叫做虚数 当b 0且a 0时 叫纯虚数 实数集 虚数集 纯虚数集 复数集 复数集与实数集的关系 2 复数z a bi分类 复数z 实数 b 0 虚数 b 0 当a 0时为纯虚数 区分下列几个数分别是什么数 5i 2 i 3i 1 6i 0i 9 0 熟悉应用 例 实数m取什么值时 复数z m 1 m 1 i是 实数 虚数 纯虚数 3 1 2复数的几何意义 我们知道实数是客观存在的数 它可以用数轴上点直观表示 a 实数与数轴上的点一一对应 复数的几何意义 一 a bi a b x y 实轴 虚轴 复数z a bi复平面内的点z a b 一一对应 复平面 复数的几何意义 二 a bi a b x y 实轴 虚轴 复平面 a bi r a2 b2 熟悉应用 例 实数m取什么值时 复平面内表示复数 m2 8m 15 m2 5m 14 i的点 位于第四象限 位于第一 三象限 位于直线y x上 熟悉应用 例 在复平面内 O是原点 向量 对应的复数是2 i 如果点 关于实轴的对称点为 求向量OB对应的复数 如果 中点B关于虚轴的对称点 求点 对应的复数 3 1自我评价试题一 选择题 每题3分 共30分 1 若复数z 2m2 3m 2 m2 3m 2 i是纯虚数 则实数m的值为 A1或2B 1 2或2C 1 2D22 复数i2 1的实部和虚部分别是 A1和iBi或1C1和 1D0和03 若a2 a a3 2a2 a 2 i是纯虚数 则a的值为 A1B0或1C0D 1 1 24 若z m 1 m1 1 i是虚数 则 Am 1Bm 1或m 1Cm 1且m 1Dm 15 若a是任意实数 则复数z a2 2a 4 a2 a 4 i所对应的点一定于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6 在复平面上 P到复数 1 3 3i的对应点F的距离与到直线l 3x 1 0的距离相等 则点P的轨迹是 A抛物线B双曲线C椭圆D直线7 复数 5 6i的实部是 虚部是 8 若 x 2y 2x 3y i 3 2i 其中x y属于R 则x y 9 下列复数 2 3 0 618 i2 5i 2 i 2 其中实数有10 若cos m sin cos i不可能是实数 则m的取值范围是 作业 大家要认真完成教材 页习题 3 2 1复数代数形式的四则运算 1 规定复数的加法法则如下 设z1 a bi z2 c di是任意两个复数 那么 a bi c di a c b d I a b c d a c b d 2 复数加法交换律 结合律 对任意复数z1 z2 z3有Z1 z2 z2 Z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 复数加法 复数减法 3 规定复数的减法法则如下 设z1 a bi z2 c di是任意两个复数 那么 a bi c di a c b d i 4 从向量的角度来认识复数加法 z1 z2 z3 z1 z2 z3 特别提醒 一般两个复数不能比较大小 若有大小之分时 一定都是实数 即虚部为0 例1计算 5 6i 2 i 3 4i 解 5 6i 2 i 3 4i 5 2 3 6 1 4 I 11i 例2若z 3 2i 5i 求复数z的模 例3 若a是任意实数 则复数z a2 1 i a 2 i 4 i所对应的点一定于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 例3 如图的向量oz对应的复数是z 在图中作出运算结果对应的向量 0 x y z 作出z 2 i 3 2复数的加减法 例4 如图在平行四边形OABC中 顶点O A C分别表示0 3 2i 2 4i 求 1 AO所表示的复数 BC所表示的复数 2 对角线AC所表示的复数 3 对角线OB所表示的复数及OB的长度 0 A B C X Y 3 2复数的加减法 学生练习 已知复平面内三点A B C 其中A点对应的复数为2 i 向量BA对应的复数为1 2i 向量BC对应的复数为3 i 求点C对应的复数 复数乘法 3 2复数的乘除法 一 规定复数的乘法法则如下 设z1 a bi z2 c di是任意两个复数 那么 a bi c di ac adi bci bdi2 ac bd ad bc i 1 两个复数相乘类似两个多项式相乘 只是在所得结果中将i2换成 1 且把实部与虚部分别合并即可 2 两个复数的积是一个确定的复数3 两个虚数的积一定是虚数吗 复数乘法 3 2复数的乘法满足的运算律 1 对于任意z1 z2 z3 C 有z1 z2 z2 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 Z1 z2 z3 z1z2 z1 z3 2 例题 1 计算 1 2i 3 4i 2 i 2 3 4i 3 4i 3 1 i 2 4 2 3i 4 6i 3 分解因式 1 x2 4 2 a4 b4 4 Z2 8 6i 试求z 例5 已知x为纯虚数 且x2 t2 t 2tx i 0 求实数t的值 解 令x bi b R b 0 则 bi 2 t2 t 2t bi 0即 b2 2bt t2 t i 0 b2 2bt t2 t 解得t 1或t 0 舍 故t 1 复数乘法 3 2复数的乘除法 一 共轭复数1 这两个复数3 4i与3 4i称为共轭复数2 一般地 当两个复数的实部相等 虚部互为相反数时 这两个复数叫做互为共轭复数 3 虚部不等于0的共轭复数也叫做共轭虚数 如i与 i 2i与 2i等 0 x y Z1 a bi Z2 a bi 思考 两个共轭复数的乘积一定是实数吗 乘积是实数的两个复数一定是共轭复数吗 2 3i 4 6i 3 4i 3 4i 复数乘法 3 2复数的乘除法 思考 我们知道i i 1 i i 1 那么 若x2 1 则此方程和根有几个呢 是什么呢 思考 试在复数范围内求方程的解X2 x 1 0 两个重要结论 1 如果a bi是实系数一元n次方程的根 那么它的共轭复数a bi也是它的根 这叫虚根成对 2 实系数一元二次方程在复数系C内根为x1 x2 同样满足韦达定理 即根与系数关系 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 0时 方程有二实根 0时 方程有二虚根 已知2i 3是关于x的方程2x2 px q 0的一个根 求实数p q的值 两种方法求解 复数除法 3 2复数的乘除法 一 规定复数的除法法则如下 设z1 a bi z2 c di是任意两个复数 那么这两个复数相除步骤 1 写成类似分式形式 2 类似分母有理化 将分子分母都乘以分母的共轭复数 将分母实数化 3 分子按复数乘法法则算 最后写成两部分 复数除法 3 2复数的乘除法 例题1 计算 1 1 2i 3 4i 2 1 i 1 i 3 1 i 4 1 i 3 i i 复数除法 3 2复数的乘除法 例题4 计算 例题3 计算 1 1 i 2 2 复数除法 3 2复数的乘除法 1 说出下列各式的值i 4n 1 i 4n 2 i 4n 3 i 4n 4 n N 2 试求i1 i2 i3 i4 i5 i6 的值 并推测in n N 的值有什么规律 并把这个规律用式子表示出来 1 已知关于x的方程 1 i x2 2 a i x 5 3i 0有实数解 求a的值 2 已知关于x y的方程组 2x 1 i y 3 y i 2x ay