第十四章曲线积分与曲面积分.doc

重庆三峡学院 数学分析电子教案 第十四章 曲线积分与曲面积分第十四章 曲线积分与曲面积分14.1 曲 线 积 分一、第一型曲线积分定义 设二元函数在可求长曲线C（A，B）有定义，若当时，二元函数在曲线C（A，B）的积分和存在极限I，即 =I，则称I是函数曲线C的第一型曲线积分，表为 （1）其中ds弧微元.第一型曲线积分性质：（1），（2）（3） 其k是常数. (4) +定理1 若曲线C（A，B）x=,y=,at是光滑的，即，在连续，且不同时为0，函数在C连续，则函数在C（A，B）存在第一型曲线积分，且 （2）证明 给区间任意分发T，分点依次是=.第k个区间对应曲线C上第k个小弧，设其长是.由8.5弧长公式与定积中值定理，有 =， 其中=，t.在，上任取一点，在曲线C上对点是P，作和P= = （3）注意上面等式中与都属于，t，但是不一定相等.为此将它改写为 P=+ （4）其中=.（4）式等号右端第一和数是连续函数 在区间的积分和.因此，有 =下面证明 事实上，已知函数在闭区域连续，从而它在有界；函数在闭区域连续，从而一致连续，即有.又 ），有于是，当时，有 .即 当时，有.由（4）式，当时，存在极限，即函数在曲线C上存在第一型曲线积分，即例1 求I=，其中C: x=accos,y=bsin,0. 解 x=-asint, y=bcost=.由公式（2），有I= = 设 z=cos2t,dz=-2sin2tdt或sin2tdt=-dzI=.例2 求I=，其中C是圆周x+y=ax. 解 因为C=C+C. C:y=. C:y=- y=. 且 ds=.由公式（5），有 I=+=2a. 若三维空间光滑曲线C的参数方程是x=x(t) ,y=y(t), z=z(t) ,则三维空间第一型曲线积分（6），可化成定积分，有公式=， （7）其中是空间曲线C的弧长积分，即ds= = =例3 求，其中C圆柱螺旋先： x=acost .y=asint, z=bt,解 x=-asint, y=acost, z=b. ds= =二、第二型曲线积分定义 设二元函数在有向光滑曲线C（A，B）有定义若当时，二元函数在曲线C（A，B）关于x(或y)的积分和存在极限（或），即=（或=）则称（或）是dx(或dy)在曲线C（A，B）的第二型曲线积分，表为 （或.定理 2 如果函数在有向光滑曲线C（A，B）：x=x(t),y=y(t),连续，且Ax(),y(),Bx(),y(),则dx与dy在C（A，B）的C（A，B）第二型曲线积分都存在，且 = （12） = （13）例4 求，其中曲线C是上半椭圆x=acost,y=bsint,取顺时针的方向.解 dx=asintdt, dy=bcostdt, 由公式（12）和（13）有 = =. 例5 求I=， 其中曲线C分别是 1） 直线 y=x；2) 抛物线y=x； 3)立方抛物线y=x； 多是由原点（0，0）到点 （1，1）.解 1）沿直线y=x,dx=dy,有I=+=1.2)沿抛物线y=x，dy=2xdx,有I=+=13）沿立方抛物线y=x，dy=,有I=+=1例6 求 =，其中曲线C与例5相同始点与重点 解 1）沿直线y=x,dx=dy,有=.2) 沿抛物线y=x，dy=2xdx,有=3) 沿立方抛物线y=x，dy=,有=-.例7 有质量为m的质点，在重力的作用下，沿铅垂面上曲线C由点A到点B，求重力F所作功. 解 设平面曲线C的参数方程是 x=x(t) , y=y(t), ,Ax(),y(),Bx(),y().已知F=（0，mg）.于是，重力所作的功W= =例8 求，其中曲线C：x=cost, y=sint, z=t, . 解 由公式（17）有= =-=-三、 第一型曲线积分和第二型曲线积分的关系 在xy平面上第一型曲线积分和第二型曲线积分的转换公式是： =或 =.四、 格林公式 定理3 若函数P（x,y）与Q(x,y)以及与光滑或逐段光滑闭曲线C围成的闭区域G连续，则=， （21）公式（21）称为格林公式.例9 求，其中C是圆周x+y=a. 解 由格林公式，P=-xy,Q=xy,=-x,=y,有=，其中G圆x+ya.设x=rcos,y=sin,有= = =例10求，其中C是光滑的不通过原点的正向闭曲线. 解 分两种情况计算.1) 闭曲线C内部不包含原点.由格林公式，函数 P（x,y）=, Q(x,y)=.在闭曲线C为成的区域G连续，并有连偏导数 =， =有 =0.2)闭曲线C内部包含原点，以原点为心以充分小正数r半径作一小圆域D，圆周为，使小圆域D包含在区域G内.函数 P（x,y）=，Q(x,y)=及其偏导数在区域G-D连续，由格林公式，有 =0或即 =-=其中表示圆周，其方向与相反.设x=rcos,y=rsin,02.由曲线积分计算公式，有=即 2例11 证明： ，其中C是围成有界区域G的光滑闭曲线，是函数在曲线C上点M（x,y）处沿C的外法n的方向导数. 证明dxdy. P(x,y)=-, Q(x,y)=.由格林公式，有 +.由公式（20），dx=-sinds,dy=cosds,其中是x轴正向与外法线n的交角，上式又可改写成 +其中 +是函数在曲线C上点（x,y）的外法线n的方向导数，既，有.五，曲线积分与路线无关的条件定理4 若函数P（x,y）,Q(x,y)以及，在单连通区域G连续，下列四个断语是等价的： 1）曲线积分与路线C无关，即只与始点A与终点B有关. 2）在G内存在一个函数u(x,y),使du=Pdx+Qdy 3），有= 4）对G内的任意光滑或逐段光滑闭曲线，有 =0例12 求，其中C是的上半圆.顺时针方向为正. 解 P（x,y）=1+xe,Q(x,y)=xe-y=2xe=即曲线积分与路径无关.根据定理4，可取沿x轴上的OA积分，即y=0,0x4,于是，dy=0,有= 若曲线积分与路径无关，则函数u(x,y)=的全微分是du(x,y)=Pdx+Qdy,称函数u(x,y)是Pdx+Qdy的原函数.下面定理指出：求曲线积分与求定积分有类似的公式. 定理5 若在单连通区域G内函数u(x,y)是Pdx+Qdy的原函数，而A（x,y）与B(x,y)是G内任意两点，则 =u(x,y)-u(x,y)证明 在G内任取连续点A到点B的光滑曲线C：x=(t), y=(t), t.且 （x,y）=(),(),(x,y)=(),().曲线积分 =已知u(x,y)是Pdx+Qdy的原函数，有P=，Q=.于是， =u-u=u(x,y)-u(x,y)原函数的求法：u(x,y)=例13 设du=(exye)dx+xedy,求u(x,y). 解 P= exye，Q= xe即曲线积分与路线无关，取（x,y）=(0,0),有u(x,y)= =x+xe-x+C= xe+C14.2 曲 面 积 分一第一型曲面积分设在三维空间中有光滑或者逐片光滑的曲面,函数在曲面S上有定义.首先，用曲面S上的曲线网，将曲面S任意分成n个小曲面：S，S，.S,将此分发表为T.设第k个小曲面S的面积是.在第k个小曲面S任取一点P，作和 Q= （1）称为函数在曲面S的积分和. 令 定义 设函数在光滑或者逐片光滑的曲面有定义.若当时，函数在曲面积分和（1）存在极限，即 =则称是函数在曲面S的第一型曲面积分， 表为：其中d是曲面S的面积微元. 定理1。 若曲面块S：x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)D,是光滑或者逐片光滑的，其中D是有界闭区域.函数在曲面S连续，则函数在S第一型曲面积分存在，且= = (2)其中E=x+y+z,F=xx+yy+zz,G=x+y+z.如果光滑曲面S：在z(x,y), (x,y)是有界闭区域，则= （3）例1 求曲面积分其中S是球面x+y+z=a被平面z=h(0ha)所截得的顶部. 解 曲面S的方程是z=曲面S在xy平面上的投影区域D是x+ya-h d=由（3）式，有=a =2a例2 求曲面积分，其中曲面是螺旋面=, ,(0;0)的一部分解 E=+=1 F=+=sincos+ rsincos=0 G=+=sin+cos+1=1+=.设.由公式（2），有 = 二、第二型曲面积分 设函数在双侧光滑或逐片光滑面块上有定义，选定曲面一侧为正.将曲面分成个小曲面：，.,将此分发表为T设第个小曲面的面积是，在平面投影的小区域于的面积是，在第个小曲面上任取一点.作和 = （4）称为函数在曲面关于的积分和.令 定义 设函数在光滑或逐片光滑面块上有定义，当时，函数在曲面关于xy的积分和（4）存在极限 =则称是在曲面的第二型曲面积分，表为=，其中是曲面微元在平面上投影的面积微元.定理2 若光滑曲面：,D,其中D是有界闭区域，函数在连续，则在曲面的第二型曲面积分存在，且 =其中符号“”由曲面的正侧外法线与z轴正向的夹角余弦的符号觉定. 例3 求曲面积分，其中曲面是球面+=1(0, 0)的四分之一，取球面的外侧为正侧. 解 曲面在平面上的上下两部分的方程是：z= 与 S=-曲面的外法线与z轴正向是锐角. 曲面的外法线与z轴正向是钝角，而曲面与在平面上的投影是扇形区域D： (0,0).于是=+ =- =2 =.例4 求曲面积分,其中是椭球面+=1的0的部分，取椭球面外侧为正侧.解 当0时，椭球面的方程是 =, D: +1,于是= =.(设,01,02)三 奥高公式定理3 若三维空间的有界闭体V是由光滑或逐片光滑面的闭曲面围成.函数,及其偏导数在有界闭体V连续，则= （5）其中曲面外侧为正侧.公式（5）称为奥高公式.证明 首先证明 =. 如果平行于三个坐标的直线与曲线至多有两个交点（闭曲面的侧面有平行坐标轴的母线除外）.设体V是由定义在平面闭区域D上的光滑曲面z=z(x,y)与z=z(x,y)z(x,y)z(x,y)以及平行z轴的母线所围成.由三重积分的计算公式，有 =由曲面积分的计算公式，有=+，其中曲面是曲面的侧面.因为曲面在平面上的投影是区域D的边界.根据曲面积分的定义，有 =0已知的法线正向z轴的交角是钝角，曲面的法线正向与z轴的交角是锐角.于是， = = （7）由（6）式与（7）式，有 = （8）同法可证 = （9） （10）等式（8），（9），（10）的等号左右两端分别相加，得奥高公式（5）.如果曲面与平行坐标轴的直线的交点多于两个，可用光滑曲面体V分为有限个小体，使围成每个小体的闭曲面满足上述的要求.奥高公式仍是正确的.例5 求曲面积分,其中是平面,及三个坐标面围成的立方体V的表面（）. 解 P=, Q=,R=z=3 , = , =1,由奥高公式，有 = =例6 求曲面积分 其中S是锥面+=,而,是锥围成的面外法线（正向）的方向余弦. 解 作辅助平面。平面与锥面+=围成的围成的锥体V，设锥体的底面是，其中P=,Q=,R=. =2 , =2 , =2,由奥高公式，有= 平面外法线与z轴平行，方向余弦是，0，平面在xy平面上的投影是圆域D:.=,有 =于是，=-=。四，斯托克斯公式 定理4. 若光滑曲面块S的边界是光滑或逐段光滑闭曲线C，函数,及其偏导数在曲面连续，则 （11）其中曲面的正侧与曲线C的正向按右手法则。公式（11）称为斯托克斯公式。证明 首先证明 如果平行于三个坐标轴的直线由于曲面至多交于一点（上有平行于坐标轴的线段外）.设以x与y为自变数，曲面的方程是 , D区域D是曲面在xy平面上的投影，设区域D的边界闭曲线是，由曲线积分的计算公式，有 由10.3(3)式，有 =于是， = =即 （12）同法可证 = （13） = （14） 等式（12），（13），（14）的等号左右两端分别相加，得斯托克斯公式（11）. 如果曲面S与平行三个坐标轴的直线交点多于一点，可将曲面S分成有限多个小曲面块，使得每一块小曲面多满足上述要求，根据曲面积分与曲线积分的性质，不难证明斯托克斯公式也成立.例7 求曲线积分 ，其中曲线是螺旋线：,. 解 曲线加上线段构成逐段光滑闭曲线.其中， ， ， ， 由斯托克斯公式（11），有或 .=则 =.例8 求曲线积分，其中曲线C是立方体的表面与平面的交线，其方向与平面法线方向构成右手螺旋系，如图（14。29）解 ，由斯托克斯公式（11），有=其中取是平面上被闭曲线C所围成的区域.的法线n正向与三个坐标轴正向的夹角都是锐角，有于是 = = 平面S的方程是,有=其中D是在平面上的投影区域，它的面积是，于是 =定理5 若函数,及其偏导数在单连通体V连续，则下列四个断语是等价的：1）曲线积分 与路线C无关，即只与始点A与终点B有关.2)在体V内存在函数,使 3），4）对体V内任意光滑或逐段光滑闭曲线，有 14.3 场 论 初 步一、 梯度设三维空间的体是一个数量场，即在上定义一个三元函数在上存在所有的偏导数。 定义 向量=称为函数（数量场）在点的梯度，表为,即=。如果函数的所有偏导数在连续，中的曲面 =C（常数）称为等值面。例1.求电势场（数量场）在点的梯度，其中中单位正电荷。解 为了书写简便，设,有 =.同样有 =, =.于是，=.已知单位正电荷产生的电场强度是 ,即 .梯度有下列的性质：1. 2. 3. 二、 散度定义 设有向量场，在场内取包含点的光滑闭曲面,设围成的体积是.若当(闭曲面收缩为一点)时，极限 存在（而与的方式无关），称此极限是向量场在点的散度，表为,即= （2）下面是（2）式的计算公式。根据奥高公式和三重积分的中值定理（设向量满足公式和定理的条件），有 = = = = ( =(.其中是体的体积。点,当时，,有 =。或简写为 =. (3)例2.设在坐标原点有点电荷,在它周围形成电场，场内任意点的电场强度（向量）是,其中是点到原点的距离，即,是线段上单位向量，即.求 1） 场强在点的散度； 2） 通过以原点为心以为半径球面的流量（电通量）。解 1）已知 ，即 , , .有 =.同样， =, =.于是， = =0,即除原点外，场中任意点的散度皆为0，既不是源也不是洞。2）作以原点为心以为半径的球面，通过的电能量 =.因为的方向（从原点出发的射线方向）与n（球面外法线单位向量）的一致，即夹角为0.由向量的内积公式，有 =.在球面上，,有 =.于是， = =.由（3）式不难证明散度的下列性质：1. .2. (其中是数量场)。三、 旋度设有向量场=（,）, , 的所有偏导数连续。场中有光滑曲线，,向量在曲线上点处切线正向上的投影（如图14.31）是,其中是上的单位向量。定义 沿闭曲线C的曲线积分 ,称为向量场沿闭曲线的环量。将环量除以曲线所围成图形的面积,即 =,称为向量场在点沿平面曲线绕法线n的平均环量（平均旋度）。定义 设有一向量场，在场中作过点的平面,在平面上作围绕点的闭曲线。若当(闭曲线收缩到上点)时，绕对线n的平均环量的极限 存在（而与的方式无关），称此