全国高校自主招生数学模拟试卷十二 新人教版.doc

2013年高考数学全国高校自主招生模拟试卷十二 新人教版一、选择题(36分)1已知数列xn满足xn+1=xnxn1(n2)，x1=a， x2=b， 记sn=x1+x2+l+xn，则下列结论正确的是(a)x100=-a，s100=2b-a (b)x100=-b，s100=2b-a(c)x100=-b，s100=b-a (d)x100=-a，s100=b-a2如图，正四面体abcd中，e在棱ab上，f在棱cd上，使得= (0f()f(d)f() (b) f() f(d)f()f() (c) f(d)f()f()f() (d) f(d)f()f()f() 6如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有(a) 0条 (b) 1条 (c)多于1 的有限条 (d) 无穷多条二填空题(每小题9分，共54分)1设x，y为实数，且满足则x+y = .2过双曲线x2=1的右焦点作直线l交双曲线于a、b两点，若实数使得|ab| =的直线l恰有3条，则= .3已知复数z满足=1，则z的幅角主值范围是 4已知三棱锥s-abc的底面是以ab为斜边的等腰直角三角形，sa=sb=sc=2，ab=2，设s、a、b、c四点均在以o为球心的某个球面上，则点o到平面abc的距离为 5设abcdef为正六边形，一只青蛙开始在顶点a处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在5次之内跳到d点，则停止跳动；若5次之内不能到达d点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种6设a =logz+logx(yz)-1+1，b =logx-1+log(xyz+1)，c =logy+log(xyz)-1+1，记a，b，c中最大数为m，则m的最小值为 三、（20分）设xyz，且x+y+z =，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值四、(20分)设双曲线xy=1的两支为c1，c2(如图)，正三角形pqr的三顶点位于此双曲线上(1)求证：p、q、r不能都在双曲线的同一支上；(2)设p(-1，-1)在c2上， q、r在c1上，求顶点q、r的坐标五、(20分)设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足其中s为实数且|s|2求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十二参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1已知数列xn满足xn+1=xnxn1(n2)，x1=a， x2=b， 记sn=x1+x2+l+xn，则下列结论正确的是(a)x100=-a，s100=2b-a (b)x100=-b，s100=2b-a(c)x100=-b，s100=b-a (d)x100=-a，s100=b-a解：x1=a，x2=b，x3=ba，x4=a，x5=b，x6=ab，x7=a，x8=b，易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=a，又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故s100=2ba选a2如图，正四面体abcd中，e在棱ab上，f在棱cd上，使得= (0+)，记f()=+其中表示ef与ac所成的角，表示ef与bd所成的角，则 (a) f()在(0，+)单调增加 (b) f()在(0，+)单调减少 (c) f() 在(0，1)单调增加，而在(1，+单调减少 (d) f()在(0，+)为常数解：作egac交bc于g，连gf，则=，故gfbd故gef=，gfe=，但acbd，故egf=90故f()为常数选d3设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(a)2个 (b)3个 (c)4个 (d)5个解：设首项为a，公差为d，项数为n，则na+n(n1)d=972，n2a+(n1)d=2972，即n为2972的大于3的约数 n=972，2a+(9721)d=2，d=0，a=1；d1时a0有一解；n=97，2a+96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解； n=297，n=2972，无解n=1，2时n3.选c4在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为 (a)(0，1) (b)(1，+) (c)(0，5) (d)(5，+)解：看成是轨迹上点到(0，1)的距离与到直线x2y+3=0的距离的比：=5，选d5设f(x)=x2x，a = arcsin，=arctan，=arcos()，d=arccot()，则 (a)f()f()f(d)f() (b) f() f(d)f()f() (c) f(i)f()f()f() (d) f(d)f()f()f() 解：f(x)的对称轴为x=， 易得， 00故f(t)单调增，现x1=1y，x+y=22过双曲线x2=1的右焦点作直线l交双曲线于a、b两点，若实数使得|ab| =的直线l恰有3条，则= 解：右支内最短的焦点弦=4又2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长2a=2，这样的弦由对称性有两条故=4时设ab的倾斜角为，则右支内的焦点弦=4，当=90时，=4与左支相交时，=arccos时，=4故=43已知复数z满足=1，则z的幅角主值范围是 解：=14r4+(4cos21)r2+1=0，这个等式成立等价于关于x的二次方程4x2+(4cos21)x+1=0有正根=(4cos21)2160，由x1x2=0，故必须x1+x2=0cos2 (2k+1)arccos2(2k+1)+arccos k+arccosk+arccos，(k=0，1)4已知三棱锥s-abc的底面是以ab为斜边的等腰直角三角形，sa=sb=sc=2，ab=2，设s、a、b、c四点均在以o为球心的某个球面上，则点o到平面abc的距离为 解：sa=sb=sc=2，s在面abc上的射影为ab中点h， sh平面abc sh上任意一点到a、b、c的距离相等 sh=，ch=1，在面shc内作sc的垂直平分线mo与sh交于o，则o为sabc的外接球球心sm=1，so=， oh=，即为o与平面abc的距离5设abcdef为正六边形，一只青蛙开始在顶点a处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在5次之内跳到d点，则停止跳动；若5次之内不能到达d点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种解：青蛙跳5次，只可能跳到b、d、f三点(染色可证)青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算1，写5个“1”，在中填“+”号或“”号： 11111规则可解释为：前三个中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个中继续填写符号前三同号的方法有2种；前三个不同号的方法有232=6种，后两个中填号的方法有22种 共有2+64=26种方法6设a =logz+logx(yz)-1+1，b =logx-1+log(xyz+1)，c =logy+log(xyz)-1+1，记a，b，c中最大数为m，则m的最小值为 解：a=log(+z)，b=log(yz+)，c=log(+y) a+c=log(+yz+x)2log2于是a、c中必有一个log2即mlog2，于是m的最小值log2但取x=y=z=1，得a=b=c=log2即此时m=log2于是m的最小值log2 所求值=log2三、（本题满分20分）设xyz，且x+y+z=，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值解：由于xyz，故x2= cosx siny cosz=cosxsin(y+z)+sin(yz)=cos2x+cosxsin(yz)cos2=即最小值 (由于x，yz，故cosxsin(yz)0)，当y=z=，x=时，cosx siny cosz= cosx siny cosz=coszsin(x+y)sin(xy)=cos2zcoszsin(xy)由于sin(xy)0，cosz0，故cosx siny coszcos2z=cos2=(1+cos)=当x= y=，z=时取得最大值 最大值，最小值四、(本题满分20分)设双曲线xy=1的两支为c1，c2(如图)，正三角形pqr的三顶点位于此双曲线上(1)求证：p、q、r不能都在双曲线的同一支上；(2)设p(-1，-1)在c2上， q、r在c1上，求顶点q、r的坐标解：设某个正三角形的三个顶点都在同一支上此三点的坐标为p(x1，)，q(x2，)，r(x3，)不妨设0x1x20kpq=；kqr=；tanpqr=0)则h2(cos2+isin2)rsin2=0 1h2(cos2+isin2)1h2(cos2+isin2)，cos20=k(kz) q+r再令q=r(cos+isin)，(r0)则q+=(r+)cos+i(r)sinrsin=0或r=1 若sin=