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凑全微分法解微分方程关于解微分方程,书上有的方法我也就不多说了!这里重点说说不常提到的凑全微分法。由于凑全微分会涉及下一学期的内容,所以本色书上没有提到。但是对于解微分方程,凑全微分确实是一个很方便很实用的方法。下面来举个例子:求微分方程通项。【解】将方程改写为从而原方程的通解就是注意:凑全微分法通常较为简捷,但要求熟悉未分公式并能正确分组。熟记下面的微分关系式对使用这个方法是很有帮助的。但并不是所有的微分方程都可以凑得全微分形式的。对于微分方程,它能凑得全微分(即 是全微分方程)的充要条件为 。(若满足全微分方程条件,则其通项为或这不需要记,记一下全微分方程的充要条件即可)下面来解释一下:它的意思是:P函数对y求导的结果等于Q函数对x求导的结果。P对y求导的时候,x作为常数来考虑。即可相当于来处理。如:设(对于,只许记住结论即可,它的证明,还需涉及曲线积分的知识)下面来看一个稍复杂的例子:求解一阶线性微分方程这是教材上的式子。书上是先用分离变量法求得一阶齐次线性微分方程,再用常数变易法来求解非齐次的情况。下面,我们换一种方法来解决它:【解】因,故所给方程不是全微分方程。但它可以化为全微分方程:两边同乘上一个积分因子。待定系数下面来确定由,两边同乘上结果与高数书上的一样。归总一下:对于微分方程其中。如果存在函数为微分方程,则称为积分因子。求积分因子一般来说不是件容易的事。积分因子不是唯一的,因而通解可能具有不同的形式。特别的,(1) 若(仅是x的函数),则积分因子为(2)若(仅
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