广东省高三数学一轮复习 试题选编11 空间角与空间距离问题 理.doc

广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编11：空间角与空间距离问题一、解答题 （广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）如图甲,在平面四边形abcd中,已知,现将四边形abcd沿bd折起,使平面abd平面bdc(如图乙),设点e、f分别为棱ac、ad的中点.(1)求证:dc平面abc; (2)求bf与平面abc所成角的正弦值;(3)求二面角b-ef-a的余弦值. 【答案】证明:在图甲中且 (1) , 即 在图乙中,平面abd平面bdc , 且平面abd平面bdc=bd ab底面bdc,abcd 又,dcbc,且 dc平面abc (2)解法1:e、f分别为ac、ad的中点 ef/cd,又由(1)知,dc平面abc, ef平面abc,垂足为点e fbe是bf与平面abc所成的角 在图甲中, , 设则, 在rtfeb中, 即bf与平面abc所成角的正弦值为 解法2:如图,以b为坐标原点,bd所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示, 设,则, 可得, , , 设bf与平面abc所成的角为 由(1)知dc平面abc (3)由(2)知 fe平面abc, 又be平面abc,ae平面abc,febe,feae, aeb为二面角b-ef-a的平面角 在aeb中, 即所求二面角b-ef-a的余弦为 （广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）如图,在三棱锥v-abc中,vc底面abc,acbc,d是ab的中点,且ac=bc=a,vdc=q (0q ) ()求证:平面vab平面vcd;()当角q 变化时,求直线bc与平面vab所成的角的取值范围.vbcda【答案】解法1: ()ac=bc=a, acb是等腰三角形, 又d是ab的中点, cdab,又vc底面abc. vcab.因vc,cd 平面vcd, ab平面vcd.又ab 平面vab, adbchv 平面vab平面vcd. () 过点c在平面vcd内作chvd于h, 则由()知ch平面vab. 连接bh,bh是cb在平面vab上的射影,于是 cbh就是直线bc与平面vab所成的角.在rtchd中,ch=asinq; 设cbh=j,在rtbhc中,ch=asinj, sinq= sinj , 0q ,zxxk 0sinq 1,0sinj . 又0j ,0w . 即直线与平面所成角的取值范围为(0, ). 解法2:()以ca, cb, cv所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 c(0,0,0), a(a,0,0), b(0,a,0), d(,0),v(0,0,atanq ), 于是,=(,-atanq),=(,0),=(-a,a,0). 从而=(-a,a,0)(,0)=-a2+a2+0=0,即, abcd. 同理=(-a,a,0)(,-atanq)=-a2+a2+0=0,即, abvd.又cdvd=d,ab平面vcd.又ab 平面vab. 平面vab平面vcd. ()设直线bc与平面vab所成的角为j ,平面vab的一个法向量为n=(x, y, z), adbcvxyz 则由n=0, n=0. 得 可取n=(1,1, ),又=(0,-a,0), 于是sinj =| |= sinq , 0q ,0sinq 1,0sinj . 又0j ,0j . 即直线bc与平面vab所成角的取值范围为(0, ). （广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,平面,(1)求直线与平面所成的角;(2)设点在棱上,若平面,求的值.【答案】解1:(1)平面 面 平面平面 过作交于 过点作交于, 平面平面 面 为直线与平面所成的角 在中, , 即直线与平面所成角为 (2)连结,平面,平面 平面 又平面 且 平面平面 又, ,即 解2:如图,在平面内过作直线,交于,分别以、所在的直线为、轴建立空间直角坐标系. 设,则、 (1)设面的法向量为 、 由 得 令可解得 直线与平面所成的角,则 即直线与平面所成的角为 (2) 设面的法向量为 、 由 得 令可解得 若平面,则 而, 所以 （广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）如图,pa垂直o所在平面abc,ab为o的直径,pa=ab,c是弧ab的中点.(1)证明:bc平面pac;(2)证明:cfbp;(3)求二面角focb的平面角的正弦值.【答案】证明:(1)pa平面abc,bc平面abc,bcpa acb是直径所对的圆周角, ,即bcac 又,平面 (2)pa平面abc,oc平面abc, ocpa c是弧ab的中点,dabc是等腰三角形,ac=bc, 又o是ab的中点,ocab 又,平面,又平面, 设bp的中点为e,连结ae,则, ,平面. 又平面, 解:(3)由(2)知平面, 是二面角的平面角 又, ,即二面角的平面角的正弦值为 （2011年高考（广东理）如图5,在锥体中,是边长为1的菱形,且,分别是的中点.图5(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】【解析】（）连接， 因为是边长为的菱形，且，是的中点，所以均为正三角形，且，所以所以，从而，取的中点，连接，因为，所以,又，所以平面，所以在中，因为分别是的中点，所以，所以又，所以平面.（）解法一:由（）知为二面角的平面角,易得,在中,由余弦定理得xyzm所以二面角的余弦值为.另法：解法二:先证明平面，即证明即可，在中，；在中，所以在中，在中，故为直角三角形，从而.建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设平面的一个法向量为，则，从而，解得，令得显然平面的一个法向量为，从而，所以二面角的余弦值为. （广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析）如图(4),在等腰梯形cdef中,cb、da是梯形的高,现将梯形沿cb、da折起,使且,得一简单组合体如图(5)示,已知分别为的中点.(1)求证:平面; (2)求证: ;(3)当多长时,平面与平面所成的锐二面角为? 图(4) 图(5)【答案】(1)证明:连,四边形是矩形,为中点, 为中点, 在中,为中点,故 平面,平面,平面; (其它证法,请参照给分) (2)依题意知 且 平面 平面, 为中点, 结合,知四边形是平行四边形 , 而, ,即 又 平面, 平面, (3)解法一:如图,分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系 设,则 易知平面的一个法向量为, 设平面的一个法向量为,则 故,即 令,则,故 , 依题意, 即时,平面与平面所成的锐二面角为 【解法二:过点a作交de于m点,连结pm,则 为二面角a-de-f的平面角, 由=600,ap=bf=2得am, 又得, 解得,即时,平面与平面所成的锐二面角为 】 （广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知在四棱锥p-abcd中,底面abcd是矩形,pa平面abcd,pa=ad=1,ab=2,e,f分别是ab、pd的中点.(1)求证:af平面pec; (2)求二面角p-ec-d的余弦值;(3)求点b到平面pec的距离.【答案】 （广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word版） ）如图,在三棱拄中,侧面,已知()求证:;()试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得;() 在()的条件下,求二面角的平面角的正切值.【答案】证()因为侧面,故 在中, 由余弦定理有 故有 而 且平面 ()由 从而 且 故 不妨设 ,则,则 又 则 在中有 从而(舍负) 故为的中点时, 法二:以为原点为轴,设,则 由得 即 化简整理得 或 当时与重合不满足题意 当时为的中点 故为的中点使 ()取的中点,的中点,的中点,的中点 连则,连则,连则 连则,且为矩形, 又 故为所求二面角的平面角 在中, 法二:由已知, 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角 因为 故 （广东省惠州市2013届高三第三次（1月）调研考试数学（理）试题）如图,在长方体中,点在棱上移动. (1)证明:;(2)当点为的中点时,求点到平面的距离;(3)等于何值时,二面角的大小为?edcaba1b1c1d1【答案】(1)证明:如图,连接,依题意有:在长方形中, edcaba1b1c1d1f (2)解:, , , . , ., . 设点到平面的距离为,. 点到平面的距离为 (3)解:过作交于,连接.由三垂线定理可知,为二面角的平面角. ,. ,. ,. 故时,二面角的平面角为 （广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理）试题（word版） ）如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,是的中点.(1)求点到面的距离;(2)求二面角的正弦值.abacaeaoa【答案】解: (1)取的中点,连、 、 则面,的长就是所要求的距离. 、, ,在直角三角形中,有 (另解:由 (2)连结并延长交于,连结、. 则就是所求二面角的平面角 作于,则 在直角三角形中, 在直角三角形中, ,故所求的正弦值是 方法二: (1)以为原点,、分别为、轴建立空间直角坐标系. 则有、 设平面的法向量为 则由 由, 则点到面的距离为 (2) 设平面的法向量为则由知: 由知:取 由(1)知平面的法向量为 则 结合图形可知,二面角的正弦值是 （广东省珠海市2013届高三5月综合考试（二）数学（理）试题）如图,四边形与均为菱形,且.(1)求证:;(2)求证:;(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明:设ac与bd相交于点o,连结fo. 因为四边形abcd为菱形,所以,且o为ac中点. 又fa=fc,所以 因为, 所以. (2)证明:因为四边形与均为菱形, 所以 因为 所以 又, 所以平面 又 所以 (3)解:因为四边形bdef为菱形,且,所以为等边三角形. 因为为中点,所以 由()知 ,故 . 法一:由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系. 设ab=2.因为四边形abcd为菱形, 则bd=2,所以ob=1,.则 所以. 设平面bfc的法向量为则有 所以 取,得 易知平面的法向量为. 由二面角a-fc-b是锐角,得 . 所以二面角a-fc-b的余弦值为 法二:取的中点,连接, 四边形与均为菱形,且 ,设为 为、中点, , , 是二面角的平面角 ,又 二面角a-fc-b的余弦值为(14) （2012年广东理）18.如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.(1)证明:平面;(2)若,求二面角的正切值;【答案】【解析】(1)平面,面平面,面又面(2)由(1)得:,平面是二面角的平面角在中,在中,得:二面角的正切值为（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）(本小腼溯分14分)在三棱锥p-abc中.侧梭长均为4.底边ac=4. ab=2,bc=2,d. e分别为pc. bc的中点.i)求证:平面pac平面abc. (ii)求三棱锥p-abc的体积;(iii)求二面角c-ad-e的余弦值.【答案】证明:()因为, 取的中点,连接,易得:, , . . 又 平面,又 注意:该步骤要求学生的表达严谨规范,对于几个垂直的证明,如果没有过程,相应步骤得分为0分,而利用结论的后续证明只要正确,可以相应步骤得分) () (注意:该步骤只要计算出错,就0分) ()方法一:过点e 作于h,过点h作于m, 连接,因为平面平面,平面平面=, ,平面,所以平面, (三垂线定理)(注意:也可以证明线面垂直) 即为所求的二面角的平面角 分别为中点, 在中: , 在中, 所以,中, 所以 zxymhomh 方法二:以o为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 , , , 所以,可以设平面的一个法向量为, 平面的一个法向量为, ,所以令,则, 所以,可以设所求的二面角为,显然为锐角 由可得: （2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）如图所示,已知为圆的直径,点为线段上一点,且,点为圆上一点,且.点在圆所在平面上的正投影为点,.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.pabdco第18题图【答案】解析:()法1:连接,由知,点为的中点, pabdco又为圆的直径, 由知, 为等边三角形,从而 点在圆所在平面上的正投影为点, 平面,又平面, , 由得,平面, 又平面, (注:证明平面时,也可以由平面平面得到,酌情给分.) 法2:为圆的直径, 在中设,由,得, ,则, ,即 点在圆所在平面上的正投影为点, 平面,又平面, , 由得,平面, 又平面, 法3:为圆的直径, 在中由得, 设,由得, 由余弦定理得, ,即 点在圆所在平面上的正投影为点, 平面,又平面, , 由得,平面, 又平面, pabdcoe()法1:(综合法)过点作,垂足为,连接 由(1)知平面,又平面, ,又, 平面,又平面, , 为二面角的平面角 由()可知, (注:在第()问中使用方法1时,此处需要设出线段的长度,酌情给分.) ,则, 在中, ,即二面角的余弦值为 法2:(坐标法)以为原点,、和的方向分别为轴、轴和轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系. pabdcoyzx (注:如果第()问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明,酌情给分.) 设,由,得, , , 由平面,知平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为,则 ,即,令,则, , 设二面角的平面角的大小为, 则, 二面角的余弦值为 （广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）如图,在四棱锥p-abcd中,ab丄平面pad,pd=ad, e为pb的中点,向量,点h在ad上,且(i):ef/平面pad.(ii)若ph=,ad=2, ab=2, cd=2ab,(1)求直线af与平面pab所成角的正弦值. (2)求平面pad与平面pbc所成二面角的平面角的余弦值.【答案】() 取pa的中点q,连结eq、dq, 则e是pb的中点, ,四边形eqdf为平行四边形, , ()解法一:证明: , phad, 又 ab平面pad,平面pad,abph, 又 phad=h, ph平面abcd; - 连结ae 又且 由()知 , 又 在 又 (2)延长da,cb交于点m,连接pm,则pm为平面pad与平面pbc所成二面角的交线. 因为,所以点a,b分别为dm,cm的中点,所以dm=4, 在中:, , 又因为,所以 即为所求的二面角的平面角. 所以在中: 解法二:(向量法)(1)由()可得 又 在平面abcd内过点,以h为原点,以正方向建立空间直角坐标系 设平面pab的一个法向量为 , 得y=0 令 得x=3 设直线af与平面pab所成的角为 则 (9分 ) (2) 显然向量为平面pad的一个法向量,且 设平面pbc的一个法向量为, , 由得到 由得到,令,则 所以, 所以平面pad与平面pbc所成二面角的平面角的余弦值为(14分 ) （广东省增城市2013届高三毕业班调研测试数学（理）试题）如图,在三棱锥中,平面, ,且.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的平面角的余弦值.vabc【答案】(1)平面 平面 平面平面 过点作于,过点作于, 过点作交于,则/ 平面 在中, 在中, 所以所求二面角的平面角的余弦值是 或解:过点作平面,建立直角坐标系如图 则 设 则 同理设 则 设与的夹角为,则 所以所求二面角的平面角的余弦值是 （广东省惠州市2013届高三10月第二次调研考试数学（理）试题）如图,在三棱柱中,侧棱底面,为的中点, .(1) 求证:平面;(2) 若四棱锥的体积为, 求二面角的正切值.【答案】(1)证明: 连接,设与相交于点,连接, 四边形是平行四边形,点为的中点. 为的中点,为的中位线, , (2)解: 依题意知, , 作,垂足为,则, 设, 在中, 四棱锥的体积 依题意得,即 (以下求二面角的正切值提供两种解法) 解法1:, , 取的中点,连接,则,且. . 作,垂足为,连接,由于,且, . 又,. 由,得,得, 在中, . 二面角的正切值为 解法2: , 平面, 以点为坐标原点,分别以所在直线为轴, 轴和轴,建立空间直角坐标系. 则,. , 设平面的法向量为, 由及,得 令,得. 故平面的一个法向量为, 又平面的一个法向量为, . 二面角的正切值为 （广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）如图甲,设正方形的边长为,点分别在上,并且满足,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在平面上的射影恰好在上.(1)证明:平面;(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.图甲图乙第18题图【答案】证明:在图甲中,易知,从而在图乙中有, 因为平面,平面,所以平面(条件2分) 解法1、 如图,在图乙中作,垂足为,连接, 由于平面,则, 所以平面,则, 所以平面与平面所成二面角的平面角, 图甲中有,又,则三点共线, 设的中点为,则,易证,所以,; (三角形全等1分) 又由,得, 于是, 图甲图乙在中,即所求二面角的余弦值为 图丙 解法2、 如图,在图乙中作,垂足为,连接,由于平面,则, 所以平面,则,图甲中有,又,则三点共线, 设的中点为,则,易证,所以,则; 又由,得, 于是, 在中, 作交于点,则,以点为原点,分别以所在直线为轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则、,则(坐标系、坐标、向量各1分) 显然,是平面的一个法向量, 设是平面的一个法向量,则,即,不妨取,则, 设平面与平面所成二面角为,可以看出,为锐角,所以,所以,平面与平面所成二面角的余弦值为 （广东省海珠区2013届高三上学期综合测试（一）数学（理）试题）(本小题满分分)如图,在三棱柱中,侧棱与底面垂直,点分别为和的中点.(1)证明:;(2)证明:平面;(3)求二面角的正弦值.图6【答案】(本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解 :证明(1)证法一:由题设知, 又 平面,平面, 平面, 平面 又四边形为正方形,为的中点, ,平面,平面 平面 又平面 证法二:(向量法) 以点为坐标原点,分别以直线 为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示 于是, (2)证法一: 连接 由题意知,点分别为和的中点, . 又平面,平面, 平面 证法二:取中点,连,而 分别为与的中点, 平面,平面 平面, 同理可证平面 又 平面平面 平面, 平面 证法三(向量法): 以点为坐标原点,分别以直线 为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.于是 , 平面 向量是平面的一个法向量 又平面 平面 (3)解法一:以点为坐标原点,分别以直线 为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示. 于是 , 由(1)知是平面的一个法向量, 设平面的法向量为, 设向量和向量的夹角为,则 二面角的的正弦值为 解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连交于点,连,显然,都在同一平面上. 易证, 平面,平面, ,又 平面. 取中点,连, 分别是的中点 , 平面, 且为垂足,即平面,过点作于, 过作交于,连, 则即是所求二面角的补角 在中, , 在中, 又 在 中, = 所求二面角的正弦值为 （广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）如图5,在四棱锥中,平面,是的中点. (1)求证:平面;(2)若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求四棱锥的体积. 【答案】(1)如图(1),连接,由,得 是的中点,所以 所以 而内的两条相交直线,所以平面 (2)过点作 由(1)平面知,平面.于是为直线与平面 所成的角,且 由知,为直线与平面所成的角 由题意,知 因为所以 由所以四边形是平行四边形,故于是 在中,所以 于是 又梯形的面积为所以四棱锥的体积为 解法2:如图(2),以为坐标原点,所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为: (1)易知因为 所以 而是平面内的两条相交直线,所以 (2)由题设和(1)知,分别是、的法向量 由(1)知, 而直线与所成的角和直线与所成的角相等,所以 由故 解得 又梯形的面积为,所以四棱锥的体积为 （广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）如图,为矩形,为梯形,平面平面,.(1)若为中点,求证:平面;(2)求平面与所成锐二面角的大小.【答案】(1)证明:连结,交与,连结, 中,分别为两腰的中点 因为面,又面,所以平面 (2)解法一:设平面与所成锐二面角的大小为,以为空间坐标系的原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,则 设平面的单位法向量为,则可设 设面的法向量,应有 即: 解得:,所以 所以平面与所成锐二面角为60 解法二:延长cb、da相交于g,连接pg,过点d作dhpg ,垂足为h,连结hc 矩形pdce中pddc,而addc,pdad=d cd平面pad cdpg,又cddh=d pg平面cdh,从而pghc dhc为平面pad与平面pbc所成的锐二面角的平面角 在中, 可以计算 在中, 所以平面与所成锐二面角为60 （广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）如图,在梯形中,平面平面,四边形是矩形,点在线段上.(1)求证:平面;(2)当为何值时,平面?证明你的结论;(3)求二面角的余弦值.【答案】证明:()在梯形abcd中, 四边形abcd是等腰梯形, 且 , 又平面平面abcd,交线为ac,平面acfe. ()当时,平面bdf. 现在证明如下: 在梯形abcd中,设,连结fn,则 而,mfan, 四边形anfm是平行四边形. 又平面bdf,平面bdf. 平面bdf. ()方法一;(几何法)取ef中点g,eb中点h,连结dg、gh、dh, 容易证得de=df, 平面acfe, 又, 又, 是二面角befd的平面角. 在bde中, 又在dgh中, 由余弦定理得即二面角befd的平面角余弦值为 方法二;(向量法)以c为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系: , 所以, 分别设平面bef与平面def的法向量为, 所以,令,则 又显然,令 所以,设二面角的平面角为为锐角 所以 （2013届广东省高考压轴卷数学理试题）如图甲,直角梯形中,点.分别在,上,且,现将梯形沿折起,使平面与平面垂直(如图乙).()求证:平面;()当的长为何值时,二面角的大小为?【答案】解法一:()mb/nc,mb平面dnc,nc平面dnc, mb/平面dnc 同理ma/平面dnc,又mamb=m, 且ma,mb平面mab. . ()过n作nh交bc延长线于h,连hn, 平面amnd平面mncb,dnmn, dn平面mbcn,从而, 为二面角d-bc-n的平面角. = 由mb=4,bc=2,知60, . sin60 = 由条件知: 解法二:如图,以点n为坐标原点,以nm,nc,nd所在直线分别作为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系易得nc=3,mn=, 设,则. (i). , , 与平面共面,又,. (ii)设平面dbc的法向量, 则,令,则, . 又平面nbc的法向量. 即: 又即 （广东省“六校教研协作体”2013届高三第二次（11月）联考数学（理）试题）在四棱锥中,侧面底面,底面是直角梯形,.()求证:平面;()设为侧棱上一点,试确定的值,使得二面角的大小为.【答案】证:()平面底面,所以平面,所以. 如图,以为原点建立空间直角坐标系 则,. 所以 又由平面,可得, 且 所以平面 ()平面的法向量为, ,所以, 设平面的法向量为,由, 得,所以, 所以, 注意到,得 （广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（word版）如图,在边长为4的菱形abcd中,点e,f分别在边cd,cb上,点e与点c,点d不重合, ,沿ef将折起到的位置,使得平面 平面 (1)求证:平面(2)设aobd=h,当o为ch中点时,若点q满足,求直线oq与平面pbd所成角的正弦值.【答案】 （广东省云浮市2012-2013新兴县第一中学高三阶段检测试题数学（三）(理) ）如图,四棱锥中,底面abcd为平行四边形,底面abcd.(i)证明:;(ii)若pd=ad,求二面角a-pb-c的余弦值.【答案】解:()因为, 由余弦定理得 从而bd2+ad2= ab2,故bdad 又pd底面abcd,可得bdpd 所以bd平面pad. 故 pabd ()如图,以d为坐标原点,ad的长为单位长,射线da为轴的正半轴建立空间直角坐标系d-,则 ,. 设平面pab的法向量为n=(x,y,z),则 即 因此可取n= 设平面pbc的法向量为m,则 , 可取m=(0,-1,) ,故二面角a-pb-c的余弦值为 . （广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）在图(4)所示的长方形abcd中, ad=2ab=2,e、f分别为ad、bc的中点, m 、n两点分别在af和ce上运动,且am=en=把长方形abcd沿ef折成大小为的二面角a-ef-c,如图(5)所示,其中(1)当时,求三棱柱bcf-ade的体积;(2)求证:不论怎么变化,直线mn总与平面bcf平行; (3)当且时,求异面直线mn与ac所成角余弦值.【答案】解:(1)依题意得平面,= 由得, (2)证法一:过点m作交bf于, 过点n作交bf于,连结, 又 四边形为平行四边形, 【法二:过点m作交ef于g,连结ng,则 , 同理可证得,又, 平面mng/平面bcf mn平面mng, 】 (3)法一:取cf的中点为q,连结mq、nq,则mq/ac, 或其补角为异面直线mn与ac所成的角, 且, 即mn与ac所成角的余弦值为 【法二:且 分别以fe、fb、fc所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系 则 , 所以与ac所成角的余弦值为 】 （广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为直角梯形,ad/bc,adc=90,平面pad底面abcd,q为ad的中点,m是棱pc上的点,pa=pd=2,bc=ad=1,cd=.(1)若点m是棱pc的中点,求证:pa / 平面bmq;(2)求证:平面pqb平面pad; (3)若二面角m-bq-c为30,设pm=tmc,试确定t的值 .【答案】 ()ad / bc,bc=ad,q为ad的中点, 四边形bcdq为平行四边形,cd / bq adc=90 aqb=90 即qbad. 又平面pad平面abcd 且平面pad平面abcd=ad, bq平面pad bq平面pqb, 平面pqb平面pad 另证:ad / bc,bc=ad,q为ad的中点 bc / dq 且bc= dq, 四边形bcdq为平行四边形,cd / bq . adc=90 aqb=90 即qbad pabcdqmnxyz pa=pd, pqad pqbq=q,ad平面pbq ad平面pad, 平面pqb平面pad ()pa=pd,q为ad的中点, pqad. 平面pad平面abcd,且平面pad平面abcd=ad, pq平面abcd (不证明pq平面abcd直接建系扣1分) 如图,以q为原点建立空间直角坐标系. 则平面bqc的法向量为; , 设, 则, , （广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模）如图6,已知四边形是矩形,三角形是正三角形,且平面平面.(1)若是的中点,证明:;(2)求二面角的余弦值.【答案】 （广东省揭阳一中2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）如图所示的几何体是由以等边三角形abc为底面的棱柱被平面def所截面得,已知fa平面abc,ab=2,bd=1,af=2,ce=3,o为ab的中点.(1)求证:ocdf;(2)求平面def与平面abc相交所成锐二面角的大小;(3)求多面体abcfde的体积v.【答案】解:(1)证法一:fa平面abc,平面abc, 又ca=cb且o为ab的中点, 平面abdf, 平面abdf, 证法二:如图,以o为原点,ob、oc、oz分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 即 解法二:设平面def与平面abc相交所成锐二面角的大小为,依题中的条件可求得de=由空间射影定理得故平面def与平面abc相交所成锐二面角的大小为 解法三:延长ed、fd交直线cb、ab于m、n两点,过b点作mn的垂线交mn于q点,连结dq, 平面bmn,所以为二面角的平面角, ,故平面def与平面abc相交所成锐二面角的大小为 (3)解法一:由(1)知平面abdf,且平面abc, 所以多面体abcfde的体积为解法二:在原来的几何体再补一个相同的几何体得到一个直三棱柱,其底面为abc,高为4, 所以多面体abcfde的体积所以多面体abcfde的体积为 （广东省珠海市2013届高三9月摸底（一模）考试数学（理）试题）如图1,在直角梯形中, 为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.(1) 求证:平面;(2) 求二面角的余弦值.abcd图2mbacd图1m.【答案】解:()在图1中,设,可得,从而,故 取中点连结,则,又面面, 面面,面,从而平面, 又, 平面 另解:在图1中, 设,可得,从而,故 面面,面面,面,从而平面 ()法一.连接,过作于,连接 、分别是、中点 平面 平面 是二面角的平面角 由得, 中 二面角的余弦值为 ()建立空间直角坐标系如图所示,则, , xabcdmyzo设为面的法向量, 则即,解得 令,可得 又为面的一个发向量 二面角的余弦值为. （广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（word版）等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图3).将沿折起到的位置,使二面角成直二面角,连结、 (如图4).(1)求证:平面;(2)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.bced图4图3abcde【答案】(本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力等,本小题满分14分) abcde证明:(1)因为等边的边长为3,且, 所以,. 在中, 由余弦定理得. 因为, 所以. 折叠后有 因为二面角是直二面角,所以平面平面 又平面平面,平面, 所以平面 (2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为. bcedhp如图,作于点,连结、 由(1)有平面,而平面, 所以 又, 所以平面 所以是直线与平面所成的角 设,则, 在中,所以 在中, 由, 得 解得,满足,符合题意 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 解法2:由(1)的证明,可知,平面. bcedhxyzp 以为坐标原点,以射线、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图 设, 则, 所以, 所以 因为平面, 所以平面的一个法向量为 因为直线与平面所成的角为, 所以 , 解得 即,满足,符合题意 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 （广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）四棱锥pabcd中,侧面pdc是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面abcd是adc的菱形,m为pb的中点,q为cd的中点.(1) 求证:pacd;(2) 求aq与平面cdm所成的角.第18题图cbadqpm【答案】cbadqpmn第17题图第18题图cbadqpmnxy z解:(1)连结pq,aq. pcd为正三角形, pqcd. 底面abcd是adc的菱形, aqcd. cd平面paq pacd. (2)设平面cdm交pa于n,cd/ab, cd/平面pab. cd/mn.由于m为pb的中点,n为pa的中点. 又pd=cd=ad,dnpa. 由(1)可知pacd, pa平面cdm 平面cdm平面pab. pa平面cdm,联接qn、qa,则aqn为aq与平面cdm所成的角