南京航空航天大学《高等数学》129二阶常系数齐次线性.pdf

问题的提出问题的提出 型的微分方程 I 型的微分方程 I xfy n 型的微分方程 型的微分方程 y x f y 型的微分方程 型的微分方程 y y f y 一 问题的提出一 问题的提出 求质点的运动规律 且质点位于原点若开始时 时 直到均匀 随时 设 轴作直线运动沿受力的质点质量 求质点的运动规律 且质点位于原点若开始时 时 直到均匀 随时 设 轴作直线运动沿受力的质点质量 0 0 0 0 0 0 v TFTtF tFFttFF oxFm 2 2 tF dt xd mtxx 则设运动方程 则设运动方程 求出力函数 求出力函数 tF 0 0 0 0 TFTtFFt 实例实例 解解 1 0 0 0 T t Ft T F FtF T F T FTF F 0 0 0 均匀减少又 均匀减少又 1 1 0 2 2 0 2 2 T t m F dt xd T t F dt xd m 即 微分方程为 即 微分方程为 00 0 0 t t dt dx vx初始条件 初始条件 二阶微分方程 初值问题 二阶微分方程 初值问题 定义定义 二阶及二阶以上的微分方程称为高 阶微分方程 二阶及二阶以上的微分方程称为高 阶微分方程 从本节起我们讨论高阶微分方程从本节起我们讨论高阶微分方程 有些高阶方程 可通过变量代换化成较低阶的 方程求解 有些高阶方程 可通过变量代换化成较低阶的 方程求解 本节介绍三种容易降阶的高阶方程的求解方法本节介绍三种容易降阶的高阶方程的求解方法 个任意常数的表达式含有个任意常数的表达式含有 ny cxcdxdxxfy cdxxfy xfy n n n 21 2 1 1 型的微分方程一 I 型的微分方程一 I xfy n 解法解法逐次积分逐次积分 的函数仅是方程右端的函数仅是方程右端xxf特点特点 1 2 2 cos c x xy xxy sin 3 解方程解方程 21 3 32 sin cxc x xy 32 2 1 4 2 4 coscxc x c x xy 例例1 解解逐次积分逐次积分 例例2求解前面实例中的 初值问题 求解前面实例中的 初值问题 00 1 0 0 0 2 2 t t dt dx vx T t m F dt xd 1 2 1 2 0 c T t t m F dt dx 解解逐次积分逐次积分 2 62 21 32 0 ctc T tt m F x 代入 将初始条件 代入 将初始条件 0 0 0 0 t t dt dx v x 0 2 0 1 2 1 c c 得 由 得 由 得 由 得 由 3 1 2 62 2 0 32 0 T t m tF T tt m F tx 1 cxP 解 设其通解 应用前面一阶方程的求 解 设其通解 应用前面一阶方程的求 yyxf不含方程右端不含方程右端 PxfP P dx dP yxPy 变为 方程 则令 变为 方程 则令 211 cdxcxycx dx dy 即 即 型的微分方程二 型的微分方程二 II y x fy 微分方程 的一阶 关于变量 微分方程 的一阶 关于变量 Px 特点特点 解法解法 的特解 满足求 的特解 满足求3 1 2 1 00 2 xx yyxyyx 解解y方程不显含方程不显含 例例3 0 1 2 2 PP x x P PyPy 代入得 令 代入得 令 1 2 1 2 1 ln 1ln ln cxP cxP 积分得 积分得 1 2 1 cx dx dy 即 即 2 3 1 3 c x xcy 再积分得 再积分得 1 3 21 cc 代初始条件得 代初始条件得 所求特解为 所求特解为 1 3 3 3 x xy 0 4 5 的通解求方程的通解求方程 yxy 解解 4 xPy 设设 代入原方程代入原方程 0 PPx xCP 1 解线性方程解线性方程 得 两端积分 得 两端积分 得得 原方程通解为原方程通解为 5 xPy 0 P 1 4 xCy 即即 2 1 2 2 1 CxCy 26120 54 2 3 3 2 5 1 CxCx C x C x C y 54 2 3 3 2 5 1 dxdxdxdxdy 例例 4 Pyf dy dP P dy dP P dx dy dy dP dx dP yPy 得 代入方程 令 得 代入方程 令 xyyf不含方程右端不含方程右端 1 cyyP 设通解为设通解为 2 1 cx cy dy 程 阶微分方 的一 关于变量 程 阶微分方 的一 关于变量 Py 型的微分方程 三型的微分方程 三 II y y fy 特点特点 解法解法 的通解为 的通解为 的通解求微分方程的通解求微分方程0 2 yyy例例5 解解x方程不显含方程不显含 dy dP PyPy 令令 0 2 P dy dP yP 原方程变为 原方程变为 0 0 P dy dP y P 方程成为 若 方程成为 若 得 分离变量后积分 得 分离变量后积分 y dy P dP 21 11 lnln cxcy ycyycP 再分离变量积分 即 再分离变量积分 即 0 0 12 1 cecy cyP xc 之中视的解 时是原方程时 之中视的解 时是原方程时 xc ecy 1 2 通解 通解 另解另解 1 2 y 两端同乘不为零因子两端同乘不为零因子 0 2 2 y y d