对称性与周期性j教师版.doc

一、 对称性1。 函数的图像关于直线xa对称的充要条件是或2 函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是二、 含绝对值的函数的对称性已知函数，叫做函数的自变量；叫做函数的应变量（函数值）。1对自变量取绝对值：； 图象关于轴对称。思考2对应变量取绝对值：； 函数图象关于轴对称。3对全都取绝对值：；所以函数图象关于轴、轴及原点对称。4对整个函数取绝对值：；5对都取绝对值：；6部分自变量取绝对值：。三、周期性（知道两个对称性一定可以求周期 ）1对于非零常数A，若函数满足，则函数必有一个周期为2A2、对于非零常数A，函数满足，则函数的一个周期为2A。(3) 若函数满足其中是一个给定的常数,则是周期函数且它的周期是。推论1若函数满足,其中是一个给定的常数,则是周期函数且它的周期是。(4) ；函数是周期函数,且它的一个周期（）=其中是给定的常数,则为周期函数且它的周期是。（5）具有递推性质:(其中为正整数,为可变的正整数,且) 的数列必定是周期数列,就是它的周期。已知函数，那么设，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得的值为提示：设则 函数对于任意实数满足条件，若，求解：由得，所以，则1定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x2)13，f(1)2，则f(99)()A13B2C. D.解析：由f(x)f(x2)13，知f(x2)f(x4)13，所以f(x4)f(x)，即f(x)是周期函数，周期为4.所以f(99)f(3424)f(3).答案：C8已知函数f(x1)是奇函数，f(x1)是偶函数，且f(0)2，则f(4)_.解析：依题意有f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，所以f(4)f(3)1)f(2)f(11)f(0)2.答案：210对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为_若f(x)是奇函数，则f(x1)的图象关于点A(1,0)对称；若对xR，有f(x1)f(x1)，则yf(x)的图象关于直线x1对称；若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，则f(x)为偶函数；函数yf(1x)与函数yf(1x)的图象关于直线x1对称解析：f(x1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位而得到，又f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以f(x1)的图象关于点A(1,0)对称，故正确；由f(x1)f(x1)可知f(x)的周期为2，无法判断其对称轴，故错误；f(x1)的图象关于直线x1对称，则f(x)关于y轴对称，故f(x)为偶函数，正确；yf(1x)的图象是由yf(x)的图象向左平移一个单位后得到，yf(1x)是由yf(x)的图象关于y轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y轴对称，故错误答案：函数f（x）对一切实数x都满足，并且f（x）=0有3个实根，求这3个实根之和。解：由可知：函数f（x）关于直线对称，又f（x）=0有3个实根，f（x）=0必有一根是，且其余两根x2、x3关于对称， 例1 定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（ ）A. 是偶函数，也是周期函数；B. 是偶函数，但不是周期函数C. 是奇函数，也是周期函数；D. 是奇函数，但不是周期函数解：因为为偶函数，所以。所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函(2009山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数.若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4.解析：由f(x4)f(x)f(4x)f(x)，故函数图象关于直线x2对称，又函数f(x)在0,2上是增函数，且为奇函数，故f(0)0，故函数f(x)在(0,2上大于0，根据对称性知函数f(x)在2,4)上大于0，同理推知函数f(x)在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f(x)m(m0)的两根关于直线x2对称，故此两根之和等于4，根据f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，函数f(x)以8为周期，故在区间(8,0)上方程f(x)m(m0)的两根关于直线x6对称，此两根之和等于12，综上四个根之和等于8.答案：8例3 设函数 满足,求该函数的最小正周期。解:因为 所以,函数的最小正周期。（2005广东 19）设函数在（，）上满足，且在闭区间0，7上，只有。试判断函数的奇偶性；试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论。解：由，得函数的对称轴为，。由前面的知识可知函数的一个周期为T=10。因为函数在0，7上只有可知 ，又 而 且，则，因此，函数既不是奇函数，也不是偶函数。由，可得故函数在0，10和10，0上均有两个解，满足；从而可知函数在0，2005上有402个解，在2005，0上有400个解。所以，函数在2005，2005上共有802个解。设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足f(x1x2)；存在正常数a，使f(a)1.求证：(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.证明：(1)不妨令xx1x2，则f(x)f(x2x1)f(x1x2)f(x)f(x)是奇函数(2)要证f(x4a)f(x)，可先计算f(xa)，f(x2a)，f(xa)fx(a)，(f(a)1)f(x2a)f(xa)a.f(x4a)f(x2a)2af(x)故f(x)是以4a为周期的周期函数8 已知函数的定义域是R, ，求的值。分析 由已知式子得, ,所以 所以 即所以是以4 为周期的周期函数。又因为, 所以 而, 所以思维拓展由函数且1,以下同),可知周期是,且有a、当时, 函数方程是，其周期为b、当时, 函数方程是，其周期为c、当时, 函数方程是，其周期为（3）由余弦函数的和差