2015国家公务员考试行测备考：数学运算之容斥原理和抽屉原理精讲.pdf

给人改变未来的力量给人改变未来的力量 2015 国家公务员考试行测备考 数学运算之容斥原理和抽屉原理精讲 文章来源 天津人事考试网 下载文档可查看 国考 2015 年国考备考大全 行测答题技巧行测答题技巧 容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的 常客 了解 此两种原理不仅可以提高做题效率 还可以提高自己的运算能力 扫平所有此类计算题 中公教育专 家在此进行详细解读 一 容斥原理一 容斥原理 在计数时 要保证无一重复 无一遗漏 为了使重叠部分不被重复计算 在不考虑重叠的情况下 把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去 使得计 算的结果既无遗漏又无重复 这种计数的方法称为容斥原理 1 容斥原理 1 两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有 A B 两类 那么 先把 A B 两个集合的元素个数相加 发现既是 A 类又是 B 类的部分重复计算了一次 所以要减去 如图所示 公式 A B A B A B 总数 两个圆内的 重合部分的 例 1 一次期末考试 某班有 15 人数学得满分 有 12 人语文得满分 并且有 4 人语 数都是 满分 那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人 数学得满分人数 A 语文得满分人数 B 数学 语文都是满分人数 A B 至少有一门得满分 人数 A B A B 15 12 4 23 共有 23 人至少有一门得满分 2 容斥原理 2 三个集合的容斥原理 给人改变未来的力量给人改变未来的力量 如果被计数的事物有 A B C 三类 那么 将 A B C 三个集合的元素个数相加后发现两两重叠 的部分重复计算了 1 次 三个集合公共部分被重复计算了 2 次 如图所示 灰色部分 A B A B C B C A B C C A A B C 都被重复计算了 1 次 黑色 部分 A B C 被重复计算了 2 次 因此总数 A B C A B C A B A B C B C A B C C A A B C 2A B C A B C A B B C C A A B C 即得到 公式 A B C A B C A B B C C A A B C 总数 三个圆内的 重合两次的 重合三次的 例 2 某班有学生 45 人 每人都参加体育训练队 其中参加足球队的有 25 人 参加排球队的 有 22 人 参加游泳队的有 24 人 足球 排球都参加的有 12 人 足球 游泳都参加的有 9 人 排球 游泳都参加的有 8 人 问 三项都参加的有多少人 参加足球队 A 参加排球队 B 参加游泳队 C 足球 排球都参加的 A B 足球 游泳都 参加的 C A 排球 游泳都参加的 B C 三项都参加的 A B C 三项都参加的有 A B C A B C A B C A B B C C A 45 25 22 24 12 9 8 3 人 3 用文氏图解题 文氏图又称韦恩图 能够将逻辑关系可视化的示意图 从文氏图可清晰地看出集合间的逻辑关系 重复计算的次数 最适合描述 3 个集合的情况 例 3 某班有 50 位同学参加期末考试 结果英文不及格的有 15 人 数学不及格的有 19 人 英文和数学都及格的有 21 人 那么英文和数学都不及格的有 人 A 4 B 5 C 13 D 17 中公解析 如图所示 按英文及格 数学及格画 2 个圆圈 根据题干条件确定它们重叠 给人改变未来的力量给人改变未来的力量 二 抽屉原理二 抽屉原理 能利用抽屉原理来解决的问题称为抽屉问题 在行测考试数学运算中 考查抽屉原理问题时 题 干通常有 至少 才能保证 字样 抽屉原理 1 将多于 n 件的物品任意放到 n 个抽屉中 那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于 2 至少有 2 件物品在同一个抽屉 抽屉原理 2 将多于 m n 件的物品任意放到 n 个抽屉中 那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于 m 1 至 少有 m 1 件物品在同一个抽屉 下面我们通过几个简单的例子来帮助理解这两个抽屉原理 例 1 将 5 件物品放到 3 个抽屉里 要想保证任一个抽屉的物品最少 只能每个抽屉放一件 有 5 件物品 放了 3 件 还剩 5 3 1 2 件 这两件只能分别放入两个抽屉中 这样物品最多的抽屉 中也只有 2 件物品中公 教育版权 即当物品数比抽屉数多时 不管怎么放 总有一个抽屉至少有 2 件物品 例 2 将 10 件物品放到 3 个抽屉里呢 将 22 件物品放到 5 个抽屉里呢 同样 按照前面的思路 要想保证任一个抽屉的物品数都最少 那么只能先平均放 10 3 3 1 则先每个抽屉放 3 件 还剩余 10 3 3 1 件 随便放入一个抽屉中 则这个抽屉 中的物品数为 3 1 4 件 22 5 4 2 则先每个抽屉放 4 件 还剩余 22 4 5 2 件 分别放入两个抽屉中 则这两个抽 屉中的物品数为 4 1 5 件 即如果物体数大于抽屉数的 m 倍 那么至少有一个抽屉中的物品数不少于 m 1 1 利用抽屉原理解题 一般来说 求抽屉数 抽屉中的最多有几件物品时采用抽屉原理 其解题流程如下 1 找出题干中物品对应的量 2 合理构造抽屉 简单问题中抽屉明显 找出即可 3 利用抽屉原理 1 抽屉原理 2 解题 例题 1 外国讲星座 中国传统讲属相 请问在任意的 37 个中国人中至少有几个人的属相相 同 A 3 B 4 C 5 D 6 中公解析 属相有 12 种 看成 12 个抽屉 则至少有一个抽屉有不少于 给人改变未来的力量给人改变未来的力量 4 个人 即至少有 4 个人属相相同 选 B 2 考虑最差 最不利 情况 抽屉问题所求多为极端情况 即从最差的情况考虑 对于 一共有 n 个抽屉 要有 取 多少件物 品 才能保证至少有一个抽屉中有 m 个物体 即求物品总数时 考虑最差情况这一方法的使用非常 有效 具体思路如下 最差情况是尽量不能满足至少有一个抽屉中有 m 个物品 因此只能将物品均匀放入 n 个抽屉中 当物品总数 n m 1 时 每个抽屉中均有 m 1 个物品 此时再多 1 个 即可保证有 1 个抽屉中有 m 个物品 因此物品总数为 n m 1 1 例题 2 从一副完整的扑克牌中 至少抽出多少张牌 才能保证至少有 6 张牌的花色相同 A 21 B 22 C 23 D 24 中公解析 此题答案为 C 一副完整的扑克牌包括大王 小王 红桃 方块 黑桃 梅花各 13 张 至少抽出多少