广东省东莞市高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

广东省东莞市2015届高三上学期期末数学试卷（理科） 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）i是虚数单位，记z=，则|z|=（）a+bc+id2（5分）抛物线y2=4x的准线方程为（）ax=1bx=1cx=2dx=23（5分）如图，容量为9的4个样本，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（）abcd4（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）a8b16c24d485（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的取值范围是（）a2，0b0，+c0，2d2，26（5分）已知定义在r上的函数f（x），g（x）满足：=ax（a0，且a1），且f（x）g（x）f（x）g（x），+=，则实数a的值为（）a3bc3或d27（5分）已知与为不共线的单位向量，其夹角，设=+，=+，有下列四个命题：p1：|+|（0，）；p2：|+|（，）；p3：若a，b，c共线+=1；p4：若a，b，c共线=1其中真命题的是（）ap1，p4bp1，p3cp2，p3dp2，p48（5分）在实数集r内，我们用“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在向量集上也可以定义一个“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1）（x1，y1r），=（x2，y2）（x2，y2r），当取仅当“x1x2“或“x1=x2且y1y2r”时，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：若，则|；若，则，则；若，则对于任意，都有（+）（+）成立；对于实数0，若，则成立；其中所有命题的个数为（）a1b2c3d4二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9（5分）如图所示的流程图，输出的结果是10（5分）设f（x）=xm+ax的导函数f（x）=2x+1，则f（x）dx的值等于11（5分）若（12x）2015=a0+a1x+a2015x2015（xr），则+的值为12（5分）将全体正偶数排成一个三角数阵：按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为13（5分）函数f（x）=sinxx的零点个数是三、坐标系与参数方程选做题14（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线（cossin）+2=0被曲线c：=2所截得弦的中点的极坐标为四、几何证明选讲做题15如图所示，ab是半径等于3的圆o的直径，cd是圆o的弦，ba，dc的延长线交于点p，若pa=4，pc=5，则cbd=五、解答题（共6小题，满分80分）16（12分）已知函数f（x）=2sin（x）（0，0）的最小正周期为，且是它的一个零点（1）求函数f（x）的解析式；（2）若，0，f（+）=，f（+）=，求cos（+）的值17（12分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示（）请根据图中所给数据，求出a的值；（）从成绩在50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在60，70）内的概率；（）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用x表示所选学生成绩在60，70）内的人数，求x的分布列和数学期望18（14分）如图，pcbm是直角梯形，pcb=90，pmbc，pm=1，bc=2，又ac=1，acb=120，abpc，直线am与直线pc所成的角为60（1）求证：平面pac平面abc；（2）求二面角mabc的余弦值19（14分）已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，且过点p（，）（1）求椭圆c的方程（2）设点q是椭圆c上一个动点，点a的坐标为（1，0），记|qa|2=1+|qo|2，求的最大值20（14分）已知an=logn+1（n+2）（nn+），把使得乘积a1a2a3an的整数的数n叫做“穿越数”，并把这些“穿越数”由小到大排序构成的数列记为bn（mn+）（1）求区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和；（2）证明：+21（14分）已知函数f（x）=（x2+2x+a）+ln|x|，其中ar，g（x）=设a（x1，f（x1），b（x2，f（x2）为函数f（x）图象上的两点，且x1x2（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象在点a，b处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值，并指出此时x1，x2的值；（3）若存在x1，x2使函数f（x）的图象在点a，b处的切线重合，求实数a的取值范围广东省东莞市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）i是虚数单位，记z=，则|z|=（）a+bc+id考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出解答：解：z=，则|z|=故选：b点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题2（5分）抛物线y2=4x的准线方程为（）ax=1bx=1cx=2dx=2考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线y2=2px（p0）的准线方程为x=，则抛物线y2=4x的准线方程即可得到解答：解：由抛物线y2=2px（p0）的准线方程为x=，则抛物线y2=4x的准线方程为x=1故选b点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题3（5分）如图，容量为9的4个样本，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（）abcd考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：根据选项中数据的波动情况，结合方差与标准差的定义，得出正确的结论解答：解：根据题意，得；对于a，9个数据都是5，方差为0；对于b和c，数据的分布比较均匀，b的方差较小些，c的方差较大些；对于d，数据主要分布在2和8处，距离平均数5是最远的一组，d的数据方差最大，对应的标准差也最大故选：d点评：本题考查了频率分步直方图的应用问题，也考查了数据的方差与标准差的应用问题，是基础题目4（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）a8b16c24d48考点：由三视图求面积、体积 专题：图表型分析：三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体的体积解答：解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，6，10，则该四面体的体积是v=sh=8故选a点评：本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键5（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的取值范围是（）a2，0b0，+c0，2d2，2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，化z=x+2y为，由图可知，当直线过a（0，1）时，直线在y轴上的截距最小，z最小为2；当直线过c（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z最大为2目标函数z=x+2y的取值范围是2，2故选：d点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题6（5分）已知定义在r上的函数f（x），g（x）满足：=ax（a0，且a1），且f（x）g（x）f（x）g（x），+=，则实数a的值为（）a3bc3或d2考点：导数的运算 专题：导数的综合应用分析：根据=ax，结合题中等式建立关于a的方程：a+=，解之得a=3或再根据f（x）g（x）f（x）g（x）可证出y=ax是r上的减函数，得a（0，1），由此可得a=解答：解：=ax，=a，=，因此+=，即a+解之得a=3或设f（x）=，则f（x）=，f（x）g（x）f（x）g（x），f（x）0在r上成立，故f（x）是r上的减函数即y=ax是r上的减函数，故a（0，1）实数a的值为故选：b点评：本题给出含有指数形式的函数，求解关于字母a的方程，着重考查了指数函数的单调性和导数的运算法则等知识，属于基础题7（5分）已知与为不共线的单位向量，其夹角，设=+，=+，有下列四个命题：p1：|+|（0，）；p2：|+|（，）；p3：若a，b，c共线+=1；p4：若a，b，c共线=1其中真命题的是（）ap1，p4bp1，p3cp2，p3dp2，p4考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：与为不共线的单位向量，其夹角，可得=1，=cos（0，）p1：|+|0（0，），即可判断出正误；p2：由命题p1正确即可判断出正误；p4：若a，b，c共线存在实数k使得，即+=k（+），可得，即可判断出正误；p3：由命题p4正确，即可判断出正误解答：解：与为不共线的单位向量，其夹角，=1，=cos（0，）对于p1：|+|0（0，），因此正确；对于p2：由命题p1正确可知：|+|（，），不正确；对于p4：若a，b，c共线存在实数k使得，因此，+=k（+），=1因此是真命题；对于p3：由命题p4正确，可知命题p3不正确综上可得：只有命题p1，p4正确故选：a点评：本题考查了向量的数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）在实数集r内，我们用“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在向量集上也可以定义一个“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1）（x1，y1r），=（x2，y2）（x2，y2r），当取仅当“x1x2“或“x1=x2且y1y2r”时，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：若，则|；若，则，则；若，则对于任意，都有（+）（+）成立；对于实数0，若，则成立；其中所有命题的个数为（）a1b2c3d4考点：平面向量数量积的运算 专题：新定义；平面向量及应用分析：根据已知条件中，对于任意两个向量=（x1，y1）（x1，y1r），=（x2，y2）（x2，y2r），当取仅当“x1x2“或“x1=x2且y1y2r”时，按上述定义的关系“”，判断各个选项是否正确，从而得出结论解答：解：对于任意两个向量=（x1，y1）（x1，y1r），=（x2，y2）（x2，y2r），当取仅当“x1x2“或“x1=x2且y1y2r”时，按上述定义的关系“”对于若，则“x1x2“或“x1=x2且y1y2r”，|=，|=，不一定有|，故不正确；对于，设向量 =（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3），若，则有“x1x2”或“x1=x2且y1y2”，“x2x3”或“x2=x3且y2y3”故有“x1x3”或“x1=x3且y1y3”故有，故正确；对于，若，则对于任意，设 =（x，y），=（x1，y1），=（x2，y2），由于“x1x2”或“x1=x2且y1y2”，则“x+x1x+x2”或“x+x1=x+x2且y+y1y+y2”，即有（+）（+）成立，故正确；对于，对于实数0，设向量 =（x1，y1），=（x2，y2），若，则有“x1x2”或“x1=x2且y1y2”，即有“x1x2”或“x1=x2且y1y2”，则不成立，故不正确综上正确的个数为2故选b点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了新定义“”，正确理解新定义“”的实质，是解答的关键，属于中档题二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9（5分）如图所示的流程图，输出的结果是24考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，当n=5时，不满足条件n4，退出循环，输出s的值为24解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，s=1满足条件n4，s=1，n=2满足条件n4，s=2，n=3满足条件n4，s=6，n=4满足条件n4，s=24，n=5不满足条件n4，退出循环，输出s的值为24故答案为：24点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题10（5分）设f（x）=xm+ax的导函数f（x）=2x+1，则f（x）dx的值等于考点：导数的运算 专题：导数的综合应用分析：f（x）=xm+ax的导函数f（x）=2x+1，可得mxm1+a=2x+1，f（x）=x2+x再利用微积分基本定理即可得出解答：解：f（x）=xm+ax的导函数f（x）=2x+1，mxm1+a=2x+1，解得a=1，m=2f（x）=x2+xf（x）dx=（x2+x）dx=故答案为：点评：本题考查了导数的运算法则、微积分基本定理，属于基础题11（5分）若（12x）2015=a0+a1x+a2015x2015（xr），则+的值为1考点：二项式定理的应用 专题：计算题；二项式定理分析：由（12x）2015=a0+a1x+a2015x2015（xr），到展开式的每一项的系数ar，代入到+求值即可解答：解：由题意得：ar=c2015r（2）r，+=+c20152c20153+c20152014c20152015c20150c20151+c20152c20153+c20152014c20152015=（11）2015+=1故答案为：1点评：此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数问题时，常采取赋值法12（5分）将全体正偶数排成一个三角数阵：按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为n2n+6考点：归纳推理 专题：推理和证明分析：首先找出三角形数阵的规律，求出前n1行正偶数的个数，然后由偶数的特点求出第n行第3个偶数解答：解：观察三角形数阵知第n行有n个正偶数，则第n行（n3）前共有1+2+3+（n1）=个数，所以第n行（n3）从左向右的第3个数为2+3=n2n+6，故答案为：n2n+6点评：本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力13（5分）函数f（x）=sinxx的零点个数是7考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，利用图象得到交点的个数，即可得到函数零点的个数解答：解：因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，由图得交点7个故函数f（x）=sinxx的零点个数是7故答案为：7点评：本题考查函数零点个数的判断和数形结合思想的应用在判断函数零点个数时，常转化为对应方程的根，利用根的个数来得结论或转化为对应两个函数的图象的交点，利用两个函数的图象的交点个数来判断三、坐标系与参数方程选做题14（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线（cossin）+2=0被曲线c：=2所截得弦的中点的极坐标为考点：简单曲线的极坐标方程 专题：计算题分析：把直线和圆的极坐标方程化为极坐标方程，利用直线和圆相交的性质得到 1=1，解得m的值，可得中点a 的直角坐标，再化为极坐标解答：解：直线（cossin）+2=0即 xy+2=0，曲线c：=2 即 =2，即 x2+y2=4，表示以原点o为圆心，以2为半径的圆设弦的中点为a（m，m+2），则由oa垂直于直线可得 1=1，解得m=1，故弦的中点为a（1，1），它的极坐标为，故答案为 点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求点的极坐标，直线和圆相交的性质，属于基础题四、几何证明选讲做题15如图所示，ab是半径等于3的圆o的直径，cd是圆o的弦，ba，dc的延长线交于点p，若pa=4，pc=5，则cbd=30考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；压轴题分析：欲求：“cbd”，根据圆中角的关系：cod=2cbd，只要求出cod即可，把它放在三角形cod中，可利用切割线定理求出cd的长，从而解决问题解答：解：由割线定理得，papb=pcpd，pa=4，pc=5，410=5pd，pd=8，cd=85=3，cdo是等边三角形，cod=60，从而cbd=30故填：30或点评：此题中要通过计算边长，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题五、解答题（共6小题，满分80分）16（12分）已知函数f（x）=2sin（x）（0，0）的最小正周期为，且是它的一个零点（1）求函数f（x）的解析式；（2）若，0，f（+）=，f（+）=，求cos（+）的值考点：正弦函数的图象；两角和与差的余弦函数 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据函数的周期和零点求出，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用两角和差的余弦公式进行求解即可解答：解：（1）函数f（x）=2sin（x）（0，0）的最小正周期为，=，解得=2，则f（x）=2sin（2x） （2分）又是它的一个零点，即2=k，（4分）则=k，kz，0 （5分）当k=0时，= （6分）故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x） （7分）（2）由（1）f（x）=2sin（2x） 又f（+）=，f（+）=sin（+）=，sin= （9分）cos=，又，0，=，=，则cos（+）=coscossinsin= （12分）点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键17（12分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示（）请根据图中所给数据，求出a的值；（）从成绩在50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在60，70）内的概率；（）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用x表示所选学生成绩在60，70）内的人数，求x的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列 专题：图表型；概率与统计分析：（i）根据频率分布直方图，结合频率之和为1，看出小矩形的高的值即得a的值（ii）设“从成绩在50，70）的学生中随机选3名，且他们的成绩都在60，70）内”为事件a先算出学生成绩在50，60）内的和在60，70）内的人数，根据成绩在50，70）内的学生有11人，而且这些事件的可能性相同，根据概率公式计算，那么即可求得事件a的概率（iii）根据题意看出变量x的可能取值，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式，写出变量的概率列出分布列和期望值解答：解：（）根据频率分布直方图中的数据，可得，所以 a=0.03 （2分）（）学生成绩在50，60）内的共有400.05=2人，在60，70）内的共有400.225=9人，成绩在50，70）内的学生共有11人 （4分）设“从成绩在50，70）的学生中随机选3名，且他们的成绩都在60，70）内”为事件a，（5分）则 （7分）所以选取的3名学生成绩都在60，70）内的概率为（）依题意，x的可能取值是1，2，3 （8分）； ； （10分）所以x的分布列为x123p（11分） （13分）点评：此题考查了对频率分布直方图的掌握情况，考查的是概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是利用等可能事件的概率公式做出变量对应的概率值18（14分）如图，pcbm是直角梯形，pcb=90，pmbc，pm=1，bc=2，又ac=1，acb=120，abpc，直线am与直线pc所成的角为60（1）求证：平面pac平面abc；（2）求二面角mabc的余弦值考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面pac平面abc；（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角mabc的余弦值解答：解（1）pcab，pcbc，abbc=b （3分）pc平面abc，（4分） 又pc平面pac （5分）平面pac平面abc （6分）（2）在平面abc内，过c作cdcb，建立空间直角坐标系cxyz（如图）由题意有a（，0），b（0，2，0） 设p（0，0，z），（z0），则m（0，1，z），=（，z），=（0，0，z），由直线am与直线pc所成的解为60，得=|cos60，即z2=z，解得：z=1 （8分）=（，0），=（，1），设平面mab的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=，得=（，），（10分）平面abc的法向量取为=（0，0，1）（11分）设与所成的角为，则cos=，（13分）显然，二面角macb的平面角为锐角，故二面角macb的平面角余弦值为 （14分）点评：本题主要考查空间面面垂直的判定依据二面角的求解，根据定义法以及向量法是解决空间二面角的常用方法，考查学生的运算和推理能力19（14分）已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，且过点p（，）（1）求椭圆c的方程（2）设点q是椭圆c上一个动点，点a的坐标为（1，0），记|qa|2=1+|qo|2，求的最大值考点：椭圆的简单性质 专题：不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，以及p满足椭圆方程，解方程可得椭圆方程；（2）设q（x，y），x2，2，代入椭圆方程，求得|qa|，|qo|，求得关于x的关系式，讨论x的符号，运用基本不等式即可得到最大值解答：解：（1）设椭圆c的焦距为2c，则=，又a2b2=c2，3a2=4c2，c2=3b2，椭圆c的方程为：+=1，代入p（，）得c=，a=2，b=1，椭圆c的方程为+y2=1； （2）设q（x，y），x2，2，则|qo|2=x2+y2，又a（1，0），|qa|2=（x+1）2+y2，=1+，点p（x，y）满足+y2=1，即有y2=1，=1+=1+，当x0时，1，当x0时，x（0，2，=1+，因为3x+2=4，所以1+，当且仅当x=时，取得最大值1+，点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，注意点满足椭圆方程，同时考成绩基本不等式的运用：求最值，属于中档题20（14分）已知an=logn+1（n+2）（nn+），把使得乘积a1a2a3an的整数的数n叫做“穿越数”，并把这些“穿越数”由小到大排序构成的数列记为bn（mn+）（1）求区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和；（2）证明：+考点：数列的求和；对数函数的图像与性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）a1a2a3an=log23log34log45logn+1（n+2）=log2（n+2），从而n=2k2，根据题意，bm2015，得2m+122015，由此能求出区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和（2）+=+，当n2时，由，能证明+解答：（1）解：由已知得a1a2a3an=log23log34log45logn+1（n+2）=log2（n+2），（2分）要a1a2a3an为整数，需要log2（n+2）=k，kz，n=2k2，（3分）nn*，k2，即=2，=6，根据题意，bm2015，得2m+122015，2m+12017，则m9（4分）区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和为：22+23+21029=4（291）18=2026（7分）（2）证明：+=+，（8分）当n=1时，=成立，当n=2时，=成立，（10分）当n2时，由=，（12分）+=（13分）又，+（14分）点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认