高中数学教学论文 抛物线焦点弦的性质及应用 新人教版.doc

抛物线焦点弦的性质及应用平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。由于抛物线定义的特殊性，使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征，特别是抛物线过焦点的弦的性质尤其突出，同时也高考中经常要考查的内容。据不完全统计，在近几年高考中关于抛物线焦点弦的性质出现在：1、2000年理科的第11题（选择题），2、2001年理科的第19题（解答题），3、2002年文科的第16题（填空题），4、2004年理科的第16题（填空题）设抛物线的方程为y2=2px(p0),过焦点f(,0)作倾斜角为q的直线，交抛物线于p、q两点，则线段pq称抛物线的焦点弦，(如图1). 抛物线的焦点弦具有以下性质:性质1：设p(x1,y1),q(x2,y2),则y1y2=-p2. 证明：当q=90时，pq方程为x=代入y2=2px中有y2=p2,即y1=p,y2=-p,y1y2=-p2.当q90时，设直线pq斜率为k,则pq方程为y=k(x)与y2=2px联立，消x后得到：ky2-2py-kp2=0,y1y2=-p2.因为，所以，所以例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点p、q，通过点p和抛物线顶点的直线交准线于点m，求证：直线mq平行与抛物线的对称轴.证明：为了方便比较，可将p点横坐标及q点纵坐标均用p点的纵坐标y1表示.p(,y1),q(x2,y2),但y1y2=-p2，y2=,pm方程是：y=x,当x=时,y=即为m点的纵坐标，这样m点与q点的纵坐标相同，故mqox.例2（2001年高考 ）设坐标原点为o，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于a、b两点，则 . a、 b、- c、3 d、-3解析：设弦的两个端点为a（x1，y1）、b（x2，y2），x1 x2=， ， -，故答案选b。 性质2：抛物线焦点弦的长度： = .证明：如图所示，分别做、垂直于准线，由抛物线定义有 .且有,于是可得, .+=.故命题成立.例3已知圆m：x2+y2-4x=0及一条抛物线，抛物线顶点在o(0,0),焦点是圆m的圆心f，过f作倾斜角为a的直线l,l与抛物线及圆由上而下顺次交于a、b、c、d四点，若a=arcsin,求|ab|+|cd|.解：如图，方程x2+y2-4x=0,表示的图的圆心为(2，0)即为抛物线的焦点，抛物线的方程是y2=8x(其中p=4),|ad|=40,但圆的直径|bc|=4， |ab|+|cd|=|ad|-|bc|=40-4=36.性质3：三角形oab的面积公式：证法一：当直线倾斜角为直角时，公式显然成立。当直线倾斜角不是直角时，设焦点弦所在直线方程：由性质4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.证法一：如图3，设pq中点为r，则r即为pq为直线圆的圆心，过r作rsmn于s，又设p(x1,y1),q(x2,y2),|pq|=|pf|+|qf|=+=+=x1+x2+=x1+x2+p,而r(,),rs=+=,|rs|=|pq|,rs为圆的半径，命题得证.证法二：由图3知rs为梯形pqnm的中位线，|rs|=(|pm|+|qn|)=|pq|(利用性质3)， rs为圆的半径，故结论成立.性质5：以抛物线y2=2px(p0),焦点弦pq端点向准线作垂线，垂足分别为m、n，则fmfn.(其中f为焦点).证明：如图4，由抛物线定义知|pf|=|pm|，1=2，而pmox, 2=3，1=3, 同理4=6，而1+3+4+6=180，3+6=90， fmfn.性质6：设抛物线y2=2px(p0),焦点为f，焦点弦pq，则+=(定值).证法一：由p、q向准线作垂线，垂足分别为m、n，作qaox于a，fbpm于b，准线与ox交于e，(如图5)由afqbpf，则,即=,但由定义知|nq|=|fq|,|pm|=|pf|,=,有1=1即+=2,而|ef|=p,代入后即得+=.证法二：由性质的语法二，设|fp|=t1,|fq|=-t2,而t1+t2=,t1t2=,|t1-t2|=,则+=(t2t10),还有其它证法.例4 2001年理科第11题：过抛物线的焦点f作一直线交抛物线于p、q两点，若线段pf与qf的长分别是p,q，则等于（ ）（a）2a （b） （c）4a （d）2004年理科第16题：设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为 .性质7：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。 证明：如图，设， 则，又， ，即. 性质8：如图，a、o 、b1和b 、o、a1三点分别共线。证明：因为，而， 所以，所以a、o、b1三点共线。同理可证，b、o、a1三点分别共线.例5 2001年理科第19题：设抛物线的焦点为f，经过点f的直线交抛物线于a、b两点，点c在抛