2012年中考数学总复习解题方法三推理与证明.doc

推理与证明一、利用三角形全等证明线段相等和角相等我们知道如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的性质为我们证明线段相等和角相等提供了方法。例1 已知：如图，为上一点，点分别在两侧，求证：ACEDB 分析：从图形中我们发现，AC、CD正好是 ABC和CDE的对应边，我们只要证明了ABC和CDE全等就可以证明结论成立。 怎样证明这两个三角形确定呢？我们从已知条件出发，展开联想，寻找出全等的条件即可。 题目中的第一个条件：B=E题目中的第二个条件：，正好分别是等角的边。这时，三角形全等的条件齐了，可以书写证明过程了。证明：，在和中，在上面的证明过程中，我们是怎样书写证明过程的呢？上面的证明过程可以分为三部分：第一部分，使用了一个逻辑推理。，这个推理为后面证明两个三角形全等起到准备条件的作用，也就是说，在证明三角形全等的三个条件中，已知条件中已经具备了两个，还需要一个条件，这个推理为三角形全等找到了第三个条件。第二部分，证明两个三角形全等。第三部分，利用全等三角形的性质，推理得出线段相等。例2 如图，在等腰梯形中，是的中点，求证： 分析：从图中我们发现，线段MB，MC可以看成是ABM和CDM的对应边，我们只要证明了ABM和CDM全等就可以证明结论成立。 怎样证明这两个三角形确定呢？我们从已知条件出发，展开联想，寻找出全等的条件即可。题目中的第一个条件：在等腰梯形中，AB=CD，A=D题目中的第二个条件：是的中点AM=DM。这时，三角形全等的条件齐了，可以书写证明过程了。证明：在等腰梯形中， 是的中点 在和中， （SAS）上面的证明过程可以分为三部分：第一部分，使用了两个逻辑推理。在等腰梯形中， 是的中点 这两个推理为后面证明两个三角形全等起到准备条件的作用，也就是说，在证明三角形全等的三个条件中，已知条件中没有给出现成的条件，需要寻找三个条件，这两个推理为三角形全等找齐了三个条件。第二部分，证明两个三角形全等。第三部分，利用全等三角形的性质，推理得出线段相等。例3 已知：如图，四边形ABCD中，求证：分析：根据上面的经验，如果我们能把A，C看作两个三角形的对应角，我们只需证明两个三角形全等即可。但是图中没有三角形，怎么办？我们可以添加“辅助线”，构造全等三角形。如图，连接B、D，得到ABD和CBD，我们只要能够证明这两个三角形全等就可以了。显然，已知条件中已经有了两个全等的条件，而我们添加的“辅助线”正好是两个三角形的公共边，是全等的第三个条件。这时，两个三角形全等的条件已经具备，我们来书写证明过程：证明：连接BD在和中， 另外，我们还可以这样来添加“辅助线”：如图，连接A、C，得到ABC和ACD，我们只要能够证明BAD和BCD被AD分成的两部分分别相等就可以了。题目中的第一个条件：AB=BCBAC=BCA题目中的第二个条件：AD=CDDAC=DCA 证明：连结，同理 这个证法使用等边对等角，先证明了BAD和BCD的两个部分分别相等，又使用等式的性质，证明了BAD和BCD整体相等。例4 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且求证：是的中点.分析：这个题目要证明D是BC的中点，也就是证明BD=DC，也是证明两条线段相等，从图中我们可以看出，BD与DC所在的两个三角形ABD和ACD的形状不同，显然，利用这两个三角形全等来证明BD=DC是不行的。我们再仔细、全面地观察图形，发现AEF和DBE的形状、大小相同，这两个三角形有可能全等。我们从已知条件出发，展开联想：题目中的第一个条件：是的中点AE=DE题目中的第二个条件：过点作的平行线交的延长线于，即AFBCAFE=DBE 题目中的第三个条件：如果AF=BD成立，则BD=DC成立。 图中还有一对对顶角。 这时，可以先证AEF和DBE全等，得到AF=BD，然后根据，可以得到BD=DC了，下面书写证明过程：证明：是的中点 AE=DE AFE=DBE在AEF和DEB中 AEFDEB AF=DB DB=DC即是的中点 在这个题目中，BD与DC所在的两个三角形ABD和ACD的形状不同，显然，利用这两个三角形全等来证明BD=DC不行，而发现AEF和DBE的形状、大小相同，这两个三角形有可能全等（实际上AEF和DBE全等）。在证明了这两个三角形全等后，题目的第三个条件就是一座桥，通过这个条件使证明得以完成。 例5 在梯形ABCD中，ABCD，A=90， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点求证：CEBE 分析：如图，要证明CEBE，有两种方法：一是证明BCE是直角三角形；二是证明CED+BEA=90。 （一）如果证明BCE是直角三角形，通常需要使用勾股定理的逆定理来判定。这样就要知道三边CE、BE、CD的长度。我们从已知条件出发，展开联想：题目中的第一个条件：在梯形ABCD中，ABCD，A=90D=90即ECD和EBA都是直角三角形。题目中的第二个条件：AB=2，BC=3，CD=1，这些数据可以帮助我们分别求出CE、BE的长度。题目中的第三个条件：E是AD中点DE=AE=AD在RtECD和RtEBA中，要分别求出CE、BE的长度还需要知道DE和AE的长度，而DE=AE=AD，因此，需要求出AD的长度。如图，通过作“辅助线”：过C作CFAB，垂足为F，很容易知道四边形AFCD是矩形，CF=AD，CBF也是直角三角形。我们可以在这个直角三角形中求出CF的长，这样也就知道了DA的长，进而DE、AE的长也知道了。要求出CF，关键是知道BF=ABCD=1。 证明: 过点C作CFAB，垂足为F 在梯形ABCD中，ABCD，A=90， DACFA90 四边形AFCD是矩形 AD=CF AF=CD BF=AB-AF=ABCD=1在RtBCF中，根据勾股定理，得 CF2+BF2=BC2 CF= AD=CF=E是AD中点 DE=AE=AD=在RtABE中，根据勾股定理，得 AE2+AB2=BE2 BE2=6 同理，EC2 =3， 在BCE中，EB2+ EC2=9=BC2 CEB90即EBEC （二）如果证明CED+BEA=90，由于题目中给出已知条件是线段的长度，在一般情况下，只知道线段的长度是不能求出CED和BEA的度数，显然不能利用这种方法证明结论成立。（注意：如果CED+BEA+CEF+BEF=180，且CED=CEF，BEA=BEF，就可以得到：CED+BEA+CEF+BEF=2（CED+BEF）=180CED+BEF=90）例6 把两个含有45角的直角三角板ABC和EDC如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F求证：AFBE 分析：图中有两个等腰直角三角形，就有很多相等的线段和角，证明三角形全等比较容易。但是图形比较复杂，不容易找出全等三角形。我们从已知条件出发，展开联想：题目中的第一个条件：两个含有45角的直角三角板ABC和EDCAC=BC，CD=CE，ABC=DCE=90ACD和BCE全等题目中的第二个条件：点D在BC上BC与AF相交与DADC=BDF 利用全等三角形对应角相等，可以得到DACEBC，再利用对顶角相等，可以知道BFD和ACD已经有两个角对应相等，那么第三个角一定相等。而第三个角中有一个角是直角，那么另一个角也一定是直角。 证法一：在ACD和BCE中 ACDBCE（SAS） DACEBC ADCBDF ACD=BFD90 即AFBE 我们发现上面使用红字的推理使用了简写，完整的书写应该是：在ACD和BCE中DACEBC ADCBDF DACADC 180（DACADC）=180（EBCBDF） 即ACD=BFD ACD=90 BFD90 即AFBE证法二：在RtACD和RtBCE中， ACBC DCEC， 即tanDACtanEBC DACEBC ADCBDF EBCBDFDACADC=90 BFD=90 AFBE （注意：在直角三角形中，如果两个角的三角函数值相等，那么这两个角也相等。在其它三角形中这个命题则不一定成立。）二、与四边形有关的证明与四边形有关的证明，主要是证明符合条件的图形是我们熟悉的特殊四边形。这类题目的证明，首先要求我们熟悉各种特殊四边形的性质和判定，然后根据题目的已知条件选择方法，最后完成证明。例7 如图，在四边形中，点是线段上的任意一点（与不重合），分别是的中点证明四边形是平行四边形；分析：要证明一个四边形是平行四边形，可以根据题目中的条件，选择适当的方法完成证明。根据题目中的条件：分别是的中点FHBE，FH=BE=GE四边形EGFH是平行四边形证明：在中，G，F分别是的中点 且H是的中点， 且四边形是平行四边形例8 如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是矩形 分析：要证一个平行四边形是菱形，只需证这个四边形有一组邻边相等。我们从已知条件出发，展开联想：题目中的第一个条件：平行四边形中，对角线AC、BD交于点OO为线段AC的中点O为线段AC中垂线上的点题目中的第二个条件：是延长线上的点，且是等边三角形AE=CEE为线段AC中垂线上的点这样OE为线段AC的中垂线，而D在OE上DA=DC（1）_证法一：四边形是平行四边形 AO=CO O为线段AC中垂线上的点 ACE是等边三角形 AE=CE E为线段AC中垂线上的点OE为线段AC的中垂线D在OE上 DA=DC平行四边形是菱形。另外，我们还可以利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”来判定。（1）_证法二：四边形是平行四边形 AO=COACE是等边三角形 EOAC 即平行四边形是菱形。这里使用了“等腰三角形三线合一”定理。 分析：要证一个平行四边形是矩形，只需证这个四边形有一个角是直角。我们从已知条件出发，展开联想：题目中的第一个条件：平行四边形中，对角线AC、BD交于点OOA=OC题目中的第二个条件：是等边三角形AFC=60是等边三角形，OA=OCEO平分AECAED=30根据附加的条件：若EAD=15 图中AEO是ADE的外角AEO=AEDEAD=3015=45， 前面我们已经证明了四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质，可以知道ADC=2AEO =90，这样有一个角是直角的平行四边形就是矩形了。下面我们完成证明过程的书写：（2）证明：在平行四边形中，对角线AC、BD交于点O OA=OC 是等边三角形 AFC=60是等边三角形 OA=OC EO平分AECAED=30 EAD=15AEO=AEDEAD=3015=45在菱形中 ADC=2AEO ADC=90 四边形是矩形 例9 在菱形中，过点作且与AB的延长线交于点E求证：四边形AECD是等腰梯形分析：证明一个四边形是等腰梯形，首先证明这个四边形是梯形，即这个四边形有一组对边平行，然后再证明这个梯形的两腰相等。证法1：四边形ABCD是菱形 AB/CD AC平分DAB AC平分DAB DAB=60CAE E = 90CAE = 9030= 60 AB/CD 四边形是等腰梯形 从上面的例题中我们可以看出，与四边形有关的证明比利用三角形全等证明角和边相等复杂的多。但是，只要熟悉四边形特别是平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形、等腰梯形、直角梯形的性质和判定方法，这些题目也是容易完成的。我们知道，完成证明需要完成两部分，第一部分就是寻找完成证明的思路，第二部分是完成证明的书写。怎样寻找证明的思路呢？需要对证明的结论进行分析，看需要具备什么条件才能得以证明，然后开始从已知条件出发，展开联想。要对每一个条件认真思考，进行简单的推理。如果通过对已知条件的联想和推理，还不能够得到结论，就需要从图形中挖掘条件。通常较为复杂的图形中隐含的条件较多，简单的图形隐含的条件较少。当图形中的隐含条件还不够用时，可以考虑填加辅助线。怎样完成证明的书写呢？证明的书写是证明过程的再现，因此要有条理。因为证明是由一个、一个推理组成的，所以，在书写时可以按照下面讲解的方法进行。你知道什么是推理吗？推理是人们的思维过程。是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。生活中我们经常使用“推理”，例如：“一叶知秋”就是一个推理，意思是看到树上一片叶子落下来，就知道秋天来了（这个推理是否正确且先不论）。推理有时得到的新的判断是正确的，有时也可能是错误的，因此进行正确的推理就需要采用正确的方法。你知道演绎推理吗？ 演绎推理：从一般性的原理出发。推出某个特殊情况下的结论的推理，称作演绎推理。 演绎推理是由一般到特殊的推理。数学的证明主要通过演绎推理来进行。 你知道演绎推理的模式吗？“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： （1）大前提已知的一般原理； （2）小前提所研究的特殊情况； （3）结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断。演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定是正确的。例如：证明：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形已知： AB=AC （1）若A=60 （2）若B=60求证：AB=BC=AC在再这个命题（1）的证明过程中，我们使用了下列3个推理：（1）（大前提）等腰三角形的两个底角相等 （小前提） AB=AC （结论） B=C（2）（大前提）三角形三个内角的和等于180 （小前提） A、B、C是ABC的三个内角 （结论） A+B+C= 180（3）（大前提）有两个角相等的三角形是等腰三角形 （小前提） A=B= 60 （结论） BC=AC 除此之外，我们还使用了一些代数计算：60+2B= 180 B= 60另外，还使用了“等量代换”：AB=AC =BC你知道怎样书写证明过程吗？ 在上面的例子中，我们在书写证明过程中有一些常规:例如推理（1）：（大前提）等腰三角形的两个底角相等（小前提） AB=