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文档简介

知识改变命运 百度提升自我本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考构造函数证明不等式 函数是高中数学的基础,是联系各个数学分支的桥梁和纽带.在不等式的证明中,我们可根据不等式的结构特点,建立起适当的函数模型,利用函数的单调性、凸性等性质,灵活、巧妙地证明不等式.一、 二次函数型:1. 作差构造法.例1.(新教材第二册(上)(以下同)习题1(2))求证:分析:将视为变量,考察函数由于该二次函数的图象开口向上,且故结论获证.例2.( 教材复习参考题6)设为的三条边,求证:.分析:构造函数图象开口向上,对称轴.在上单调递减.为的三条边, (不妨设).即结论成立.2. 判别式构造法.例3.(教材例1)已知都是实数,且求证:分析:所证结论即是故可构造函数由于 当且仅当时取“=”号.又因为的图象开口向上,故必有 结论成立.练习1.(教材练习2)求证:点拨:证法同例3.该题是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是:可构造函数证之.练习2.(教材习题6)已知是不相等的两个正数,求证:点拨:构造函数证之.练习3. (教材习题7)已知都是正数,且,求证:点拨:构造函数证之.练习4. (教材复习参考题5)求证:点拨:构造函数证之.二、 分式函数型:例4. (教材例2)已知都是正数,并且求证:分析:构造函数由于当时,故在上是增函数.在处右连续,在上是增函数. 即例5. (教材例3)已知求证:分析:构造函数由于当时,故在上是增函数.在处右连续,在处左连续.在上是增函数. ,即, 即例6. (教材练习5)已知都是正数,且求证:分析:联想定比分点坐标公式,可写成故可构造函数 当时,在上是增函数. 在处右连续, 在上是增函数.又而故原不等式成立. 练习5. (教材练习4)已知求证:点拨:构造函数练习6. (教材习题9)已知的三边长分别是.且为正数.求证:点拨:构造函数易证为增函数.由于故即而故有练习7. (教材习题4)求证:分析:构造函数证之.三、 幂函数型:例7 .如果都是正数,且求证: 分析:考察函数 (nN*)在上的单调性,显然在上为增函数.若,则, ,所以;若,则, ,所以。所以利用函数的单调性证法可以将上述结论推广为:若a、b是正数且ab,求证: (m,nN*)四、 一次函数型:例8.设求证:分析:构造函数对任意恒有故原不等式成立.五、 三角函数型:例9.(同例3)分析:设 则练习8.设且求证: 点拨:设其中以下略.六、 指数函数型:例10已知等差数列和等比数列,其中, , ,证明当时,.分析: 设数列的公差为数列的公比为 由条件可得,即.所以,当时,这儿,我们用二项式定理进行放缩,完成了证明. 七、构造函数,利用函数图象的凸性:例11. (教材例6)求证+2分析:考察函数f(x)=的图象,特征是上凸函数.对任意且都有:.537xyo所以,即(+).两条结论:(1)上凸函数,区间中点相同时,两端“距离”区间中点越近两端点的函数值之和越大.例:及(2)下凸函数,区间中点相同时,两端“距离”区间中点越近,两端点函数值之和越小.练习9.已知:, 若 且,试判断与的大小,并加以证明(94年高考理科试题变式题).练习10.已知:,若,试比较与的大小(94年高考文科试题).练习11. (教材习题5)求证:以上表明,若能清楚不等式所反映的图象意义,就会给证明提供思路.八、 构造连续函数,应对含离散型变量的不等式问题:例12(2001年全国理)已知是正整数,且(1) 证明.(2) 证明.分析:(1)可化为:,即:.构造函数.().两边取对数,得:当时,两边求导,得:由于,故.这说明在上是增函数. 在处右连续. 在上是增函数. . .即.整理,得:.(2)不等式两边取对数,得:.整理,得:.构造函数.求导,得:.当时,可得:,.故.所以在上是减函数. 在处右连续. 在上是减函数., .即.整理,得:.注:不等式也可化为:.这时,可研究函数的单调性证之.练习12.已知是正整数且.求证:.点拨:不等式两边取自然对数,整理得:.构造函数可证之.说明:根据所构造函数的结构特点,我们将函数转化为型或型,方便了对函数的求导运算.不等式证明的数学模型,除本文介绍

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