1.7正整数的正约数个数与总和.doc

1.7正整数的正约数个数与总和一、正整数的正约数个数我们先看一个有趣的问题:在一间房子里有编号为的盏电灯,每盏都配有一个开关,开始灯全灭着.现在有个人依次进入房间,第个人把编号是的倍数的灯的开关各拉一次,这样操作完之后,哪些编号的灯亮着?解决这个问题,需要讨论各盏灯编号的约数个数的奇偶性.如何求一个正整数的约数的个数呢?下面我们讨论这个问题.设为正整数,的正约数最小为,最大为,因此的正约数的个数有限.为了叙述更方便，我们把正整数的正约数个数记作.例如, ,.从理论上讲,求d(n)只要把n的正约数全部找出来数一数就可以了,但这种方法并不适合求数值较大的数的正约数的个数,例如,.下面我们以求d(360)为例,介绍可行的方法.由于,其正约数比形如,其中可取四个数之一,可取三个数之一, 可取两个数之一. ,各选定一个允许值,构成一个组合,代入即可得到的正约数个数是,故.同理由,可知.定理 设正整数的标准分解式为,则 .证明: 的正约数必形如,其中可取至中任意一个,共有种取法; 可取至中任意一个, 共有种取法;可取至中任意一个,共有种取法,那么 .例 求.解: 因为,所以.例 若,其中,为不同质数, , .且有个正约数,求.解: 由,得 .不失一般性.设,则 , ,解得, ,故,则,所以 .例 有一个小于的四位数,它恰有个正约数,其中有一个制约数的末尾数字是,求这个四位数. （年上海初中赛题）解: 设为所求,则.若,则,而,故此时无解.若,则,其中, 为不同质数.为质数, 选取适当的值,使其满足, 之一的末位数是,且.易知只有当,时, 符合题意.定理 正整数为完全平方数的充要条件是为奇数.证明: 必要性设 其中为的标准分解式,则 ,故. 因为,均为奇数,所以.为奇数. 充分性设为的标准分解式,则 .因为为奇数,所以, ,均为奇数,从而,均为偶数.设,则 ,所以为完全平方数.该定理可以用来分析解决本节开头提出的“拉灯”问题:各盏灯的开关被拉几次取决于其编号的正约数的个数,而灯是否被拉亮取决于其开关被拉次数的奇偶性（奇数则被拉亮）.由定理可知,亮灯的编号必为完全平方数,即第, ,号的灯亮着. 当然,该定理的价值远不止于此,它主要用来判断一个数是否是完全平方数,进而解决其它有关问题.例4 求证:正整数的所有正约数之积等于.证明: 设的所有正约数为,.因为,所以存在,使,从而,即是的正约数，所以是, ,之一.故,是,重新排序的一个结果,所以 =,则,所以. 即正整数的所有不同正约数之积等于. 由例自然联想,正整数n的所有正约数之和等于多少呢?二、正整数的所有正约数之和正整数的所有正约数之和记作,下面我们按含有的质约数的个数来讨论.当只含一个质约数时例如,的正约数有,其和为 ;的正约数有,其和为,一般地,若,则 .当含有两个质约数时例如, ,其正约数排列如下: 3 则 .一般地,若（是互异质数, 为正整数）,则 . 由上述过程不难猜想:若(是互异质数, 为正整数),则. 下面试证这个结论. 从式中每个括号任取一项相乘,积必形如 (其中),这样的积共有多少个呢?在第个括号内任取一项,有种取法,故在个括号内各任取一项,共有种取法,即有个这样的积.由中算术基本定理的推论可知.每个这样的积都是的一个正约数,且的任一正约数必是这样的积中的一个,故所有这样的积作成的和就是的所有正约数之和,即这说明我们的猜想是正确的,从而得到了如下的定理.定理 设正整数,(是互异质数, 为正整数),则 . 例 求. 解: 因为,所以 . 例 求形如的正整数,且使其所有正约数之和为. 解: 由题意可得 ,故可得下面四个方程组 上述四种情况只有最后一组有正整数解 故只有的所有正约数之和为.例 求的所有正约数的倒数之和.解: 因为,所以 ,.设的个正约数分别为,可按乘积等于分为组,不妨设,则 .如果,则称为完全数,如截止1996年11月，共发现了个完全数.在两个正整数中,若一个数的所有正约数之和恰好等于另一个数,则称这两个数为一对亲和数,如与,与,.对完全数与亲和数感兴趣的读者,以阅读上海教育出版社1998年1月版谈祥柏译美阿尔伯特H贝勒著数论妙趣. 例8 能被30整除,且恰有30个不同正约数的自然数共有多少个?(98年上海市初中数学竞赛题)解：设正整数分解质因数为,则它的约数个数为.因为题中要求的数能被30整除,以必然含有质因数2,3,5,设此数为,则它的约数的个数为,因为,所以,所以没有除之外的质因数，所以只能是或者或或或或,共6个.例9 证明对任意一个正整数,其正约数中末位为1或9的的个数不小于末位为3或7的数的个数.证明: 设正整数约数中末尾为有个, 的有个. 设其为,(从小到大排列)当显然正确.时, 是的正约数,时, 互不相同，共个.,同理可证. 共个.共.末尾为1,又有为的正约数,至少个.综上,得证.例10 求出最小的正整数,使其恰有144个正约数，并且其中有十个是连续的整数. 例11（1） 所有的正约数的和等于15的最小自然数是多少？8（2） 所有正约数的积等于64的最小自然数是多少？8（3） 有没有这样的自然数,其所有正的真约数之积等于它本身？21 例12只有13个正约数的最小正整数是？解： 最小取2，所以 .例13 用表示正整数的正约数的个数,证明:存在无穷多个正整数,使得是3的倍数.证明: 可知当为质数时 则当的约数个数为3时 是3的倍数又可知当为质数, 的约数为3有无数组 所以存在无穷多个正整数,使得是3的倍数.例14 在30300的所有正整数中，有几个数恰有三个正约数？解: 三个正约数就是：,其本身,且本身/ ,推得这个数等于, 是个质数. 可知, 是在6到17间的质数：7、11、13、17。这样的数可以是：49、121、169、289.所以这样的4个数.例15求四个不超过70000的正整数，每一个正整数的约数的个数多于100个.5040055440604806552069300 例1623个不同正整数之和为4845，问着23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少？解: 不妨令这23个数分别为at，bt，ct，dtwt ，其中t是他们的公约数 要想使t最大 无非是a+b+c+d+w最小 由题意可知 23个数是“不同”的“正整数” 则a+b+c+d+e+w=1+2+3+23=276 所以说a+b+c+w最小值为276 23不同正整数之和为4845 随意（a+b+c+w)*t=4845 所以t=4845/276=17.55所以t从17往下数 而且能被4845整除 一个一个试刚好 4845/17=285 所以 最大公约数为17例17在1-200的200个正整数中，所有只有3个约数的正整数的和为多少？解：只有3个约数的正整数也就是形如 N2 （N为质数） 的数 142=196200 14以内的质数有2、3、5、7、11、13 2+3+5+7+11+13=4+9+25+49+121+169=377 在1-200的200个正整数中，所有只有3个约数的正整数的和为377例18 m为正整数m=12n,m约数的个数的两倍符合条件的最小n是几位数？解: 2 假设n=2a1X3a2Xk3a3X.kpap则n的约数个数为(1+a1)(1+a2)(1+a3).(1+ap)m=nX22X3,则m约数个数为（3+a1)(2+a2)(1+a3).(1+ap)所以(3+a1)(2+a2)=2(1+a1)(1+a2)化简得a2(a1-1)=4;则a2=1或2或4,则n最小值为2a1X3a2，带进去，求得最小值为23X32=72例19所有正约数的个数为21的正整数中最小的一个是?576例20某正整数是3和4的倍数，这个数包括1和本