等比数列的前n项和.doc

等比数列的前n项和教学内容分析：本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修5（人教A版）第二章第五节，是一节重要的基础内容，主要学习运用错位相减法对等比数列进行求和，错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解混合数列前n项和的重要方法。本节内容是对等差数列的前n项和与等比数列的知识的巩固与延续，可以通过类比等差数列来学习，而等比数列实质上是一种特殊的函数，所以本节内容也是对之前函数知识的巩固与延续，还为后继数列的深入学习提供了知识基础，本节具有非常重要的承上启下的作用。学情分析：从知识起点看，学生已经深入学习了函数、等差数列及其前n项和等知识，有助于本节内容与等差数列前n项和进行类比。从能力上看，学生具备了一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏冷静，思维具有不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。从情感上，由于教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。而且本节的公式推导的计算量很大，对q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，对等比数列求和的推导过程，学生可能会遇到困难。教学目标：1.知识与技能： 学会运用错位相减法对等比数列的前n项和公式进行推导；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。2.过程与方法： 感受公式探求过程中从特殊到一般的数学思想方法； 渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想。3.情感、态度与价值观：通过对公式的探索过程，激发求知欲，感受思维的奇妙、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美教学重点与难点：重点：等比数列的前n项和公式及其初步应用难点：公式的推导方法教学过程设计：一、创设情境，引入新课 教师向学生讲述一个故事，从而引进教学。传说在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，国王大为赞赏，要奖励西萨,问他有什么要求, 西萨说：“请在棋盘第1个格子里放1颗麦粒,在第2个格子里放2颗麦粒,在第3个格子里放4颗麦粒,在第4个格子里放8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里所放麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够粮食来实现上述要求!”国王说：“简单！来人,快办。”然而,过几天,手下急匆匆跑来,不好啦,不好啦!你猜怎么了?你知道西萨要多少粒小麦吗？【设计意图】以故事引题,激发学习兴趣与热情，调动学习积极性，领悟数学应用价值。二、逐步深入，探索新知【教师活动】我们来分析一下，如果把每个格子里要放的麦子数量看成是一个数列，那么可以得到一个首相为1，公比为2的等比数列。故事中的问题就可以理解成求这个等比数列的前64项的和，也就是求：解：法1：观察类比 S1=1=2-1 S2=1+2=3=22-1 S3=1+2+22=7=23-1 S4=1+2+22+23=15=24-1 依此类推，S64=2641法2：提取公比2，解方程 法3：错位相减法 S64= 1+2+22+23+263 2S64= 2+22+23+24+264相减得 S64=1264 S64=2641 经测算，需要麦粒1.841019粒，约7000亿吨，这么多小麦沿地球表面可铺3厘米厚，能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，古印度国王显然无法满足西萨的要求。【设计意图】通过引言实例的探究解决，使学生感受数学的应用价值，同时也为下面的学习作好铺垫，在特殊具体的问题情境中蕴涵着一般的规律和方法，激励学生模仿创新，作好认知准备。思考：一般化，等比数列前n项和怎么求呢？法1： 于是（1q）Sn=当q1时,Sn=当q=1时, Sn=na1。法2：提取公比q 当q1时,Sn=当q=1时, Sn=na1。法3：类比归纳 S1=a1 S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2) Sn=a1+a2+an=a1(1+q+q2+qn-1)当q1时,Sn=当q=1时, Sn=na1法4： =q由等比定理 当q1时,Sn= 当q=1时, Sn=na1。1）推理成果 当q1时,Sn=当q=1时, Sn=na12）公式的理解 知三求二：n q a1 an Sn n的含义：项数（通项公式是qn1） q的含义：公比（注意q=1，分类讨论） 错位相减法：乘公比（作用是构造许多相同项）后错开一项后再减。【设计意图】发挥学生学习主体性和参与积极性，从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单模仿接受变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。多种方法推导，扩展学生思维视野，变式教学有利于培养学生发散思维和创新精神。剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式，及时总结、巩固、强化探究成果，提高认知的深度。三、课堂练习，巩固新知1等比数列中a1=4，q=，则Sn= 2等比数列中a1=，q=，则Sn= 3= 4 5 例1：已知an为等比数列， a1=1，ak=243，q=3，求Sk。 a3=，S9=，求a1和q。a1=4，q=，an=，求Sn。例2： 数列1，2，22，23，2n，中，求第5项到第10项的和。 法1：所求和等于S10S4，再用公式计算。 法2：第5项到第10项构成首项为16，公比为2的数列，共有6项，再用公式计算。例3：求数列n+的前n项和。 变式1：求数列n+an的前n项和。变式2：求1+ +。【设计意图】直接和变式套用公式， 强化对公式的理解和识记，通过分类讨论思想的渗透，提升思维层次。进一步研究公式特点，增强公式的应用，促进学生数学认知结构的形成，深化对公式的认识和理解。一题多解及变式教学,有利于提高学生思维的梯度、深度和灵活性。五、课堂小结1数学公式：等比数列前n项和 当q1时,Sn=当q=1时, Sn=na12数学计算方法：错位相