第八组论文：修理系统的评价.pdf

2011年西华师范大学数学建模暑期模拟竞赛 2011年西华师范大学数学建模暑期模拟竞赛 承 诺 书 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白 在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式 包括电话 电子邮 件 网上咨询等 与队外的任何人 包括指导教师 研究 讨论与赛题有关的问 题 我们知道 抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 如果引用别人的成果或其他 公开的资料 包括网上查到的资料 必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出 我们郑重承诺 严格遵守竞赛规则 以保证竞赛的公正 公平性 如有违反 竞赛规则的行为 我们将受到严肃处理 我们参赛选择的题号是 从A B中选择一项填写 A 我们的参赛报名号为 如果赛区设置报名号的话 8 所属学校 请填写完整的全名 西华师范大学 参赛队员 打印并签名 1 甘燕霞 2 张凤 3 周阳 日期 2011 年 9 月 6 修理系统的评价模型 修理系统的评价模型 摘要 摘要 本文通过分析题意建立了修理系统的评价模型 通过计算机100次模拟系统 运行300周的情况 从而得出了对该系统的评价 经过计算机模拟 得出最后结果为 1 43 6 工作站1的利用率为 工作站2的利用率为 2 91 64 准备进入工作站进行修理的产品数 748s 台 转包给其它工厂修理的产品数 193s 台 工作站1的停工时间 1 138 9T 周 因两工作站之间有两个产品而中断的时间 7 1e 周 工作站2的停工时间 2 25 1T 周 一件产品通过修理系统的平均时间 2 3t 周 关键字 关键字 随机模拟 指数分布 期望 一 问题重述 一 问题重述 某修理厂修理一件产品需要完成两道连续的修理工序 由于所修理的产品体 积较大 而厂房面积有限 每次最多只能容纳 8 台产品 特别地 两个工作台之 间只能容纳两台产品 工作台 1 前可容纳 4 台产品 工厂的经营方针是如果有一 台待修产品到达时不能进入厂房 则转包给其它的工厂进行修理 根据统计资料知 待修产品到达的时间间隔服从均值为 0 4 周的指数分布 修理时间也服从指数分布 其中 工作台 1 服务时间的均值为 0 25 周 工作台 2 服务时间的均值为 0 5 周 若两工作台之间已有两台产品在等待修理 则工作 台 1 的工作被中断 已修完的产品不能转入下一道工序 为了对系统的工作情况进行评价 要求模拟该系统运行 300 周的情况 求出 每个工作台的利用率 准备进入工作台进行修理的产品数 工作站 1 的中断时间 转包给其它工厂修理的产品数 一件产品通过修理系统的平均时间 二 问题分析 二 问题分析 通过对上述问题的分析 首先应搞清系统的结构和特征 然后建立数学模型 模拟系统的整个变化过程 记为第 i 次事件发生的时刻 为当前最后到达的产品的到达时刻 该产 品可能因工作站 1 前队长过长而末进入该系统 为工作站 1 中当前产品开始 被服务的时刻 如果工作站 1 中没有产品 则表示下一个进入工作站 1 的产品的 开始被服务的时刻 为工作站 2 中当前产品开始被服务的时刻 如果工作站 2 中没有产品 则表示下一个进入工作站 2 的产品的开始被服务的时刻 为最 后到达的产品与下一个到达的产品的时间间隔 i T 1i t 2i t 2i t 3i t 1i t 为工作站 1 中的当前产品需 要的服务时间 3 t i 为工作站 2 中的当前产品需要的服务时间 为工作站 1 中的当前产品等待的出站时间 下次事件发生可能由于有产品到达 此 也可能因工作站 1 中有产品离开 i e e 11ii Tt 1i t 12iii Tt 2 t i 或者 因工作站 2 中产品的服务完成 Tt 13ii3 t i 从而有 111223 min iiiiiii Ttttett 3i t i2i 其中 3322 0 iii i tttt e 2332 3 iiii ftttt 且 其他 记 1i f为当前工作站1前的排队产品和工作站1中产品个数总和 2i f为当前两工作 站之间的产品个数与工作站2中的产品个数之和 有 1 111 2 122 ii ii i i ffr ffr 其中 1 1 1 0 i r 1111 122 5 iiii iiii Tttf Ttet 且 其他 2 1 1 0 i r 122 133 0 0 iiiii iiiii Ttete Ttete 其他 初始状态为 1 02 01 02 0 0ffss 1 02 03 00 0tttT 三 基本假设 三 基本假设 1 修理厂修理一件产品需要完成两道连续的修理工序 2 待修产品到达的时间间隔服从均值为 0 4 周的指数分布 修理时间也服从指 数分布 3 工作台 1 服务时间的均值为 0 25 周 工作台 2 服务时间的均值为 0 5 周 4 假设产品进出工作站 1 或工作站 2 的时间忽略不计 5 每个工作台的利用率等于所有产品在每个工作台经历的时间总和除以 300 周 内所有产品经历系统的的时间总和 6 工作台之间已有两台产品在等待修理 则工作台 1 的工作被中断 已修完的 产品不能转入下一道工序 7 一个事件完成是两个工作台之间有两个台产品在等待 或不能进入厂房需要 转包给其他修理厂 或产品从工作台 2 中修完出来 四 符号说明 四 符号说明 符号 符号代表意义 T 下次事件发生时刻 t 当前事件发生时刻 1 t 当前最后到达产品的到达时刻 2 t 工作站 1 中的当前产品开始被修理的时刻 3 t 工作站 2 中的当前产品开始被修理的时刻 1 t 到来一件待修产品所需时间 2 t 工作站 1 修理一件产品的时间 3 t 工作站 2 修理一件产品的时间 e 工作站 1 中产品等待出站时问 1 f 工作站 1 中及其以前排队产品总数 2 f 工作站 1 中及其以前排队产品总数 s 当前到来的待修产品总数 s 当前转出的待修产品数 t F 次事件发生时所有产品在系统中经历的时问总和 e 当前工作站 1 已中断的时间总长 五 建立模型 五 建立模型 一个事件发生是指有新的待修产品到达 而一个事件完成是指已有两个工作 台之间有两个台产品在等待 或不能进入厂房需要转包给其他修理厂 或产品从 工作台 2 中修完出来 而每个事件发生的时刻 t 是离散的 所以建立离散模型 利用下次事件法法建立模型 将模拟时间从一个事件时间点推进至紧接的下次事 件的时间点 根据题中所给数据 可以画出三个时段服从指数分布的函数图 程序见附录 一 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 时 间 指 数 分 布 图 T t 为了便于理解与表示 以模型程序流程图展现 以下就是我们建立的模型流 程图 开始 是 初始化变量 否 否 是 是 否 否 否 是 是 是 否 否 是 否 是 否 是 否 是 确定下次事件发生时间T 112233 min Ttt tt t t 程序结束 转包产品 1ss 11 1ff 2 tT t 产生 3 3 tT t 产生 令 2 301t 2 2 tT t 产生 223 1 fft T 3 301t 3 3 tT t 产生 0e 332 etttt2 修理系统的模拟模型框图 12 ttTtff tT 12 223 03 tttt ff 3 且且 300T 输出结果 1 5f 1 1 1Tt ss t 产生随机数 11 Ttt 工作台 1 此前 空闲 1 1f 0e 22 Ttte 工作台 2 此前 空闲 11 22 1 1 ff ff 2 1f 11 33 1ffee t 产生 e tT 工作台 1 此后空 闲 1 0f 工作台 2 此后 空闲 2 0f 六 模型求解 六 模型求解 待修产品到达的时间间隔 修理时间均服从指数分布 则 12 ii ttt3i 1 上均匀分布的随机数 可以表 示为 记 ln jijji ta 12 0 4 0 25aa r 3 0 5 ji ar 为 0 ji n 为第 i 次事件发生时工作站 j 的工作总时间 有 j 0 1 1 n0 1 2 j ij iiij i nnTT gj 3 i 其中 12 1 00 1 i i ff g 或者 其他 2 2i 00 g 1 i f 其他 记 m 为 300 周内事件发生的总次数 即 1 300 300 mm tt 在 300 周内工作站 j 的利用率 100 jm j m n t 在 300 周内工作站 j 的停工总时间 jmj Tttm 记当前产品到达数为 转包给其他工厂的当前产品数为 为当前工作台 i S i S i e 1 已中断的时间总长 若则 1i t i 11i tT 1 1 ii SS 否则 1ii S S 若T 则 11ii tt i 11 5 i f 1 1 ii SS 否则 1ii S S 若 22ii tt i 1i eT i ee则 否则 1ii ee 1ii e 一件产品通过维修系统的平均时间t 121 1 m iiii i m ffTT t S 通过计算机模拟 程序见附录二 100 次系统运行 300 周的情况得到 平均值 工作站1的利用率为 1 43 6 工作站2的利用率为 2 91 64 准备进入工作站进行修理的产品数 748s 台 转包给其它工厂修理的产品数 193s 台 工作站1的停工时间 1 138 9T 周 因两工作站之间有两个产品而中断的时间 7 1e 周 工作站2的停工时间 2 25 1T 周 一件产品通过修理系统的平均时间 2 3t 周 七 模型评价和推广七 模型评价和推广 经济生活中常遇到对产品的加工 可分为粗加工与细加工 而产品的到达 时间及服务时间往往是随机的 且队长有限 可采用本摸型 因此本模型有较强 的实用性 本模型还可推广到多步生产 修理 加工等 的系统中 八 参考文献八 参考文献 1 茆诗松 程依明 概率论与数理统计教程 高等教育出版社 2004 2 万福永 戴浩晖 潘建瑜 数学实验教程 科学出版社 2006 九 附录 九 附录 附录一 x 0 0 1 1 y1 2 5 exp 2 5 x y2 4 exp 4 x y3 2 exp 2 x subplot 1 3 1 plot x y1 r hold on grid on subplot 1 3 2 plot x y2 g hold on subplot 1 3 3 plot x y3 b title 时间指数分布图 xlabel T ylab