高考数学 放缩法在数列不等式证明的运用论文 大纲人教版.pdf

放缩法在数列不等式证明中的运用 放缩法在数列不等式证明中的运用 高考中利用放缩方法证明不等式 文科涉及较少 但理科却常常出现 且多是在压轴题 中出现 放缩法证明不等式有法可依 但具体到题 又常常没有定法 它综合性强 形式复 杂 运算要求高 往往能考查考生思维的严密性 深刻性以及提取和处理信息的能力 较好 地体现高考的甄别功能 本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法 以冀起到举一 反三 抛砖引玉的作用 一 放缩后转化为等比数列 一 放缩后转化为等比数列 例 1 满足 n b 2 11 1 2 3 nnn bbbnb 1 用数学归纳法证明 n bn 2 123 1111 3333 n n T bbb b 求证 1 2 n T 解 1 略 2 1 3 2 3 nnnn bb bnb 又 n bn 1 32 3 nn bb nN 迭乘得 11 1 32 3 2 nn n bb 1 11 32n n nN b 23411 111111 222222 n nn T 1 2 点评 把握 这一特征对 3 n b 2 1 2 nnn bbnb 3 进行变形 然后去 掉一个正项 这是不等式证明放缩的常用手法 这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳 法 似乎是不可能的 为什么 值得体味 二 放缩后裂项迭加 二 放缩后裂项迭加 例 2 数列 n a 11 1 n n a n 其前n项和为 n s 求证 2 2 2 n s 解 2 11111 1 234212 n s nn 令 1 2 21 n b nn 的前项和为 n bn n T 1 当时 2n 111 2 22 41 n b nnnn 1 2 1111 111 11111 212304 344 5641 nn sT nn 712 1042n 点评 本题是放缩后迭加 放缩的方法是加上或减去一个常数 也是常用的放缩手 法 值得注意的是若从第二项开始放大 得不到证题结论 前三项不变 从第四项开始 放大 命题才得证 这就需要尝试和创新的精神 例 3 已知函数 0 b f xaxc a x 的图象在 1 1 f处的切线方程为 1yx 1 用表示出 a b c 2 若 lnf xx 在 1 上恒成立 求a的取值范围 3 证明 111 1 ln 1 232 1 n n nn 解 1 2 略 3 由 II 知 当 1 ln 2 1 xxxfa有时 令 1 ln 1 2 1 2 1 xx x xxfa有 且当 ln 1 2 1 1x x xx 时 令 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 11 ln 1 kkk k k k kk k x 有 即 3 2 1 1 11 2 1 ln 1ln nk kk kk 将上述 n 个不等式依次相加得 1 2 1 1 3 1 2 1 2 1 1ln nn n 整理得 1 2 1ln 1 3 1 2 1 1 n n n n 点评 本题是 2010 湖北高考理科第 21 题 近年 以函数为背景建立一个不等关 系 然后对变量进行代换 变形 形成裂项迭加的样式 证明不等式 这是一种趋势 应特别关注 当然 此题还可考虑用数学归纳法 但仍需用第二问的结论 2 三 放缩后迭乘 三 放缩后迭乘 例 4 11 1 1 14124 16 nnn aaaanN 1 求 23 a a 2 令124 nn ba 求数列 n b的通项公式 3 已知 1n 63 n f naa 求证 1 1 2 3 2 ffff n 解 1 2 略 由 2 得 2 111 3 423 nn n a 13231 211 42424 nnnn f n n 121 11 11121 1 1 11 1 444444 1 11 4 11 44 nnnnn n nn 1 1 1 1 4 n n 1 1 1 4 1 1 4 n n f n 2 1 1111 1111 1 4444 1 2 11 1 12