用数学归纳法证明不等式的若干技巧和对策.pdf

用数学归纳法证明不等式的若干技巧和对策 吴文尧 浙江省宁波市北仑中学 315800 数学归纳法是证明和正整数相关的不 等式的最有效方法 其证明的关键是如何实 现从 n k时原不等式成立 这个不等式不 妨称之为 假设不等式 到 n k 1时原 不等式成立 这个不等式不妨称之为 目标 不等式 的过渡 本文介绍用数学归纳法证 明不等式的若干技巧和对策 供大家参考 1 早用假设 合理放缩 要由 假设不等式 成立推证到 目标不 等式 成立 宜尽早使用 假设不等式 再利 用辅助条件通过合理的放缩 逐步向 目标不 等式 逼近 例1 1990年全国竞赛题 设a b 0 且 1 a 1 b 1 求证 对于任何n N3 有 a b n a n b n 22 n 2 n 1 成 立 证明 n 1时 原不等式显然成立 设n k时原不等式成立 即 a b k a k b k 22 k 2 k 1 则n k 1时 a b k 1 a k 1 b k 1 a b a b k a k b k ab k a kb a b 2 2k 2 k 1 ab k a kb 由1 1 a 1 b 2 ab 可得 ab 4 a b 2ab 4 abk akb 2ak 1bk 1 2 4 k 1 2 2 k 2 a b k 1 a k 1 b k 1 a b 2 2k 2 k 1 ab k a kb 4 22k 2 k 1 2 k 2 2 2 k 1 2 k 1 1 即n k 1时原不 等式成立 由 可知对于任何n N3原不等 式成立 评注 得到 a b a b k a k b k 是过渡成功的一半 问题化归为求关于a b的二元函数在 条件 1 a 1 b 1下的最小值问题后 若注意 到原不等式 成立条件为a b 2 则容 易想到上述放缩过程 2 先斩后奏 强行过渡 先通过对 假设不等式 的等价变形得 到一个其中一边和 目标不等式 完全一样 的不等式后 对另一边的变形可先把 目标不 等式 的另一边强行写上 然后再解决遗留 的 尾巴 问题 这种 先斩后奏 的方法也不 失为实现过渡的好方法 例2 设n N3且n 2 求证 1 1 2 1 3 1 n n恒成立 证明 n 2时 左边 1 2 2 2 右边 原不等式成立 设n k k 2 时原不等式成立 即 1 1 2 1 3 1 k k 则1 1 2 1 3 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 1 k 1 k 1 k k 1 1 k 1 1 k 1 k k 1 1 k 1 k 02 中学数学月刊 2004年第7期 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 1 k 1 k k 1 即n k 1时原不等式成立 由 可知对于任何n N3 n 2 原不等式成立 评注 上述证明之所以比较流畅 其主 要原因是由 假设不等式 两边同加 1 k 1 后 使其左边和 目标不等式 一致后马上在 右边添加k 1 此后问题化归为证明后面 的 尾巴 为非负即可 3 架桥铺路 平稳过渡 当 假设不等式 直接向 目标不等式 过渡有困难时 可以先寻求一个介于 假设不 等式 和 目标不等式 之间的 中途不等 式 通过对 中途不等式 的证明 实现由 假设不等式 到 目标不等式 的平稳过渡 而这个 中途不等式 仅起到桥梁的作用 例3 设a1 a2 a3 an R且0 an a1 a2 an 1 n n 2 n N3 证明 n 2时 1 a1 1 a2 0 a1a2 a1 a2 1 1 1 成立 设n k n 2 时原不等式成立 即 a1a2 ak a1 a2 ak 1 k成立 则a1a2 ak ak 1 1 a1 a2 ak ak 1 1 k 1 成立 要证明n k 1时原不等式成立 即 a1a2 akak 1 a1 a2 ak 1 1 k 1 成立 只需证明不等式 a1a2 akak 1 a1a2 ak ak 1 1 3 成立 要证明不等式 3 成立 只需证明 a1a2 ak 1 ak 1 1 0 又 0 ai 1 i 1 2 k k 1 恒 成立 0 a1a2 ak 0成立 不等式 3 也成立 即n k 1时 原不等式成立 由 可知对于任何n N3 n 2 原不等式成立 评注 上述证明过程的关键是尽快由 假设不等式 得到一个右边和 目标不等 式 完全一样的不等式后 由不等式的传递 性寻找到要证明的 中途不等式 3 4 分类讨论 各个击破 当由 假设不等式 向 目标不等式 过 渡的处理方法和涉及的参变量的大小有关 时 可对这个参变量进行分类讨论 化为几个 小问题各个击破之 例4 正项数列 xn 中 对于任何n N3 x 2 n xn xn 1恒成立 求证 对于任何n N3 xn 0解得0 x1 1 原不等式成立 设n k时原不等式成立 即0 xk 1 k 成立 由于xk 1 xk x 2 k恒成立 0 xk 1 k 1 时 xk 1 xk x 2 k xk 1 k 1 成立 1 k 1 xk 1 k 时 xk 1 xk 1 xk 1 k 1 1 k 1 1 k 1 由 可知n k 1时原不等式 成立 由 可知对于任何n N3 xn 1 n 成立 评注 当问题化归为只需证明 xk x 2 k 12 2004年第7期 中学数学月刊 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 0 x1 1 且xn 1 xn x 2 n 3 3x 2 n 1 n N3 求证 数 列 xn 对于任何n N3 xnxn 1成立 分析 易见数列 xn 为正项数列 且 xn 1 xn xn x 2 n 3 3x 2 n 1 xn 2xn 1 xn 3x 2 n 1 1 xn 故xn 1 xn 0 xn 1 xn 1 1 可猜想 0 x1xn恒成 立 x1 1时 xn 1 xn恒成立 先证明0 x1 1时 0 xn 1恒 成立 n 1时结论显然成立 设n k时结论成立 即0 xk 0 1 xk 1 1 xk x 2 k 3 3x 2 k 1 1 xk 3 3x 2 k 1 0 0 xk 1 1 即n k 1时结论成 立 由 可知0 xn 1恒成立 故 0 x1xn恒成立 同理x1 1时 xn 1恒成立 即x1 1时 xn 1 xn恒成立 评注 本题若直接用数学归纳法加以 证明 则很难直达目标 上述证法先通过对原 问题的几次等价转化 降低了问题的难度 使 问题能较顺利地解决 6 加强命题 吃亏是福 当 假设不等式 很难过渡到 目标不等 式 时 有时可以考虑加强命题的方法 即先 证明一个比原命题要求更高的不等式 这种 方法表面上看是干了一件 吃亏 的事 但在 加强命题的同时也加强了 假设不等式 反 而使问题容易解决 真可谓是 吃亏是福 例6 设0 x 1恒成立 分析 由于xk 1 1 xk x 1 xk 1 1 x 故原不等式可加强为1 xn 1 1 x 证明 先证明对于任何n N3 1 xn 1 1 x 恒成立 n 1时 0 x 1 x1 1 x 1 1 x 1 1 x 即1 x1 1 1 x 成立 设n k时结论成立 即1 xk 1 x x 1 xk 1 1 xk x 1 x 1 1 x 1 xk 1 1 1 x 成立 由 可知 对于任何n N3 1 xn 1恒成立 评注 本题的关键是通过分析找到加 强以后的不等式 类似的当一个问题不能全 部