圆的切线证明(教师版).docx

证明圆的切线方法及例题证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l过O上某一点A，证明l是O的切线，只需连OA，证明OAl就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与O相切.证明：连结OE，AD. AB是O的直径， ADBC. 又AB=BC， 3=4. BD=DE，1=2. 又OB=OE，OF=OF， BOFEOF（SAS）. OBF=OEF. BF与O相切， OBBF. OEF=900. EF与O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与O相切.证明一：作直径AE，连结EC. AD是BAC的平分线， DAB=DAC. PA=PD， 2=1+DAC. 2=B+DAB， 1=B. 又B=E， 1=E AE是O的直径， ACEC，E+EAC=900. 1+EAC=900. 即OAPA.PA与O相切.证明二：延长AD交O于E，连结OA，OE. AD是BAC的平分线， BE=CE， OEBC. E+BDE=900. OA=OE， E=1. PA=PD， PAD=PDA. 又PDA=BDE, 1+PAD=900 即OAPA. PA与O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于D，DMAC于M求证：DM与O相切.证明一：连结OD. AB=AC， B=C.OB=OD，D1=B. 1=C. ODAC. DMAC，DMOD.DM与O相切证明二：连结OD，AD.AB是O的直径，ADBC.又AB=AC, 1=2. DMAC，2+4=900COA=OD，1=3.3+4=900.即ODDM.DM是O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，且CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是O的切线证明：连结OC、BC. OA=OC， A=1=300. BOC=A+1=600.D 又OC=OB， OBC是等边三角形. OB=BC. OB=BD， OB=BC=BD. OCCD. DC是O的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB是O的直径，CDAB，且OA2=ODOP.求证：PC是O的切线.证明：连结OC OA2=ODOP，OA=OC， OC2=ODOP， . 又1=1， OCPODC. OCP=ODC. CDAB， OCP=900. PC是O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出CFG的外接圆，但CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CEOC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC. ABCD是正方形， BCCD，CFG是Rt O是FG的中点， O是RtCFG的外心. OC=OG， 3=G， ADBC， G=4. AD=CD，DE=DE， ADE=CDE=450， ADECDE（SAS） 4=1，1=3. 2+3=900, 1+2=900. 即CEOC. CE与CFG的外接圆相切二、若直线l与O没有已知的公共点，又要证明l是O的切线，只需作OAl，A为垂足，证明OA是O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，D与AB切于E点.求证：AC与D相切.证明一：连结DE，作DFAC，F是垂足. AB是D的切线， DEAB. DFAC， DEB=DFC=900. AB=AC， B=C. 又BD=CD， BDECDF（AAS） DF=DE. F在D上. AC是D的切线证明二：连结DE，AD，作DFAC，F是垂足.AB与D相切，DEAB.AB=AC，BD=CD，1=2.DEAB，DFAC，DE=DF.F在D上.AC与D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC，BD与O切于A、B，且ACBD，若COD=900.求证：CD是O的切线.证明一：连结OA，OB，作OECD，E为垂足. AC，BD与O相切， ACOA，BDOB. ACBD， 1+2+3+4=1800.O COD=900， 2+3=900，1+4=900. 4+5=900. 1=5. RtAOCRtBDO. . OA=OB， . 又CAO=COD=900， AOCODC， 1=2. 又OAAC，OECD, OE=OA. E点在O上. CD是O的切线.证明二：连结OA，OB，作OECD于E，延长DO交CA延长线于F.AC，BD与O相切，ACOA，BDOB.ACBD，F=BDO.又OA=OB，AOFBOD（AAS）OF=OD.COD=900，CF=CD，1=2.又OAAC，OECD，OE=OA.E点在O上.CD是O的切线.证明三：连结AO并延长，作OECD于E，取CD中点F，连结OF.AC与O相切，ACAO.ACBD，AOBD.BD与O相切于B，AO的延长线必经过点B.AB是O的直径.ACBD，OA=OB，CF=DF，OFAC，1=COF.COD=900，CF=DF，.2=COF.1=2.OAAC，OECD，OE=OA.E点在O上.CD是O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明1=2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明1=2.证明三是利用梯形的性质证明1=2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.2. （2011浙江省舟山，22，10分）如图，ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，ACD=ABC（1）求证：CA是圆的切线；（第22题）【答案】（1）BC是直径，BDC=90，ABC+DCB=90，ACD=ABC，ACD+DCB=90，BCCA，CA是圆的切线3. （2011安徽芜湖，23，12分）如图，已知直线交O于A、B两点，AE是O的直径,点C为O上一点，且AC平分PAE，过C作，垂足为D.(1) 求证：CD为O的切线；（1）证明：连接OC， 1分因为点C在O上，OA=OC，所以 因为，所以，有.因为AC平分PAE，所以3分所以 4分又因为点C在O上，OC为O的半径，所以CD为O的切线. 5分5. （2011山东菏泽，18，10分）如图，BD为O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与O的位置关系，并说明理由 解：(1)证明：AB=AC，ABC=C，C=D，ABC=D，又BAE=EAB，ABEADB， (2) ABEADB，AB2=ADAE=(AEED)AE=(24)2=12AB= (3) 直线FA与O相切，理由如下：连接OA，BD为O的直径，BAD=90，BF=BO=，AB=，BF=BO=AB，可证OAF=90，直线FA与O相切11. （2011山东聊城，23，8分）如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CDOA交半圆于点D，点E是的中点，连接OD、AE，过点D作DPAE交BA的延长线于点P，（1）求AOD的度数；（2）求证：PD是半圆O的切线；【答案】（1）点C是OA的中点，OCOAOD，CDOA，OCD90，在RtOCD中，cosCOD，COD60，即AOD60，（2）证明：连接OC，点E是BD弧的中点，DE弧BE弧，BOEDOEDOB (180COD)60，OAOE，EAOAEO，又EAOAEOEOB60，EAO30，PDAE，PEAO30，由（1）知AOD60，PDO180(PPOD)180(3060)90，PD是圆O的切线13. （2011四川广安，29，10分）如图8所示P是O外一点PA是O的切线A是切点B是O上一点且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q （1）求证：PB是O的切线；_Q_P_O_B_A图8【答案】（1）证明：如图，连结OP PA=PB，AO=BO，PO=PO APOBPO PBO=PAO=90 PB是O的切线14. （2011江苏淮安，25，10分）如图，AD是O的弦，AB经过圆心O，交O于点C，DAB=B=30.(1)直线BD是否与O相切？为什么？(2)连接CD，若CD=5，求AB的长.【答案】(1)答：直线BD与O相切.理由如下： 如图，连接OD，ODA=DAB=B=30，ODB=180-ODA-DAB-B=180-30-30-30=90，即ODBD，直线BD与O相切.17. （2011四川乐山24，10分）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDA=CBD.求证:CD是O的切线;【答案】证明：连接ODOA=ODADO=OADAB为O的直径，ADO+BDO=90在RtABD中，ABD+BAD=90CDA=CBDCDA+ADO=90ODCE即CE为O的切线18. （2011四川凉山州，27，8分）如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点。求证：是半圆的切线；BDAOAHACAEAMAFAA27题图【答案】证明：连接， 是直径 有于 是的角平分线 又 为的中点 于 即 又是直径 是半圆的切线 4分20（2011湖北武汉市，22，8分）（本题满分8分）如图，PA为O的切线，A为切点过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交O于点B延长BO与O交于点D，与PA的延长线交于点E（1）求证：PB为O的切线；（2）若tanABE=，求sinE的值 【答案】(本题8分)（1）证明：连接OAPA为O的切线，PAO=90OAOB，OPAB于CBCCA，PBPAPBOPAOPBOPAO90PB为O的切线21. （2011湖南衡阳，24，8分）如图，ABC内接于O，CA=CB，CDAB且与OA的延长线交与点D(1)判断CD与O的位置关系并说明理由；(2)若ACB=120，OA=2，求CD的长【解】 (1) CD与O的位置关系是相切，理由如下：作直径CE，连结AECE是直径， EAC90，EACE=90，CA=CB，BCAB，ABCD，ACDCAB，BE，ACDE，ACEACD=90，即DCO=90，OCD C，CD与O相切22. （2011湖南永州，23，10分）如图，AB是半圆O的直径，点C是O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作ODAC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使OEB=ABC求证：BE是O的切线；（第25题图）【答案】证明：AB是半圆O的直径 ACB=90ODAC ODB=ACB=90 BOD+ABC=90又OEB=ABC BOD+OEB=90 OBE=90AB是半圆O的直径 BE是O的切线25. （2011广东湛江27,12分）如图，在中，点D是AC的中点，且,过点作，使圆心在上，与交于点（1）求证：直线与相切；【答案】（1）证明：连接O