数学归纳法典型例题PPT课件.ppt

1 了解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些常见的数学命题 1 数学归纳法的原理及用数学归纳法证明数学命题的步骤 重点 难点 2 学会用数学归纳法证明与正整数n有关的数学命题 重点 难点 1 4 2数学归纳法典型例题 课标要求 核心扫描 数学归纳法是用来证明某些与有关的数学命题的一种方法 基本步骤 验证 时 命题成立 在假设时命题成立的前提下 推出时 命题成立 根据 可以断定命题对一切正整数n n0都成立 自学导引 1 数学归纳法 正整数n 2 数学归纳法证明步骤 n n0 n k k n0 n k 1 3 数学归纳法的框图表示 n 提示数学归纳法的第一步中n的初始值应根据命题的具体情况而确定 不一定是n0 1 如证明n边形的内角和为 n 2 180 时 其初始值n0 3 数学归纳法的第一步中n的初始值怎样确定 步骤 是命题论证的基础 步骤 是判断命题的正确性能否递推下去的保证 这两个步骤缺一不可 如果只有步骤 缺少步骤 无法对n取n0后的数时结论是否正确做出判断 如果只有步骤 缺少步骤 这个基础 假设就失去了成立的前提 步骤 就没有意义了 名师点睛 1 数学归纳法中两个步骤的作用及关系 说明 归纳法是一种推理方法 数学归纳法是一种证明方法 归纳法帮助我们提出猜想 而数学归纳法的作用是证明猜想 观察 猜想 证明 是解答与正整数有关命题的有效途径 利用数学归纳法证明的命题范围比较广泛 可以涵盖代数 三角恒等式 不等式 数列 几何问题 整除性问题等等 所涉及的题型主要有以下几个方面 1 已知数列的递推公式 求通项或前n项和 2 由一些恒等式 不等式改编的探究性问题 求使命题成立的参数的值或范围 3 猜想并证明对正整数n都成立的一般性命题 2 数学归纳法的主要应用 1 用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题 2 在用数学归纳法证明中 两个基本步骤缺一不可 提醒 用数学归纳法可证明与正整数有关的问题 但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的 学习时要具体问题具体分析 3 应用数学归纳法的注意事项 例1 用数学归纳法证明 1 4 2 7 3 10 n 3n 1 n n 1 2 其中n N 思路探索 第 1 步先验证等式成立的第一个值n0 第 2 步在n k时等式成立的基础上 等式左边加上n k 1时新增的项 整理出等式右边的项 题型一恒等式问题 1 当n 1时 左边 1 4 4 右边 1 22 4 左边 右边 等式成立 2 假设当n k k N k 1 时等式成立 即1 4 2 7 3 10 k 3k 1 k k 1 2 那么 当n k 1时 1 4 2 7 3 10 k 3k 1 k 1 3 k 1 1 k k 1 2 k 1 3 k 1 1 k 1 k2 4k 4 k 1 k 1 1 2 即当n k 1时等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任何n N 都成立 证明 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时 关键在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与n的取值是否有关 由n k到n k 1时 等式两边会增加多少项 难点在于寻找n k时和n k 1时的等式的联系 例2 几个半圆的圆心在同一条直线l上 这几个半圆每两个都相交 且都在直线l的同侧 求证这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧段数为f n n2 n 2 n N 题型二几何问题 用数学归纳法证明几何问题的关键是 找项 即几何元素从k个变成k 1个时 所证的几何量将增加多少 这需用到几何知识或借助于几何图形来分析 实在分析不出来的情况下 将n k 1和n k分别代入所证的式子 然后作差 即可求出增加量 然后只需稍加说明即可 这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧 先求出当n 3时等式左右两边的值 验证不等式成立 然后作出假设 当n k时不等式成立 接着令n k 1 将假设得到的结论与不等式的左边比较 可将所证不等式进行化简 题型三不等式问题 思路探索 用数学归纳法证明不等式 比较大小是高考的重点 用数学归纳法证明不等式的第二步即从n k k 1 到n k 1的推导过程中要应用归纳假设 并对照目标式进行恰当的放缩来实现 也可以在归纳假设后用分析法来证明n k 1时不等式成立 例4 12分 在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 n N 求a2 a3 a4及b2 b3 b4 由此猜测 an bn 的通项公式 并证明你的结论 归纳 猜想 证明是高考重点考查的内容之一 此类问题可分为归纳性问题和存在性问题 本例中归纳性问题需要从特殊情况入手 通过观察 分析 归纳 猜想 探索出一般规律 题型四 归纳 猜想 证明 问题 审题指导 题后反思 对于已知递推公式求通项公式 可以把递推公式变形转化成我们熟悉的知识来解决 当用上述方法不能解决问题时 常用归纳 猜想和证明的方法来解决问题 用该法要求计算准确 归纳 猜想正确 然后用数学归纳法证明猜想对任何自然数都成立 训练4 设数列 an 满足an 1 an2 nan 1 n 1 2 3 1 当a1 2时 求a2 a3 a4 并由此猜想出an的一个通项公式 2 当a1 3时 证明对所有的n 1 有an n 2 3 在 2 的前提下 证明 2 证明 当n 1时 a1 3 1 2 不等式成立 假设当n k k 1 时不等式成立 即ak k 2 那么 ak 1 ak ak k 1 k 2 k 2 k 1 k 3 即n k 1时 ak 1 k 1 2 由 可知 对n 1 都有an n 2 3 证明 略 学生证自己证 示例 当n为正奇数时 7n 1能否被8整除 若能 用数学归纳法证明 若不能 请举出反例 错解 1 当n 1时 7 1 8能被8整除 命题成立 2 假设当n k时命题成立 即7k 1能被8整除 则当n k 1时 7k 1 1 7 7k 1 6不能被8整除 由 1 和 2 知 n为正奇数时 7n 1不能被8整除 题型五整除问题 不要机械套用数学归纳法中的两个步骤 而忽略了n是正奇数的条件 证明前要看准已知条件 正解 1 当n 1时 7 1 8能被8整除 命题成立 2 假设当n k时命题成立 即7k 1能被8整除 则当n k 2时 7k 2 1 72 7k 1 1 72 49 7k 1 48 因为7k 1能被8整除 且48能被8整除 所以7k 2 1能被8整除 所以当n k 2时命题成立 由 1 和