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文档简介

中学 数 学 研 究 2 0 0 5年 第 1 2期 一 一 一 一 一 把 另两个 旁 心 请 出来 一 一 一 一 一一一 看过今年联赛 的 平面几何题后 总有一 种意犹未尽的感觉 原 题如下 如 图 在 AA B C 中 设 A B A C 过 A 作AA B C的外接 圆的 江西永丰中学 3 3 1 5 0 0 谢清平 切线z 又以 A为圆心 A C为半径作 圆分别交 线段A B于D 交直线 j 于E F 证明 直线 D E D F分别通过AA B C的内心与一个旁心 对于原题的证明 参加竞赛的学生 已经给 出了很多种证法 我就不必再凑这个热闹了 只 是我想 大家都知道 三角形是有三个旁心的 能不能把另两个旁心给 请 出来呢 注意到由原题可知 I E与 所在直线相 交于点 D 我试着先作出AA B C的另两个旁心 2 I 3 注 l 厶 厶分别为AA B C的内心 B C 边外的旁心 A C边外的旁心 A B边外的旁心 连缚 I 2 E I F 发现 I 2 E I F I 3 F i E 记 1 2 E与 厶F的交 点为 D 则不难发现 四边形 D E D F为矩形 即矩形 D E D F的四边所在直线 分别通过AA B C的内心与三个旁心 下面我们 证明 以 D E D F为边作矩形 D E D F 则直线 D E D F分别通过AA B C的另两个旁心 证明 作 B A C的外角平分线交 D E于 连 为内心 I A I 2 9 A E h 四点共 圆 脚 2 9 一 A E I 1 9 一 A C I 9 一 A D I G A D C 士 立 十 一 脚 烈 G G 1 L B A C 1 A B C B 厶共线 1 2 是AA B C的 A C边 外的旁心 同理可 证 B A C 的外角平分 线与 D F 的交点厶 是AA B C的 A B边 的旁心 另外 原题 中 A B A C 这 一条 件也可 除去 也就是说 A B A C时 可以有 同样 的 结论 事实上 A B A C时 D点与B点重合 此 时的 D F本身就是 A B C的外角平分线 而 衄 I A 3 3 肼 2一 A A 一 A A 3 一 1
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