一些重要不等式的证明及应用定稿.doc

毕业论文（设计）一些重要不等式的证明及应用摘要：在数学分析或高等数学中积分不等式是重要的内容之一，本文深入讨论了几个重要不等式。这些不等式不仅仅本身很重要,而且这些不等式的证明方法也十分典型。本文讨论的几个重要的不等式是Cauchy不等式、 Schwarz不等式、平均值不等式以及Holder不等式的基本形式，我们也给出这些不等式的一些证明及其应用。关键词：Cauchy不等式 Schwarz不等式 平均值不等式 Holder不等式引言众所周知，不等式理论在数学理论中占有重要地位，它渗透到数学的各个领域，因而有必要对不等式理论的发展历史有一个清晰的认识。不等式在数学的学习研究中都是一个非常重要的内容，它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的许多方面，在数学中有着不可替代的作用.而不等式的证明则是不等式研究的重要内容，数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯拉夫国家。目前,对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。相对于等式的可确定性，不等式更像是确定一个界限，制定一个条件来规范，和划定一个范围，所以不等式的证明是非常有趣和富有挑战。不等式的证明没有固定的程序，证法因题而易，灵活多变，技巧性强。其最基本的方法是应用定义及基本性质，并通过代数变换予于证明。要追寻一个大家所熟知的不等式的起源是很困难的，很可能它是在一篇关于几何或文学方面的论文中作为一个辅助命题首先出现，但在出现的时候却又往往没有明确的表达出来。过了若干年后，它又可能为几个不同的作者重新发现。但也许没有一个可以过得去的叙述是十分完善的。我们几乎常常发现，即使对于那些最著名的不等式，也还是可以增添一点的东西，像不等式这样的一个内容，它在数学的各个方面皆要用到，本文讨论的是几种常见的不等式的证明及应用。利用著名的不等式证明其他不等式要求我们应熟悉掌握数学分析中的一些常用的不等式，掌握了这些不等式我们可以利用他们来直接对其他一些难度较大不等式进行证明。此种方法对学生要求较高，难度也较大，技巧性更强。1. Cauchy不等式的证明及应用1.1 Cauchy不等式的基本形式定理1 设，为任意实数则 （1）其中等号当且仅当和成比例时成立，（1）式称为Cauchy不等式.柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步. 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解. 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用.1.2 Cauchy不等式的几种证明方法证明方法一：利用判别式法进行证明 那么关于x的二次三项式保持非负，所以判别式为 .即有方法二：利用的是配方法，证明如下：因 所以不等式获证,等号当且仅当方法三: 可以利用二次型来证明,证明如下: 即关于的二次型非负定，因此 ，即有用方法三很容易将将结果进行推广因为： 此式右边为的二次型，此式表明该二次型非负定，故系数型列式等号当且仅当线性相关时成立，并且它的系数行列式是Cauchy不等式的推广形式.方法四：利用欧式空间中内积性质证明设是n维欧式空间V的一组向量，而证明：当且仅当时，线性无关即在一般欧式空间中线性无关时，由两向量生成的欧式空间与平面上向量全体所成欧式空间同构，所以成立，方法四是采用的欧式空间的内积性质来证明的，比较容易理解，比较简单。由此我们很容易看出一些结论，线性相关，于是定理得证。作为柯西不等式的特殊情况，在实线性空间中，令，并定义如下立即可得到柯西不等式. 4 毕业论文（设计）利用柯西不等式来证明时，有些可以直接应用，有些则需要使用一些方法如拆分常数、改变结构、重新排列等，来构造出符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关问题的目的。同时，与其他定理的应用一样，对柯西不等式也要正用、逆用、变用、连用、巧用.2. Schwarz不等式的证明及应用2.1 Schwarz不等式的基本形式Cauchy不等式的积分形式称为Schwarz不等式.它通过积分定义，直接由Cauchy不等式推得.定理2 若在上可积，则 （2）若在上连续，其中等号当且仅当存在常数，使得时成立（不同时为零）.2.2 Schwary不等式的几种证明方法证明方法一：将等分，令应用Cauchy不等式，方法二：令取极限即可 由此可以看出，若连续，等号当且仅当存在常数（不全为零）使得时成立.2.3 Schwary不等式的应用类似可以推广到一般情况，若函数，在上可积，则。若在上连续，其中等号当且仅当线性相关时成立.应用Schwarz不等式，可证明另外一些不等式.使用时要注意恰当地选取函数与.从下面例子可以看出，在证明其他不等式时有时需要对积分作适当的变形，才能使用Schwarz不等式.例1已知，在上连续，为任意实数，求证：证明如下：上式左端第一项应用Schwarz不等式所以同理可得把上面两式相加即可得出.例2设在上有连续的导函数，试证：证明：令,则，由知，因此（应用Schwarz不等式）3. 平均值不等式的证明及应用3.1 平均值不等式的基本形式定理3 对任意个实数恒有 （3）（即几何平均值算术平均值），其中等号当且仅当时成立.3.2 平均值不等式的几种证明方法证明此不等式我们通常采用大家都比较熟悉的反向归纳法.证明方法一：要想证明命题对一切成立,首先有:(等号当且仅当)其次 (等号当且仅当时成立)类似,重复上述方法k次（等号当且仅当时成立）方法二：令A=，那么假设不等式对成立，则=所以这表明不等式对成立.跟时一样，等号当且仅当时成立.所以此不等式成立.3.3 平均值不等式的应用例3设正值函数在上连续，试证： 证明：由条件知在上可积.将等分，作积分和， 所以 应用定理所以原题得证平均值不等式的推广形式定义1：设 ，记 称为的次幂平均，它与算术平均的关系是定义2：（加权平均） 记，和分别称为的加权（r次幂）算术平均和加权几何平均.引理1 设，不全相等，则引理2 引理3 设不全相等，则有则亦即：只有全相等时才变成.定义3：设函数,及,在上有定义，且下面所出现的积分有意义，记， 若，记它们分别称为的加权算术平均，加权算术平均和加权几何平均，其中称为权函数.若用取代，则，称为的标准化.那么平均值不等式的积分形式为设所证得积分有意义，则则（包括的情况）.4. Holder不等式的证明及应用4.1 Holder不等式的基本形式定理4 设为实数：，则当 ； （4）当 。 （5）其中等号当且仅当时成立.4.2 平均值不等式的几种证明方法证明方法一：当k1时，这时当且仅当时成立方法二：当k1时，利用方法一把分别看作与则得到，即且不等式的等号当且仅当与成比例时成立.4.3 Holder不等式的积分形式设，并且使得所论的积分有意义，为共轭实数（即：），则当（时）当（时）若连续，则其中的等号当且仅当与成比例时成立.例4试证明：证明如下：令，于是原式的左端总结在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在与现实世界里，但人们对于不等式的认识要比方程晚的多。直到17世纪以后不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分。在研究不等式的过程中要注重不等式的性质，不等式的证明方法。上述是几种常见的重要不等式，从证明方法及其推广形式来阐述几种不等式，而且证明这些不等式的方法也是非常典型的。不等式是数学分析中的一个重点也是一个难点，也能为其他数学分支的学习提供一个重要工具。不等式的证明是数学领域的重要内容，也是学习中的一个难点。不等式作为一个系统，其内容较为复杂，其证明方法也较多，以上只是简要介绍了不等式证明的几种证明方法，并用例题作一一讲解，意在抛砖引玉。参考文献1 朱时.数学分析札记M.贵州：贵州省教育出版社，1994：130-1452 南京师范大学主编.数学分析选论M.江苏：江苏教育出版社，1988：76-883 华东师范大学数学系.数学分析（第三版）M.北京：高等教育出版社，2001：79-824 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第二版）M.北京：高等教育出版社，2003：111-1305 裴礼文，解际太.数学分析中典型问题的方法M.北京：高等教育出版社，1991：180-2076 赤勇，.考研精选.华中理工大学出版社M .湖北：高等教育出版社，2005：89-95Proofs and applications of some important inequalitiesChen Weili( Major: Mathematics and Applied mathematics, 2009012985 )Supervisor: Prof. Niu YingxuanAbstract: In higher mathematics is one of the important content，This paper discusses some important inequalities。These inequalities are important not only in itself。But these inequalities proof method is also very typical。This paper discusses several important inequality and Cauchy inequality, Schwarz inequality, inequality and the basic form of Holder i