第八章 高斯投影.doc

第八章 高斯投影地面-椭球面-平面熟悉,简单地图投影高斯克吕格投影（高斯投影）8.1高斯投影概述8.1.1投影与变形所谓地球投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。这里所说的数学法则可用下面两个方程式表示： (8-1)式中L，B是椭球面上某点的大地坐标，而是该点投影后的平面(投影面)直角坐标。式(8-1)表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系，也叫做坐标投影公式。投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元素之间的解析关系式。投影的方法很多，每种方法的本质特征都是由坐标投影公式F的具体形式体现的。椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称作投影的变形。地图投影必然产生变形。投影变形一般分为角度变形、长度变形和面积变形三种。在地图投影时，我们可根据需要使某种变形为零，也可使其减小到某一适当程度。因此，地图投影中产生了所谓的等角投影（投影前后角度相等，但长度和面积有变形）、等距投影（投影前后长度相等，但角度和面积有变形）、等积投影（投影前后面积相等，但角度和长度有变形）等。8.1.2控制测量对地图投影的要求1.应采用等角投影（又称正形投影）。这样保证了在三角测量中大量的角度元素在投影前后保持不变，免除了大量的投影工作；所测制的地图可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似，给国民经济建设中识图用图带来很大方便。如图多边形，相应角度相等，但长度有变化，投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。图中, 即在微小范围内保证了形状的相似性，当ABCDE无限接近时，可把该多边形看作一个点，因此在正形投影中，长度比m仅与点的位置有关，与方向无关，给地图测制及地图的使用等带来极大方便。2.要求长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。为此地图投影应该限制在不大的投影范围内，从而控制变形并能进行简单计算。3.要求投影能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体。保证每个带进行单独投影，并组成本身的直角坐标系统，然后再将这些带用简单的数学方法联接在一起，从而组成统一的系统。8.1.3高斯投影的基本概念高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影，是德国测量学家高斯于18251830年首先提出的。实际上，直到1912年，由德国另一位测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后，这种投影才得到推广，所以该投影又称高斯-克吕格投影。想象有一椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（称中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。我国规定按经差和度进行投影分带，为大比例尺测图和工程测量采用带投影。特殊情况下工程测量控制网也可用带或任意带。高斯投影带自子午线起每隔经差自西向东分带，依次编号1,2,3,。我国中央子午线的经度，由起每隔而至，共计12带，带号用n表示，中央子午线的经度用表示，。高斯投影带是在带的基础上分成的，它的中央子午线一部分同带中央子午线重合，一部分同带分界子午线重合，带号用n/表示，带中央子午线用L表示，关系是：。在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴，这样便形成了高斯平面直角坐标系。在我国坐标均为正，坐标的最大值（在赤道上）约为330KM。为避免出现负的横坐标，可在横坐标上加500KM。此外还应在坐标前面冠以带号，这种坐标称为国家统一坐标。如某点Y=19123456.789m，该点位于19带内，其相对于中央子午线而言的横坐标是：首先去掉带号，再减去500KM，最后得y=-376543.211m。 由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内，为了把各带连成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一带向东加宽，向西加宽，这样在上述重叠范围内，控制点将有两套相邻带的坐标值，地形图将有两套公里格网，从而保证了边缘地区控制点间的互相应用，也保证了地图的拼接和使用。由此可见，由于高斯投影是正形投影，故保证了投影的角度不变性、图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性；由于采用了同样法则的分带投影，既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简单公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。高斯投影这些优点使用权它得到广泛的推广和具有国际性。8.1.4椭球面三角系化算到高斯平面高斯投影坐标计算；平面子午线收敛角r；方向改化，距离改化；换带计算。8.2正形投影的一般条件研究高斯投影应首先满足正形投影的一般条件，然后加上高斯投影的特殊条件，即可导出高斯投影坐标正反算公式。推求时抓住正形投影区别于其它投影的特殊本质：在正形投影中，长度比与方向无关。建立长度比关系在微分直角三角形P1P2P3和P1/P2/P3/中有： (8-5)则长度比为 (8-6) 引进等量纬度 (8-7) 则 (8-8)因q只与B有关，故可把dq和dl看作互为独立的变量的微分。则(8-6)式可表示为： (8-9)地图投影就是建立x,y与L,B的函数关系，因B与q有确定的关系，因此投影问题也可以说是建立x,y与q,l的函数关系。设函数关系式为： (8-10)全微分 (8-11)代入(8-5)2式得：令,， (8-12) 得： (8-13) 则(8-9)式变为： (8-14)引入方向，由图知： (8-15)则 (8-16)代入(8-14)式 (8-17) 若想使上式中m与A无关，必须满足条件：F=0、E=G (8-18)将条件代入(8-12)式得： (8-19) 由F=0得, 代入(8-19)2式得： 整理得： 或上式开方并代入(19)式得柯西(Cauchy)黎曼(Riemann)条件： (8-20)通常，在选取椭球面和平面的坐标轴方向时，要求，椭球面上沿经线方向q(或B)增加时平面上x也增加，即要求为正；沿纬线方向l增加时，平面上的y也增加，即也要求为正，对此取相应的 (8-20) (8-20)(8-21)式即为椭球平面正形投影的一般条件，是各类正形投影方法都必须遵循的法则，高斯坐标正、反算公式均以此为基础。当满足F=0，E=G条件时，长度比的公式：（8-22）8.3高斯投影坐标正反算公式任何一种投影坐标对应关系是最主要的；如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R偏微分方程），还有它本身的特殊条件。8.3.1高斯投影坐标正算公式： B, x,y高斯投影必须满足以下三个条件：中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x为的偶函数，y为的奇函数；，即，如展开为的级数，收敛。 （8-33） 式中是待定系数，它们都是纬度B的函数。由第三个条件知：(8-33)式分别对和q求偏导数并代入上式 (8-34)上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即 (8-35) (8-35)是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。 由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X，即(8-33)式第一式中，当时有： (8-36)顾及(对于中央子午线)得： (8-37,38) (8-39)依次求得并代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式 (8-42)8.3.2高斯投影坐标反算公式 x,y B,投影方程： (8-43)满足以下三个条件：x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴； x坐标轴投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。由x求底点纬度(垂足纬度),对应的有底点处的等量纬度，求x,y与的关系式，仿照(8-10)式有， 由于y和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将展开为y的幂级数；又由于是对称投影，q必是y的偶函数，必是y的奇函数。 (8-45)是待定系数，它们都是x的函数.由第三条件知：， ， (8-21)(8-45)式分别对x和y求偏导数并代入上式 上式相等必要充分条件，是同次幂y前的系数相等， 第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度，也就是x=X时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为。也就是在底点展开为y的幂级数。 由(8-45)1式 依次求得其它各系数(8-51) (8-51)1 将代入(8-45)1式得 (8-55)1 (8-55) 将代入(8-45)2式得(8-56)2式。(最后表达式)求与的关系。由(8-7)式知： (8-47) (8-48) 按台劳级数在展开 (8-49) (8-50)由(8-7)式可求出各阶导数： (8-53) (8-54)1(8-54)2 将式(8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54)代入(8-50)式并按y幂集合得高斯投影坐标反算公式(8-56)1, (8-56)归纳由求的基本思想：由点得到底点，将底点f作为过渡，也就是说将坐标原点o移到f点，先求关系式，再将关系式代入关系式得关系式，最后将坐标原点移回到o点,从而求得点。8.3.3高斯投影坐标正反算公式的几何解释当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。当l=常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用-B代替B时，y值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。当B=常数时(纬线)，随着的l增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。8.4高斯投影计算的实用公式1子午线弧长计算公式改写并扩充(7-65)(7-64)两式2正算公式(8-67)(8-81)式中： 3 底点纬度公式 (单位：弧度)(单位：弧度) 式中：4 反算公式(8-71)(8-83)式中： 8.5平面子午线收敛角8.5.1定义，用途。8.5.2公式1由求r的公式。由于正形投影的关系，B=常数(或q=常数)与x=常数直线在P/点所组成的角也是r。设P/沿B=常数(或q=常数)的曲线移到P/1，P/与P/1无限接近， （8-77）对 全微分 因此有： 根据C-R条件又有(8-77)1 (8-77)2上两式用于由求r。根据(8-42)式求偏导数，求并代入上式得，再按反正切展开即得由求r的(8-81)式。分析(8-81)式:在中央子午线上l=0,r=0；在赤道上B=0,r=0。r为奇函数，有正负，当描写点在中央子午线以东时，经差为正，r也为正；当描写点在中央子午线以西时，经差为负，r也为负。在同一经线上(l=常数)纬度愈高，也愈大，在极点处最大；在同一纬线上(B=常数)愈大也愈大。2由xy求r的公式式(8-81)中经差l用(8-57)2式代入，纬度B须化算为底点纬度。由(8-57)1式，只取主项，即,将上两式及(8-57)2代入(8-81)式，忽略以上的小项，得精确至1/的计算子午线收敛角式(8-82)。如欲精确到0.001/，可顺至得式（8-83） 8.6方向改化公式定义： 8.6.1方向改化近似公式的推导AB椭球面上的大地线OEP中央子午线ab大地线在高斯平面上的描写形坐标第一个假设，认为大地线AB距离不太长，可以假定AB所在的一块椭球面是球面，园球的半径为相应A，B的平均纬度的平均曲率半经。那么大地线AB成了大圆弧，过A和B作大圆弧(卯酉圈)AD和BE垂直于中央子午线OP，ABED是球面四边形。如果把地球当作圆球，则高斯投影变成墨卡托横轴园柱正形投影，由高斯投影知大圆弧AD和BE投影到平面上是平行于y轴的直线，由此，ad和be就是AD和BE的描写形。由正形投影的性质是四边形的球面角超。0P是四边形的面积，由此得出结论：大地线的描写形 (在高斯平面上)是一条背向中央子午线的曲线。第二个假设园球面ABED的面积近似的等于平面四边形abed的面积,即第三个假设，即把ab当做大园弧，应为“-”，应为“+” 。最后写成 (8-97) 上式的误差小于0.1/，可适用于三、四等三角测量的计算。8.6.2方向改化较精密公式的推导传统的推导方法是用微分几何学中曲率的公式，这里应用几何方法进行推导，仍视椭球为球。建立关系式。过点加作一条平行于中央子午线的小园弧，它与正交；过再作大圆弧。投影平面上相应的投影为直线和曲线，设其夹角为。因为是正形投影，故与垂直即平行于x轴，并得： (8-98) 的推求与近似公式一样，有 (8-99)求-T。由球面三角形按勒让德尔定理 (8-100)式中为相应的球面角超。因，故有 (8-101)由(b)图可知 (8-102)设点长度比为，则近似有式，于是有 (8-103) 并有 (8-104)顾及 (8-105)得 (8-106)将(8-99)及上式代入(8-98)得 (8-107)整理。按测量计算习惯，将赋以符号，并以秒表示之，则得方向改化的较精密公式： (8-108)我国二等三角网平均边长为13KM，当时，上式精确至0.01/，故通常用于二等三角测量计算。若时则需用下面的精密公式计算, （8-109）该式精确至0.001/，适用于一等三角测量计算。8.6.3计算的检校 式中分别为椭球面及平面上的方向观测值，若为角度改正数，则有： 将上式两端相加得 顾及到 因而得： 由此可知，一个三角形的三个内角的角度改正值（同一点相应两个方向的方向改正之差）之和应等于该三角形的球面角超的负值。此式可用来检查方向改正计算。8.7 距离改化公式椭球体上有两点及其大地线S，在高斯投影面上的投影为，s是一条曲线，而连接两点的直线为D。由S化至D所加的改正称为距离改正。一般情况下高斯投影的长度比恒大于1，则有 。为求S与D的关系，先研究平面曲线长度s与其弦线长度D的关系；然后研究用大地坐标B、L和平面坐标x、y计算长度比m的公式；最后导出距离改化的计算公式。8.7.1s与D的关系设是弦上的微分线段，表示弧线上的微分线段，它们的夹角为，则有 因此 由于是一个小角，最大不会超过方向改化值，因此可把展开为级数： 于是有 (8-117)式中用的最大值代替。已是二次项，D与s之差是四次项微小量。当取最大40/,s=50KM时，代入上式得，化算为相对中误差为。所以，对现有测量方法这个误差可忽略不计，完全可以认为大地线的平面投影曲线长度s等于其弦线长度D。8.7.2长度比和长度变形长度比m是指椭球面上某一点的微分元素，与其投影面上的相应的微分元素之比，即 由于长度比恒大于1，故称为长度变形。1.用大地坐标表示的长度比公式由（8-22）式第二式得 (8-118) 偏导数见(8-78) 将上式代入(8-118)得 再根据近似公式得 (8-121) 实用时一般取至二次项，在带的边缘及低纬度处，有时用到项。2.用平面坐标表示的长度比公式在(8-121)式中如果能将用x,y表达，即可求得用平面坐标表示的长度比公式。利用正算公式(8-42)2式， (8-42)2 级数回求公式，若则这里，求得 （忽略六次项）（忽略六次项）代入(8-121)式得 (8-125)分析(8-121)(8-125)式：m随点的位置(B,L)或(x,y)而异，但在一点上与方向无关；当y=0 (或l=0)时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点的m都等于1，即中央子午线投影后长度不变；当时，由于m是y（或l）的偶函数，且各项都为“+”号，故m恒大于1，即除中央子午线外其它投影后都变长了；长度变形（m-1）与成正比例地增大，愈离远中央子午线长度变形愈大。在同一纬线上，即B=常数，长度变形（m-1）随l的增大而增大。在同一经线上，即l=常数，长度变形（m-1）随B的减少而增大，在赤道处(B=0)为最大。8.7.3距离改化公式长度比定义由前面的分析知可用弦线来代替大地线的描写形，积分之，上式中长度比随点的位置而变，但当投影区域不大时，m的变化很缓慢，例如当y=300km，P1和P2两点的纬差达一度时，两点长度比之差小于410-7，因此用近似积分的方法而仍可得到较高的精度。现按辛普生近似积分公式，并且只把区间 分成两段，每段长s/2又按式(8-125)代入，并用代替对计算影响可忽略不计，可认为中点处又又因项已是很微小，故完全可以作以下替换，代入得大地线S归算到高斯平面上直线距离D的公式， （8-133）当S70km,350km(带的边缘) 计算精度小于0.001m，对于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去项，对于三四等边长的归算又可再略去项。8.10工程测量投影面与投影带的选择我国有关测量规范中明确规定，国家大地测量控制网依高斯投影方法按带或带进行分带和计算。对于城市测量，既有测制大比例尺地形图的任务，又有满足各种工程建设和市政建设施工放样工作的要求。1999年城市测量规范规定：一个城市只应建立一个与国家坐标系统相联系的、相对独立和统一的城市坐标系统，并经上级行政主管部门审查批准后方可使用。城市平面控制测量坐标系统的选择应以投影长度变形值不大于2.5cm/km为原则，并根据城市地理位置和平均高程而定。可按下列次序选择城市平面控制网的坐标系统：1当长度变形值不大于2.5cm/km时,应采用高斯正形投影统一带的平面直角坐标系统。统一带的主子午线经度由东经起,每隔至东经。2当长度变形值大于2.5cm/km 时，可依次采用：1)投影于抵偿高程面上的高斯正形投影带的平面直角坐标系统；2)高斯正形投影任意带的平面直角坐标系统，投影面可采用黄海平均海水面或城市平均高程面。3面积小于25km2的城镇,可不经投影采用假定平面直角坐标系统在平面上直接进行计算。8.10.1工程测量中投影面和投影带选择的基本出发点1. 有关投影变形的基本概念平面控制测量投影面和投影带的选择，主要是解决长度变形问题。这种投影变形主要由以下两方面因素引起：1).实量边长归算到参考椭球体面上的变形影响，其值依(8-100)式有： (8-176)式中,为归算边高出参考椭球面的平均高程；s为归算边的长度 ；R为归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径。归算边的相对变形为： (8-177)由公式可以看出：的值总为负，即地面实量长度归算至参考椭球体面上，总是缩短的；值与成正比，随增大而增大。2).将参考椭球面上边长归算到高斯投影面上的变形影响，其值依（8-138）式有： (8-178)式中,，即为投影归算边长，为归算边两端点横坐标平均值，为参考椭球面平均曲率半径。投影边的相对变形为： (8-179)由公式可以看出：的值总为正，即椭球面上长度归算至高斯面上，总是增大的，值与成正比而增大，离中央子午线愈远变形愈大。2. 有关工程测量平面控制网的精度要求的概念为便于施工放样的顺利进行，要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长，在长度上应该相等，即由上述两项归算投影改正而带来的变形或改正数，不得大于施工放样的精度要求。一般地，施工放样的方格网和建筑轴线的测量精度为1/50001/20000。因此，由归算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的1/2，即相对误差为1/100001/40000，也就是说，每公里的长度改正数，不应该大于102.5cm。3. 工程测量投影面和投影带选择的基本出发点(1) 在满足精度要求的前提下，为使测量结果一测多用，应采用国家统一带高斯平面直角坐标系，将观测结果归算至参考椭球面上。即工程测量控制网应同国家测量系统相联系；(2) 当边长的两次归算投影改正不能满足上述要求时，为保证测量结果的直接利用和计算的方便，可采用任意带的独立高斯平面直角坐标系，归算测量结果的参考面可自己选定。为此可用以下手段实现：(a) 通过改变从而选择合适的高程参考面，将抵偿分带投影变形（称为抵偿投影面的高斯正形投影）；(b) 改变从而对中央子午线作适当移动，以抵偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形（称为任意带高斯正形投影）；(c) 通过既改变（选择高程参考面），又改变（移动中央子午线），来抵偿两项归算改正变形（称为具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影）。8.10.2工程测量中几种可能采用的直角坐标系目前，在工程测量中主要有以下几种常用的平面直角坐标系：1. 国家带高斯正形投影平面直角坐标系 据计算，当测区平均高程在100m以下，且值不大于40km时，其投影变形值均小