空间向量及其加减运算课件 (2).ppt

1 第三章空间向量与立体几何 3 1空间向量及其运算 第1课时空间向量及其加减运算 复习回顾 平面向量 1 定义 既有大小又有方向的量 已知F1 2000N F2 2000N F3 2000N 这三个力两两之间的夹角都为600 它们的合力的大小为多少N 这需要进一步来认识空间中的向量 平面中存在向量 空间中是否也有向量 4 向量加法的平行四边形法则 向量加法的三角形法则 向量减法的三角形法则 2 空间向量的加法和减法运算法则 回顾 平面向量的加 减法运算法则 5 5 思考1 在平面中 一个向量经过平移后和原向量相等 在空间向量中呢 思考2 空间任意两个向量都可以平移成过空间任意一点的两个向量吗 结论 空间任意两个向量的运算都可转化为共面向量的运算 思考3 空间两个向量的加减运算能否转化为平面内两个向量的运算 空间向量的加减运算和平面有什么联系 6 空间向量的加减运算 平行四边形法则 三角形法则 7 7 推广 1 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 即 2 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形 则这些向量的和为零向量 即 8 8 3 空间向量的加法运算律 回顾 平面向量的加法运算律 加法交换律 加法结合律 空间向量中还成立吗 思考 空间任意两个向量可都转化为共面向量 那么空间任意三个向量也都能转化为共面向量吗 9 9 3 空间向量的加法运算律 加法交换律 空间向量中显然成立 加法结合律 10 11 解 例题 13 变式2 已知平行六面体ABCD A1B1C1D1 求满足下列各式的x的值 变式2 已知平行六面体ABCD A1B1C1D1 求满足下列各式的x的值 3 1 2空间向量的数乘运算 17 以上运算称为空间向量的数乘运算 一 空间向量的数乘运算定义 4 空间共线向量定理 对空间任意两个向量 有且只有一个实数 使 思考 这个定理有什么作用 1 判定两个向量是否共线 2 判定三点是否共线 3 1 3空间向量的数量积 20 已知两个非零向量a与b 它们的夹角为 我们把数量 a b cos 叫做a与b的数量积 或内积 记作a b a b a b cos 规定 零向量与任一向量的数量积为0 回顾 平面向量数量积定义 类似地 空间向量是否也有相应的数量积运算呢 1 两个空间向量的夹角的定义 A B 2 两个空间向量的数量积定义 注 两个向量的数量积是数量 而不是向量 规定 零向量与任意向量的数量积等于零 3 两个空间向量数量积的性质 注 性质 是证明两向量垂直的依据 性质 实现了向量与向量模之间的转换 例2 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理 25 例2 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理 26 3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示 都叫做基向量 叫做空间的一个基底 如果i j k是空间三个两两垂直的向量 对空间任一个向量p 存在一个有序实数组使得p xi yj zk 我们称xi yj zk为向量p在i j k上的分向量 单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直 且长都为1 则这个基底叫做单位正交基底 常用表示 正交基底 空间的一个基底的三个基向量互相垂直 二 空间直角坐标系 二 空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底 以点O为原点 分别以的正方向建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 这样就建立了一个空间直角坐标系O xyz 三 空间向量的正交分解及其坐标表示 x y z O i j k P 记作 x y z 由空间向量基本定理 对于空间任一向量存在唯一的有序实数组 x y z 使 P P 1 已知a b c是不共面的三个向量 则能构成一个基底的一组向量是 A 2a a b a 2bB 2b b a b 2aC a 2b b cD c a c a c E F 练习2 例2 如图 M N分别是四面体OABC的边OA BC的中点 P Q是MN的三等分点 用向量表示和 3 1 5空间向量运算的坐标表示 一 向量的直角坐标运算 1 距离公式 1 向量的长度 模 公式 注意 此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度 二 距离与夹角 2 两个向量夹角公式 注意 1 当时 同向 2 当时 反向 3 当时 思考 当及时 夹角在什么范围内 在空间直角坐标系中 已知 则 3 空间两点间的距离公式 4 设则 AB的中点M的坐标为 例1 设 1 5 1 2 3 5 1 若 3 求 2 若 3 求