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第二章测量误差及数据处理 电气检测技术 2 2 3随机误差的基本概念 一 测量值的算术平均值与数学期望设对被测物理量进行n次等精密度测量 测得值为 xi是随机变量 测量数据的算术平均值为 电气检测技术 3 数学期望 当测量次数时 算术平均值的极限被称为是测量值的数学期望 记为 也称总体平均值 电气检测技术 4 随机误差的特点 随机误差反映仪表的精密度 表明各次测量值间分散程度 故随机误差定义为各次测量值与总体平均值的差 如下式 即 电气检测技术 5 系统误差特点 系统误差反映仪表的准确度 表明测量值与实际值之间的偏差程度 所以系统误差为 即 A0是测量真值 电气检测技术 6 又绝对误差是测量示值与真值差 即 结论测量数据的绝对误差等与随机误差与系统误差的代数和 当消除了系统误差与粗大误差后 随机误差等于绝对误差 电气检测技术 7 结论 1 当测量次数时 随机误差的算术平均值等于零 即随机误差的数学期望为零 2 对有限次的等精密测量 当测量的次数足够多时 可近似地认为有 即 可见 在仅有随机误差的情况下 当测量的次数足够多时 测量值的算术平均值接近真值 电气检测技术 8 结论 3 在实际测量中 采用一些措施基本消除系统误差 又剔除粗大误差后 虽有随机误差的存在 仍可以用多次测量的平均值作为最后的测量结果 电气检测技术 9 剩余误差 每次的测量值与算术平均值的差值 称为剩余误差 剩余误差又叫残差 记为 对残差求代数和 得到 测量次数足够多时 残差代数和为零 因此可利用此性质来检验所计算的算术平均值是否正确 电气检测技术 10 二 方差与标准差 方差 表明测量数据的分散程度 定义 当测量次数时 测量值与数学期望值之差的平方的算术平均值 即 电气检测技术 11 在系统误差和粗大误差为零的情况下 随机误差所以可以得到方差为 式中是测量值数列的方差 为测量值数列的标准差 电气检测技术 12 多数情况下 随机误差的分布以及在随机误差影响下的所测得的测量数据的分布大多数服从正态分布 测量数据的随机误差的概率密度分布曲线如图 一旦标准差确定 其分布曲线就是随机误差的单值函数 电气检测技术 13 标准差不同时正态分布曲线 电气检测技术 14 对于有限次测量 采用标准差的估计值来替代标准差当n 1时 不定 所以一次测量的数据是不可靠的 电气检测技术 15 小结 这一节中 主要给出了有关随机误差进行统计测量的几个重要概念 这些概念在随机误差数据的处理 以及对粗大误差数据的判断处理中 起着重要的作用 电气检测技术 16 2 4粗大误差的判断准则 由于随机误差的影响 测量值偏离数学期望的多少和方向是随机的 但是 随机误差的绝对值不会超过一定界限 这个界限的确定也界定了一个测量数据是否是一个有用的测量数据 并决定了对这些个测量数据的取舍情况 在本节中就对这种情况进行分析 电气检测技术 17 一 随机误差的概率分布密度 随机误差符合正态分布曲线由概率论知识可知 全部的随机误差出现的概率为 1 设随机误差标准差为 可得 对正态分布随机误差 其大小不超出的概率为95 44 不超出的概率99 73 电气检测技术 18 二 不确定度与坏值的剔除 在概率区间99 73 内 370个随机误差中 仅有一个误差大于 实际测量中 认为大于的误差出现的可能性极小 所以通常把大于的误差称为极限误差或随机不确定度 这个数值说明 测量结果在数学期望附近某一确定范围内的可能性有多大 即由测量值的分散程度来决定 所以用标准差的若干倍来表示 电气检测技术 19 莱特准则 测量次数较多时采用 有限次测量中 n个测量结果为当测量结果所得剩余误差满足下式时 该剩余误差对应所对应的测量结果是坏值 应予剔除 电气检测技术 20 格拉布斯准则 测量次数较少时采用 在等精密度测量数据中 若有剩余误差的绝对值满足下式 则认为与该相对应的测量数据是坏值 应予剔除 式中是格拉布斯系数 见教材P25表2 4 电气检测技术 21 粗大误差的判断 1 对测量数据 根据莱特准则 测量次数 20 或格拉布斯准则 测量次数较少 进行判断 2 当测量数据的剩余误差满足莱特准则或格拉布斯准则 测量次数较少时 时 认为这些测量数据的误差在测量过程中由于疏失造成的测量误差 这些数据应当被剔除 这些测量数据也被称为坏值 电气检测技术 22 3 剔除坏值后 对剩下的测量数据重新计算算术平均值和标准差的估计值 重新作判断 直到测量数据中无坏值为止 此时剩下的的测量数据系列才被认为是最后的测量结果 电气检测技术 23 2 5系统误差及其减小的方法 测量数据的绝对误差是系统误差与随机误差的代数和 即 此式说明测量结果的精确度不仅取决于随机误差 更取决于系统误差 电气检测技术 24 一 系统误差的分类 按系统误差变化特征 系统误差分成 恒值系统误差与变值系统误差 1 恒值系统误差在测量所获得的数据中 恒值系统误差的大小和符号是固定不变的 图a 例如 仪器的基本误差 仪器的零点偏移等均属于恒值系统误差 电气检测技术 25 2 变值系统误差 按一定规律变化 分成下面几种系统误差 1 线性系统误差测量中 误差随时间线性的增加或减小 图b 2 周期变化误差误差作周期性变化 图c 3 复杂变化误差几个因素共同引起 变化规律复杂 图d 电气检测技术 26 二 系统误差的判断 1 实验对比法改变测量条件 测量仪表或测量方法进行重复测量 将试验结果进行对比 发现系统误差 例 先用一般精度的仪表测量某参数 结果可能存在系统误差 再用精度等级高的仪表来进行测量 两次结果比较 发现前一次的测量存在系统误差 这种测量方法用于发现恒值误差 电气检测技术 27 2 剩余误差观察法 用仪表对被测量进行一系列等精密度测量 获的示值然后求这些测量结果的算术平均值 并求出各个示值的剩余误差将剩余误差制成表格或者画成曲线 判断有无系统误差 一般有四种情形 如下图 电气检测技术 28 aba 剩余误差大体正负相同 无明显变化规律 不存在系统误差 b 剩余误差有规律的递增或递减 存在线性变化的系统误差 电气检测技术 29 cdc 剩余误差呈周期性变化 存在周期性系统误差 d 剩余误差同时具有线性变化与周期性变化 存在复杂变化的系统误差 剩余误差观察法主要用于判断变值误差 电气检测技术 30 3 马利科夫判据 发现是否存在线性系统误差当测量次数n为偶数时 当测量次数n为奇数时 电气检测技术 31 3 马利科夫判据 与剩余误差vi进行比较 如果满足 则认为不存在线性系统误差 如果满足 则认为存在线性系统误差 上式中 vim是剩余误差序列中的最大剩余误差 即 电气检测技术 32 4 阿卑 赫梅特判据 判断是否存在周期性系统误差 将测量数据xi按测量时间先后排列好 分别求出各测量数据的剩余误差 依次两两相乘 然后求绝对值 最后用求得的绝对值与用该序列测量数求出的标准差估计值进行比较 如满足 则测量数据中存在周期性系差 否则不存在 电气检测技术 33 结论 经过上述的一序列方法对数据进行判断后 如果认为在测量数据中存在变值系统误差 原则上这些测量数据应舍去不用 但若其最大剩余误差明显小于测量所允许的误差范围 技术指标 或者仪器基本误差 那么 这些测量数据也可以考虑使用 电气检测技术 34 三 减小系统误差的方法 对于一个被测物理量 善于找出其产生系统误差的原因并采取有效措施来减小系统误差是极其重要的 减小系统误差的方法与测量对象 测量方法仪器仪表的选择都有密切关系 电气检测技术 35 1 从产生系统误差的原因来采取措施 研究被测对象特点 选择适当的测量方法 测量仪表 或者说设计合理的测量电路 所选用仪表的精度等级和量程上限 测量环境是否符合仪表的标准工作条件 必要的时候 可以采取稳压 恒温 屏蔽等措施 电气检测技术 36 结论 在测量工作开始前 尽量消除误差产生的根源 从而减小系统误差的影响 电气检测技术 37 2 定期校正减小缓变误差 缓变误差随时间平稳变化 例如仪表的零点和灵敏度过一段时间后可能会变化 如图 曲线1为仪表原来的输出输入特性 曲线2为有零点漂移的输出输入特性曲线 电气检测技术 38 3 用加修正值减小系差 利用修正值C与仪表示值x相加得到被测物理量的实际值A 即此时得到的实际值基本上不包含系统误差 不过由于修正值C本身还有误差 故这种方法只适用于工程测量 电气检测技术 39 4 零位法 由零位法进行电动势测量时 得到有如下的电动势计算式 电气检测技术 40 5 微差法 用已知标准量N与待测量x比较 得微差 然后用高灵敏度指示仪表测量所得到的微差 从而得到被测物理量 电气检测技术 41 例 设标准电压Un 25V 精度等级s 0 1级 已知微差 U 0 5V 用Um 1 0V 精度等级s 1 5级的电压表测量 求测量的相对误差 电气检测技术 42 6 替代法 将被测量以等值的标准量来替换 替代时 使测量仪器 测量电路 的工作状态不变 消除恒值系差 电气检测技术 43 2 6测量数据的处理 从原始的测量数据中经过加工 整理求出被测物理量的最佳估计值 并计算其精确度 电气检测技术 44 一 测量数据的舍入法则 测量技术中规定 小于5舍 大于5入 等于5采取偶数法则 测量数据需保留n位时 对第n 1位数据处理 1 若该位小于5 则舍去 若大于5 则第n位加1 2 若第n 1位等于5 则将第n位凑成偶数 也即当第n位为奇数时 则第n位加1 第n位为偶数时 第n位不变 电气检测技术 45 最大舍入误差 每个数据经舍入后 最后一位是欠准数字 其舍入误差不会大于末位单位的一半 这也是最大舍入误差 电气检测技术 46 二 有效数字的位数 在一个测量数据中 从第一个非零数 到最后一位为止都叫有效数字的位数 其中0是个特殊的值 位置的不同 意义也不同 例 0 27是两位有效数字 0 270是三位有效数字 电气检测技术 47 三 测量结果的处理步骤 1 用修正值等方法 减小恒值系差影响 2 求出测量数据的算术平均值 3 校验算术平均值的计算正确性 若有错 要重新计算 电气检测技术 48 4 确定粗大误差的随机不确定度 界限 5 判断粗差 剔除坏值 电气检测技术 49 6 剔除坏值后 剩下数据再求算术平均值 剩余误差 标准差和随机不确定度 重复2 5 直到没有坏值为止 然后继续往下计算 7 判断有无变值系统误差8 求出算术平均值9 给出测量结果 电气检测技术 50 说明 上述计算所用数据和计算所得各个值均是在无坏值情况下的计算结果 电气检测技术 51 2 7误差的合成与分配 间接测量时的误差计算涉及内容 误差的合成与误差的分配1 误差的合成已知被测量与各参数的函数关系及各测量值的分项误差 求被测物理量的总误差称为误差合成 电气检测技术 52 2 误差的分配已知总误差及其与各测量值之间的函数关系 将总误差合理地分配给各测量值称为误差分配 电气检测技术 53 一 误差传递公式 设被测量y与各测量值xi间具有如下函数关系 绝对误差传递公式 相对误差传递公式 电气检测技术 54 说明 绝对误差传递公式中 1 被测物理量总的误差是各分项误差与其传递系数的代数和 是线性化了的简单传递公式 2 式中忽略了高阶无穷小 故得到的绝对误差的值应是近似值 3 由于各个测量值的绝对误差都很小 故得到的绝对误差虽然为近似式 仍具有足够的精确度 被广泛使用 电气检测技术 55 二 常用函数的合成误差 1 和差函数2 积函数3 商函数4 幂函数 电气检测技术 56 1 积函数的合成误差 设积函数的方程为 积函数的合成相对误差 积函数的合成相对误差为各分项相对误差和 当分项误差如 有正负号时 遵从误差最大原则 取总误差为各分项误差绝对值之和 电气检测技术 57 2 商函数的合成误差 商函数方程为 合成相对误差 当各分项误差的方向未定时 合成误差为 电气检测技术 58 3 幂函数的合成误差 设幂函数方程为 其中k为常数 m n p为影响系数 合成相对误差为 电气检测技术 59 4 和差函数的合成误差 设和差函数方程为 合成相对误差 电气检测技术 60 和函数的情况 合成相对误差为 电气检测技术 61 差函数的情况 合成相对误差为 电气检测技术 62 说明 1 当各分项误差的方向 正负 未知时 其合成误差按误差最大的原则 取绝对值相加 2 对差函数 当测量值的大小比较接近时 从误差合成公式中可以看出 其合成误差较大 要避免采用差函数合成 电气检测技术 63 例 求电阻R1 R2并联后总电阻的总误差 电气检测技术 64 三 系统误差的合成 合成类型 系统误差确定的情况和未定的情况 1 确定系统误差的合成由误差传递公式直接进行合成 由于绝对误差是系统误差与随机误差之和 即 在随机误差为零的情况下 对各分项误差采用代数和法进行直接合成 即 相对误差为 电气检测技术 65 例 五个1000欧电阻串联 若各电阻系统误差分别为 求总电阻的绝对误差和相对误差 电气检测技术 66 2 不确定系统误差的合成 常用合成方法 绝对值和法 方和根合成法 1 绝对值和法对各分项误差取绝对值 然后求和 绝对系统不确定度 相对系统不确定度 一般情况下 取相对系统不确定度为 电气检测技术 67 例 用量程Um 3V 精度等级s 3 0级的晶体管毫伏表测量电压值Ux 1 5V 频率f 100KHz的电压 在频率20Hz 1MHz内的附加误差求相对系统误差 电气检测技术 68 说明 1 当各分项误差较少时 采用这种绝对值和法是比较保险的 因为在这种情况下 各分项误在相同方向相叠加的机会较大 2 当分项误差较多时 绝对值和法过于保守 因各分项误差由于符号相反而抵消一部分的可能性较大 3 各分项误差较多时 应采用其他方法进行误差合成 电气检测技术 69 2 方和根合成法 原理 先将各分项误差平方 再求平方后求和 最后取开方 绝对系统不确定度为 相对系统不确定度为 一般情况下 取相对系统不确定度为 电气检测技术 70 四 系统误差的分配 已知系统总的误差 把它合理地分配给各个环节 一般地说有无穷多个分配方案 所以往往是在假设某些条件下进行分配 常用的分配方法 1 按误差相同原则分配 2 按对总误差影响相同的原则分配 电气检测技术 71 1 按误差相同原则分配 特点 将总的误差分配给各组成环节 对每个环节 所分配到的误差相同 如下 由误差传递公式 可得 用相对误差表示时 各环节所分配到的相对误差为 电气检测技术 72 说明 上两式中的分子是待分配的总误差 把它平均地分配给各个环节 这样的分配方法不一定合理 可以再作适当调整 电气检测技术 73 例 某测量线路中的分压器有五