19.1.1 变量与函数——变量.doc

19.1.1 变量与函数（1） 教学设计一、内容和内容解析【教学内容】19.1.1变量与函数（1）是义务教育教科书新人教版八年级下册第十九章第一节第1课时，介绍变量与函数的概念，是典型的概念课，引导学生从生活实例中抽象出常量和变量概念，其中变量和常量的概念是本节课核心内容.【教材分析】函数是数学中最重要的基本概念之一，它刻画了现实世界中一类数量关系之间的“特殊对应关系”方程、不等式、函数是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量关系本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁就简，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系课本的引例较为丰富，但有些内容学生较为陌生，本设计只选取了其中较为简单的例子考虑到初中列函数的解析式是一个难点，其本质是用含x的式子表示y，本节课中涉及的列函数解析式不是新的教学内容，也不是本节课能解决的问题，因此把设计的重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯一确定的含义” 【学情分析】变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中.“变量与函数”较为抽象，学生初次接触变量的概念另一方面，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等生活实例在本节教学中，试图从学生较为熟悉的现实情景入手，引领学生认识变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律.二、目标和目标解析【知识目标】（1）基于生活经验，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题能指出具体问题中的常量、变量，了解变量与常量的意义； （2）借助简单实例，初步理解变量与函数的关系，知道存在一类变量可以用函数方式来刻画能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，体会运动变化过程中的数量变化，这两个变量是否具有函数关系【过程与方法目标】借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.【情感与态度目标】(1)从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.(2)借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣【目标解析】函数的概念具有高度的抽象性学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数学生的生活经验中已具备一些朴素的函数关系的实例学生初次接触两个变量之间的特殊对应关系，教师应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生在丰富的现实情境中感知变量和函数的存在和意义，认识常量与变量，理解具体实例中两个变量的特殊对应关系，初步理解函数的概念 【变量与函数概念的核心】两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯一对应关系.【教学重点】了解变量与常量的意义，充分体会运动变化过程中量的变化【教学难点】对不同事物变化过程的认识【教学关键】借助实例，明确由哪一个量的变化引起另一个量的变化，进而指出由哪一个变量确定另一个变量三、教学问题诊断分析【学生已有的知识结构】学生已学习了实数的加减、乘除、乘方与开方的运算，学习了列代数式及求代数式的值，会列一次方程(组)及解方程组，知道字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数学生的生活经验中具有一些朴素的函数实例，依托学生熟悉的生活实例，引导学生认识抽象的函数的概念符合学生的认知规律【学生学习的困难】学生对“唯一对应关系”的理解是一个难点，特别是没有实例背景的变量间的对应关系应借助学生熟悉的简单实例明确研究函数的目的，理解变量间的特殊对应关系，初步理解函数的概念函数关系的本质，是变量与变量之间的特殊对应关系（单值对应）如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，而x相对于y来说，比较容易研究，从而达到研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想四、教学方法与教学手段学生的学法应以自主探究与合作交流为主教法采用师生互动探究式教学,借助学生熟悉的生活实例，引领学生经历从具体实例中抽象出常量、变量与函数的过程，初步理解抽象的变量与常量概念五、教学过程引言：由图片我们一直生活在一个充满变化的世界里，在我们身边到处都存在着在一个变化过程中一直变化着的量，要想更好地了解这个客观世界，就离不开研究这些量，今天我们就来研究两个量的关系，怎样由一个量来确定另一个量。从数学角度 研究变化过程，关注其中数量的变化，用数量变化描述变化规律.板书课题：19.1.1 变量与函数（1）设计思路：从学生的生活入手，开门见山，在极短的时间(一两分钟)内指明本节课的学习内容，空格中将来填上变量的“变”字现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关注一类简单的问题【问题1】汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表:请说明你的道理 路程 = 速度时间试用含t 的式子表示 s S = 60t涉及的量有：速度、时间和路程，其中时间和路程发生了变化，速度始终不变；设计思路：学生先思考，随着老师的引导对应找出时间与路程这两个量之间的关系，一个量变了，另一个量也跟着变化，同时也能感受到这两个量之间的唯一对应关系，为下文变量及函数意义的表述作准备。【问题2】每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？引导总结：早场票房收入 = 10150 = 1500 （元）午场票房收入 = 10205 = 2050 （元）晚场票房收入 = 10310 = 3100 （元）请说明道理： 票房收入 = 售价售票张数若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元，怎样用含 x 的式子表示 y ？ y = 10x 设计思路：进一步体会生活中存在的两个变量关系，从每个不同的角度启发学生挖掘身边熟悉的素材，再一次从数学公式的角度理解两个变量之间存在的关系，一个量变了，另一个量也在跟着变化，深化学生头脑中两个变量的印象，为下面函数关系概念的出现做好铺垫工作。【问题3】在一根弹簧的下端挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。如果弹簧长原长为10cm，每1千克重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m（单位：kg）的式子表示受力后的弹簧长度 L(单位：cm)?分析：挂重1千克时弹簧长=10+0.51=10.5(cm) 挂重2千克时弹簧长=10+0.52=11(cm) 挂重3千克时弹簧长=10+0.53=11.5(cm) 挂重x千克时弹簧长=10+0.5x (cm) L=10+0.5x设计思路：从数量关系的角度启发学生还有大量的实例可以表示两个变量之间的关系，进一步感受一个量变了，另一个量也跟着变化。【问题4】1. 半径为10cm的圆的面积是多少? 2. .若圆的面积为s,半径r是多少?设计思路：到这个问题时，学生头脑中已经积攒了大量的三个变量的实例，对于一个量变了，另一个量也跟着变化有了很深的印象，再找一些数学关系的实例，加深理解，也为下节课引出的函数概念做好铺垫工作。【问题5】用10 m 长的绳子围成长方形，长方形的长为 3m时面积为多少？当长方形的长为3时，面积 =3（1023）2 = 6假设长方形的长为x m，则长方形的宽怎么表示？设长方形的边长为 x m，面积为S m2，怎样用含x的式子表示 s ？S=x(10-2x)2注意：常量与变量必须依存于一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，关键看它在这个变化过程中是否发生变化.设计思路：用熟悉的事例进一步巩固常量、变量的概念。并根据实际情况适当指出并不是所有的函数关系都能写出解析式。说一说上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？ 数值不断变化的量 变量数值固定不变的量 常量设计思路：对知识点进行梳理，引出概念，强化记忆。变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。请指出上面各个变化过程中的常量、变量。设计思路：对概念的进一步理解，使学生对新知很好的掌握，反复强化运用新知。探究：指出下列关系式中的变量与常量： （1）y = 5x 6 (3) y= 4X25x7 (4) S = R解：（1）5和-6是常量，x和y是变量。 （2）6是常量，x、y是变量。（3）4、5、-7是常量，x、y是变量。（4）是常量，s、r是变量。设计思路：采用小组合作探究的方式进行讨论，使课堂气氛活跃，利于生对新知的学习热情，在相互讨论中加深对新知的理解，生对新知能够更好准确的掌握到位。填空：1、计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价 a（元）的关系式为 n= 50/a 。其中的变量是 n、a ，常量是 50 。2、某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元，则总金额y（元）与学生数n（个）的关系式是 y=4n 。其中的变量是 y、n 。常量是 4 。3、如图1正方形的周长与边长为x的关系式为C= 4x 。变量是: c、x 常量是: 4 ;4、如图2正方体的棱长为a,表面积S= 6a2 ，体积V= a3 . 设计思路：多样化的练习，加深生对新知的准确理解。下列各关系式中有常量和变量吗？矩形的长a一定，面积s和宽b 的关系式为s = a b矩形的宽b一定，面积s和长a的关系式为s = a b常量与变量不是绝对的，而是相对于一个变化过程而言的。设计思路：上面几个问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过研究这些问题引出常量、变量概念，通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程，如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键这里提出的问题“上述几个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？”是一个关键的“脚手架”，通过“脚手架”引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识变量、常量并不是绝对的，而是相对而言的，进一步准确理解变量、常量的概念。小结1.本节课你有什么收获？（1）用一个变量表示另一个变量。（2）变量、常量的概念。2.你还有什么疑惑？设计思路：通过小结，让学生抓住理解常量，变量概念的实质课后作业：教科书第7172页练习设计思路：学生对新知得以巩固消化，利于下节课的学习新知。【拓展题】 指出下列问题中的变量和常量：（1）购买一些铅笔，单价为0.2元支，记某同学购买铅笔的数量为x支，应付的总价为y元；（2）用长为50 cm的铁丝围成一个等腰三角形，记这个等腰三角形的腰长为x cm,底边长为y cm；（3）如图，ABC中，ACB=90，AC=3cm,BC=4cm.现有一动点P从点B出发，沿射线BA方向以1cms的速度运动，到达点A随即停止运动.记点P的运动时间为x（s），ACP的面积为y（cm）. （4）出售某种文具盒，若每个获利 x元，一天可售出（6x）个，一天出售该种文具盒的总利润为y元设计思路：巩固变量与常量概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系。能准确写出简单的函数关系式，找到变量、常量。鼓励启发学生自己去发现，自己总结概括，培养学生自主思考、善于总结的学习能力。【板书设计】19.1.1 变量与函数（1）一个变量 另一个变量 练习答案变量 具体实例常量教学设计说明世界是运动变化的,函数就是研究运动变化的重要数学模型,它源自生活，又服务于生活。函数有着广泛的应用，初中阶段对函数的认识也是逐步加深的，因此，本节课的学习效果如何将直接影响学生的后续学习。本节课注重联系学生的生活实际，在探索实际问题中的数量关系和变化规律中，自主学习，构建常量和变量的概念、函数的定义。通过学生举例、研讨，体会“变化与对应”的思想，激发学习兴趣和学习主动性。新课程标准要求学生能认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实生活中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。因此本节课从创设学生能理解的生活情境开始，使学生从生活中理解变量和常量的概念，通过汽车行驶、票房收入、弹簧长度等问题，作为函数的实际背景，体会变量之间的相互依存关系和变化规律。遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则，引导学生探究新知，引导学生在观察、分析后归纳，然后提出注意问题，帮助学生把握概念的本质特征，并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析