14.2.2知识构建.docx

一、公式的推导思路一过渡语我们前面学习了乘方和多项式与多项式相乘的法则,能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢?我们知道a2 =aa,所以(a+b)2=(a+b)(a+b),这样就转化成多项式与多项式的乘积了.像研究平方差公式一样,我们探究一下(a-b)2的运算结果有什么规律.计算下列各式,你能发现什么规律?(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=;(2)(p-1)2=(p-1)(p-1)=;(3)(m+2)2=;(4)(m-2)2=.让学生做题,然后引导学生发现(1)结果中的2p=2p1,(1)与(2)比较结果中只有一次项有符号之差.请你观察一下式子的结构特点,并用语言叙述出来.完全平方公式的结构特征:左边是两个相同二项式相乘,即一个二项式的平方两个数和(或差)的平方;右边是一个三项式,其中两项是左边的二项式两项的平方和,第三项是左边两项的积的2倍.(首平方加尾平方,乘积二倍在中央)设计意图4道小题是对前边进行的运算的讨论,目的是让学生通过观察、归纳,鼓励他们发现这个公式的一些特点,如公式左右边的特征,便于进一步应用公式计算.【总结】两数和(或差)的平方等于这两数的平方和再加(或减)它们的积的2倍.符号叙述:(a+b)2 =a2 +2ab+b2(a-b)2 =a2 -2ab+b2.其实我们还可以从几何角度去解释完全平方公式.你能根据图(1)和图(2)中的面积说明完全平方公式吗?观察图形(1),可以看出大正方形的边长是a+b,得出(a+b)2 =a2+2ab+b2.这正好符合完全平方公式.观察图形(2),可以看出大正方形的边长是a,小正方形的边长是a-b,得出(a-b)2 =a2-2ab+b2.这正好符合完全平方公式.设计意图数学源于生活,又服务于生活,通过正方形的面积验证完全平方公式,可以进一步理解完全平方公式的结构特征.思路二计算(x+a)(x+b).让学生利用多项式乘多项式法则进行计算.解:(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab引导观察:1.在(x+a)(x+b)中,若a=b,那么上述式子将会成为怎样的式子?计算结果是什么?(学生回答:变为(x+a)(x+a),计算结果是x2+2ax+a2.由此教师指出可得另一个乘法公式,即(a+b)2=a2+2ab+b2,由此引入课题.)2.这个公式的左边和右边各有什么特点?(引导学生观察,说出公式左边和右边的特点,并能用语言叙述,教师再加以纠正、完善.)3.(a+b)2 =a2 +b2对吗?为什么?两数和的平方,结果应该是三项式.(强化学生对公式结构的理解,防止今后出现类似的错误.)4.你会用(a+b)2 =a2 +2ab+b2计算(a-b)2吗?引导学生将“-b”看作一个数,将(a-b)2化为a+(-b)2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2,并指出这也是一个乘法公式:(a-b)2=a2 -2ab+b2.5.你能用图形验证:(a+b)2 =a2 +2ab+b2,(a-b)2=a2 -2ab+b2吗?在左图中,大正方形的面积是(a+b)2,它由两个小正方形和两个相同的长方形组成,两个小正方形的面积分别是a2,b2,长方形的面积是ab.所以有等式(a+b)2 =a2 +2ab+b2.在右图中,大正方形的面积是a2,两个小正方形的面积分别是(a-b)2,b2,两个相等的长方形面积都是(a-b)b,于是有a2=(a-b)2+2(a-b)b+b2,即(a-b)2 =a2 -2(a-b)b-b2=a2 -2ab+b2.6.比较(a+b)2=a2+2ab+b2及(a-b)2 =a2 -2ab+b2这两个公式.它们有什么不同?有什么联系?(引导学生进一步总结公式的结构特点,公式的左边是两数和(或差)的平方,右边是一个三项式,其中两项是这两个数的平方,另一项是这两个数积的2倍.)(a+b)2 =a2 +2ab+b2.这就是说,两数和的平方,等于它们的平方和加上这两数积的2倍.知识拓展(1)运用完全平方公式的关键在于明确公式的特征:公式的左边是两数和(或差)的平方,公式的右边是一个三项式,是左边两数的平方和加上(或减去)左边两数积的2倍.(2)公式中字母的含义:公式中字母a和b可以是具体的数,也可以是整式(单项式或多项式).利用完全平方公式计算多项式的乘法,最容易漏写2ab项,实际运算中要特别注意.完全平方公式与平方差公式联合使用,要严格分清公式的各自特点,以防混淆. (3)逆用完全平方公式为:a2 +2ab+b2=(a+b)2 ,a2-2ab+b2=(a-b)2,把三项式写成了积的形式,这是后面要学习的因式分解.二、例题讲解过渡语当遇到两个数的和或差的平方时,我们就可以利用完全平方公式直接计算.运用完全平方公式计算.(1)(4m+n)2;(2)y-122.解:(1)(4m+n)2=(4m)2+2(4m)n+n2=16m2 +8mn+n2. (2)y-122=y2-2y12+122=y2-y+14.可由学生口答完成,教师多媒体展示结果,提高课堂效率.正确运用这一公式是关键,设计本环节,旨在通过将算式中的各项与公式里的a,b进行对照,进一步体会字母a,b的含义,加深对字母含义广泛性的理解运用完全平方公式计算.(1)1022;(2)992.解:(1)1022=(100+2)2=1002 +21002+22=10000+400+4=10404.(2)992=(100-1)2=1002 -21001+12=10000-200+1=9801.此处可先让学生独立思考,然后自主发言,口述解题思路,可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求,允许他们算法的多样化,但要求明白每种算法的局限性和优越性.运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式.体会符号运算对解决问题的作用,教学时可让学生自己独立解决此问题1.问题导入现有下图所示三种规格的卡片各若干张,请你根据二次三项式a2 +2ab+b2,选取相应种类和数量的卡片,尝试拼成一个正方形,并讨论该正方形的代数意义.由小组合作共同完成拼图游戏,比一比哪个小组快.(1)重视公式的几何背景,可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题;(2)此处由学生自主拼图得到公式,是因为前一节课学生已初次接触了这样的数与形结合解释公式的思想方法,利用这个拼图游戏,可进一步促使学生关注几何与代数的联系,增进学生的认知和对公式的记忆2.思考讨论(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?组织学生进行讨论,通过自主推导,互相合作交流共同解决难题.3.教师说明:运用乘法公式计算,有时要在式子中添括号,在第二章中,我们学过去括号法则,即a+(b+c)=a+b+c;a-(b+c)=a-b-c.反过来,就得到添括号法则:a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-(b+c).也就是说,添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.知识拓展(1)添括号法则与去括号法则是一致的,添括号正确与否,可用去括号进行检验.(2)添括号时,如果括号前面是负号,那么括到括号里的各项都改变符号,不能只改变部分项的符号.运用乘法公式计算.(1) (x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2.解:(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=x+(2y-3)x-(2y-3)=x2 -(2y-3)2=x2-(4y2 -12y+9)=x2-4y2+12y-9.(2)(a+b+c)2=(a+b)+c2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2 +2ab+b2 +2ac+2bc+c2=a2 +