三角变换的解题技巧.doc

三角变换解题技巧一、 变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径例已知同时满足asec2bcos=2a和bcos2asec=2b,且a、b均不为，求a、b的关系解：已知asec2bcos=2 a bcos2asec=2 b显然有：cos由cos2cos，得：acos2bcos=即有：acosb=0又 a 所以，cosb/a 将代入得：a（a/b）2b（b/a）a即a4b4a2b2 （a2b2）2即ab说明：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式二、 变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变它应用广泛，方式灵活，如可变为（）；可变为（）（）；可变为（）；可看作的倍角；(450)可看成(9002)的半角等等例求sin（750）cos（450）cos（150）的值解：设150，则原式sin（600）cos (+300 )cos(sincos600cossin600 )(coscos300sinsin300)cossincoscossincos说明：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一例已知sinsin（） (其中cosA)，试证明：tan（）证明：已知条件可变为：sin()sin ()所以有：sin () coscos () sinsin () sin ()（ cos）cos () sin tan（）说明：在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法，它往往是寻找解题突破的关键以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有的三角公式，将原式中的或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决这其中以“”的变换为最常见且最灵活的“”可以看作是sin2xcos2x,sec2xtan2x,csc2x cot2x，tanxcotx,secxcosx,tan450等，根据解题的需要，适时地将“”作某种变形，常能获得较理想得解题方法例化简：解：原式说明：“”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛三、 和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形这往往用到倍、半角公式例5 解三角方程：sin2xsin22xsin23x解： 原方程变形为：（cos2x）（cos4x）（cos6x）即：cos6x cos2xcos4xcos23x 2cos3x cosx得： cos3x sin2x sinx 解得：x或x（） 原方程的解集为x| x或x,说明：在本例中先降次后升幂，这种交错使用的方法在解三角方程中时有出现，其目的时为了提取公因式四、 添补法与代数恒等变换一样，在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂项会使某些问题很便利地得以解决将原式“配”上一个因子，同时除以这个式子也是添补法的一种特殊情形例求证：证明：左边 右边 原式成立说明：本例中采用“加一项再减去一项”，“乘一项再除以一项”的方法，其技巧性较强，目的都是为了便于分解因式进行约分化简五、 代数方法三角问题有时稍作置换，用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变形，从而将三角问题转换成代数问题来解，而且更加简捷这其中有设元转化、利用不等式等方法例锐角、满足条件，则下列结论中正确的是（）.+ .+ +略解：令sin,则有整理得：（ab）2即ab即：sin2cos2（，同为锐角）sincos，故应选说明：本例用设元转化法将三角问题转化为代数问题换元法这种数学思想应用十分广泛，往往能收到简捷解题的效果例已知：、，且，试证明：证明：由柯西不等式，有： 即有：由题设及柯西不等式取等号的条件，得：即 即说明：利用不等式等号成立的条件来证明三角函数式也是常见的一种策略此法的基本思想是：先根据基本不等式推得一个新不等式，且该不等式两边恰是已知等式两边，然后由基本不等式取等号的条件而使问题获得解决六、 数形结合有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观，此时若能以数思形，数形渗透，两者交融，则可开辟解题捷径利用单位圆，构造三角形，利用直线、曲线的方程等方法都是数形结合的思想例已知：，求的值解：点，均在单位圆上由已知条件知：的中点坐标为（1/6,1/8），即直线过定点如左下图所示xOC 据万能公式得：说明：本题用和差化积公式也不难求得，但在三角问题中利用单位圆是常见的研究方法数形结合方法在三角变换中应用类型颇多，篇幅所限，仅举一例，本文不赘从六、七两种方法可以看出，将代数、几何与三角有机联系起来，综合运用，在解三角变换题中，不仅构思精巧，过程简易，趣味横生，而且还沟通数学知识的纵横关系，也有利于多向探求，广泛渗透，提高和发展学生的创造性思维能力以上探讨了三角变换中的七种变换思想和解题方法，在实际解题中这些方法是交织在一起的，混合于同一问题中灵活使用掌握这些变换方法的前提是熟悉公式，善于公