第4讲+中值定理与不等式证明.doc

第五讲 中值定理及不等式证明题型一 闭区间上连续函数的命题【例1】设函数在上连续，且.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点，使 【详解】方法1：因为与在上连续，所以存在使得 ，满足又，故根据不等式的性质根据定积分的不等式性质有所以 由连续函数的介值定理知，存在，使即有 方法2：因为与在上连续，且，故与都存在，且记，于是即因此必存在使不然，则在内由连续函数的零点定理知要么恒为正，从而根据积分的基本性质得；要么恒为负，同理得，均与不符由此推知存在使，从而 【例2】设函数在上连续，且，试证明：在 内至少存在两个不同的点，使【证明】方法1：令，有由题设有.又由题设，用分部积分，有由积分中值定理知，存在使因为，所以推知存在使得. 再在区间与上对用罗尔定理，推知存在，使，即 方法2：由及积分中值定理知，存在，使. 若在区间内仅有一个零点，则在区间与内异号. 不妨设在内，在内. 于是由，有当时，；当时，仍有，得到：. 矛盾，此矛盾证明了在仅有1个零点的假设不正确，故在内至少有2个不同的零点.【例3】设在上连续，求证：，使证 只要证令由于，及则在上满足罗尔定理条件，故，使从而有 【例4】设在上连续，证明：使题型二 有关“使”的命题【例5】设函数在0,1上连续,(0,1)内可导,且,证明在(0,1)内存在一点,使.【解析】由定积分中值定理可知,对于,在区间上存在一点使得,即.由罗尔定理可知,在区间内存在一点,使得.【例6】假设函数在上连续,在内二阶可导,过点与的直线与曲线相交于点,其中.证明:在内至少存在一点,使.【解析】因为分别在和上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在,使得由于点在弦上,故有从而 这表明在区间上满足罗尔定理的条件,于是存在,使得.【例7】设函数，在上连续，在内二阶可导且存在相等的最大值，又，证明：存在使得【详解】欲证明存在使得，可构造函数，从而使用介值定理，微分中值定理等证明之.令，由题设存在相等的最大值，设，使得. 于是，若，则取有.若，则取有.若，则由连续函数介值定理知，存在使.不论以上哪种情况，总存在使.再，将在区间分别应用罗尔定理，得存在使得；再由罗尔定理知，存在使.即有.【例7补充】（95，1）假设函数和在上存在二阶倒数,并且,试证：(1) 在开区间内；(2) 在开区间内至少存在一点,使.【解析】(1)反证法.假设,使.则由罗尔定理,与使；从而由罗尔定理, ,.这与矛盾.(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？”这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证在存在零点.方法一：注意到 ,考察的原函数,令,在可导,.由罗尔定理,使.即有,亦即 .方法二：若不能像前面那样观察到的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：.(取).令,其余与方法一相同.【例8】设函数在上连续，在内存在二阶导数，且， (I) 证明：存在使 (II) 证明存在，使证明：(I) ，又在上连续由积分中值定理得，至少有一点，使得，存在使得。(II) ，即又在上连续，由介值定理知，至少存在一点使得在上连续，在上可导，且由罗尔中值定理知，有又在上连续，在上可导，且由罗尔中值定理知，有又在上二阶可导，且由罗尔中值定理，至少有一点，使得题型三 欲证结论为使或的命题【例9】设在上连续，在内可导, , 与同号。求证: 使证：只要证令则，由罗尔定理知，使，即原题得证【例10】（设在上连续，在内可导且，.求证：使使证：只要证 令则，由罗尔定理知， 使，即从而有原题得证【例11】 设在上连续，在内可导，且.求证：使证：令则，由罗尔定理知，使即 但 ，则故原题得证【例12】设在上连续，在内可导，试证1）存在，使 2）对任意实数，存在，使证1）令,由零点定理知，使即 2）令，由罗尔定理知 ，使，从而有 故 【例13】设在上二阶可导，且，.求证：1）使 2）使证1）由知，且存在，当时，从而有，取，则，同理由知，且存在，由于在上连续，且，由零点定理知，使2）令，由于，由罗尔定理知， ，使，且即 ，令，则由罗尔定理知，使 从而有即 【例14】设f (x)在区间0,1上连续,在(0,1)内可导,且满足证明：存在(0,1), 使得【详解】将要证的等式中的换成，移项，并命问题转化为证在区间内存在零点. 将看成一个微分方程，用分离变量法求解. 由两边积分得 利用及，得，即 ，命. 由及积分中值定理(如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使得)，知至少存在一点，使且，. 把代入，则那么在上连续，在内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得即 题型四、双介值问题【例14】设在上连续，在内可导，且同号，试证存在，使证 由拉格朗日中知定理知，使由柯希中值定理知，从而有【例15】设在上连续，在内可导，且，试证存在使 证 只要证明由拉格朗日中值定理得，使令，由拉格朗中值定理得，即 从而有 【例16】已知函数在0，1上连续，在(0,1)内可导，且. 证明：(I)存在 使得；(II)存在两个不同的点，使得【详解】(I) 令，则在0，1上连续，且, ,于是由闭区间连续函数的介值定理知，存在 使得，即.(II) 在和上对分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是 题型五 有关高阶导数中值的命题（泰勒公式）【例17】设在区间上具有二阶连续导数,(1) 写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;(2) 证明在上至少存在一点，使【详解】(1)麦克劳林公式其实就是泰勒公式中，把函数在零点展开.的拉格朗日余项一阶麦克劳林公式为：，其中位于和为端点的开区间内，.(2)方法1：将从到积分而 从而有 因在上连续，故有在上存在最大值，最小值(由闭区间上的连续函数必有最大值和最小值)，即易得 因此 同理 因此 .由连续函数介值定理知，存在，使，即.方法2 ：观察要证的式子，做变限函数：，易得，(变限积分求导)则有 将它展开成2阶带拉格朗日余项麦克劳林公式： 其中，由于在上连续，则由连续函数介值定理，存在，使(因为)于是有，存在，使把代入有：，即 即 【例18】设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且，证明：在开区间内至少存在一点，使.【详解】解法1：由麦克劳林公式得，其中介于与之间，分别令并结合已知条件得 两式相减，得由的连续性，知在区间上有最大值和最小值，设它们分别为和，则有再由连续函数的介值定理知，至少存在一点，使 解法2：构造函数，使得时有三个点，有两个点，从而使用罗尔定理证明必然存在.设具有三阶连续导数令 ，将代入得代入得 由罗尔定理可知，存在，使又因为，再由罗尔定理可知，存在，使得再由罗尔定理知，存在，使 即 .题型六、隐含问题【例19】设是区间上的任一非负连续函数.(1) 试证存在,使得在区间上以为高的矩形面积,等于在上以为曲边的梯形面积.(2) 又设在区间内可导,且,证明(1)中的是唯一的.【解析】(1)要证,使；令,要证,使.可以对的原函数使用罗尔定理：,又由在连续在连续,在连续,在可导.根据罗尔定理,使.(2) 由,知在内单调增,故(1)中的是唯一的.题型七 不等式证明【例20】设, 证明.【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.方法1：因为函数在上连续，且在内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，对函数在上应用拉格朗日中值定理，得下证：. 设，则，当时， ，即 所以单调减少，又因为，所以，即，得故 .方法2：利用单调性， 设，证在区间内严格单调增即可.，(，),当时， 故单调减少，从而当时，即当时，单调增加.因此当时，即，故 .方法3：设, 则，,时, ，得，在上单调减少, 从而当时, ，在上单调增加. 从而当时, .，即.【例21】设,证明.【解析】先将不等式做恒等变形:因为,故原不等式等价于或.证法一：令,则 .因为,所以,故.从而在时为严格的单调递增函数,故 .由此 ,即 .证法二：令,则 .当时,所以为严格的单调递减函数,故存在使成立.即.【例22】设，且，证明证法1 由知，由泰勒公式知 （）原式得证证法2 由证法1知，又，则单调增，由拉格朗中值定理知 （介于0与之间）由于单调增，则原题得证证法3 只要证，令，只要证明 ，由于显