最新命题题库大全高考数学试题解析 分项专题03 函数与导数 文.doc

20132013 最新命题题库大全最新命题题库大全 2008 20122008 2012 年高考数学试题解析年高考数学试题解析 分项专题分项专题 0303 函数与导数函数与导数 文文 2012 年高考试题年高考试题 一 选择题 1 2012 高考安徽文 3 4 2 log 9 3 log a b c 2 d 4 1 4 1 2 答案 d 解析 23 lg9lg42lg32lg2 log 9 log 44 lg2lg3lg2lg3 3 2012 高考山东文 3 函数的定义域为 2 1 4 ln 1 f xx x a b c d 2 0 0 2 1 0 0 2 2 2 1 2 答案 b 解析 方法一 特值法 当时 无意义 排除 a c 当时 2 x 1ln xxf0 x 不能充当分母 所以排除 d 选 b 01ln 10ln 0 f 方法二 要使函数有意义则有 即 即或 04 0 1ln 01 2 x x x 22 0 1 x x x 01 x 选 b 20 x 4 2012 高考山东文 10 函数的图象大致为 cos6 22 xx x y 5 2012 高考山东文 12 设函数 若的图象与 1 f x x 2 g xxbx yf x 的图象有且仅有两个不同的公共点 则下列判断正确的是 yg x 1122 a x yb xy a b 1212 0 0 xxyy 1212 0 0 xxyy c d 1212 0 0 xxyy 1212 0 0 xxyy 答案 b 解析 方法一 在同一坐标系中分别画出两个函数的图象 要想满足条件 则有如图 做出点 a 关于原点的对称点 c 则 c 点坐标为 由图象 11 yx 知即 故答案选 b 2121 yyxx 0 0 2121 yyxx 方法二 设 则方程与同解 故其有且仅有两个不 32 1f xxbx 0f x f xg x 同零点 由得或 这样 必须且只须或 因 12 x x 0f x 0 x 2 3 xb 0 0f 2 0 3 fb 为 故必有由此得 不妨设 则 所以 0 1f 2 0 3 fb 3 3 2 2 b 12 xx 3 2 2 2 3 xb 比较系数得 故 由此 23 1 2 f xxxx 3 1 41x 3 1 1 2 2 x 3 12 1 20 2 xx 知 故答案为 b 12 12 1212 11 0 xx yy xxx x 7 2012 高考全国文 11 已知 则lnx 5 log 2y 1 2 ze a b c d xyz zxy zyx yzx 答案 d 解析 所以1ln x 2 1 5log 1 2log 2 5 y e ez 1 2 1 1 1 2 1 e 选 d xzy 8 2012 高考全国文 2 函数的反函数为1 1 yxx a b 0 1 2 xxy 1 1 2 xxy c d 0 1 2 xxy 1 1 2 xxy 答案 b 解析 因为所以 由得 所以 1 x01 xy1 xy 2 1yx 1 2 yx 所以反函数为 选 a 0 1 2 xxy 9 2012 高考四川文 4 函数的图象可能是 0 1 x yaa aa 答案 解析 当时单调递增 故 a 不正确 因为恒不过1a 0 a 0 1 x yaa aa 点 所以 b 不正确 当时单调递减 故 c 正确 d 不正确 1 1 01a 01 a 10 2012 高考陕西文 2 下列函数中 既是奇函数又是增函数的为 a b c d 1yx 2 yx 1 y x yx x 11 2012 高考湖南文 9 设定义在 r 上的函数 f x 是最小正周期为 2 的偶函数 是 f x 的导函数 当时 0 f x 1 当 x 0 且 x 时 fx 0 x 2 则函数 y f x sinx 在 2 2 上的零点个数为 0 2 xfx a 2 b 4 c 5 d 8 答案 解析 由当 x 0 且 x 时 知 2 0 2 xfx 0 0 2 xfxf x 时 为减函数 0 2 xfxf x 时 为增函数 又时 0 f x 1 在 r 上的函数 f x 是最小正周期为 2 的偶函数 在同一坐标 0 x 系中作出和草图像如下 由图知 y f x sinx 在 2 2 上的零点个sinyx yf x 数为 4 个 x y o 2 2 1 1 sinyx yf x 点评 本题考查函数的周期性 奇偶性 图像及两个图像的交点问题 12 2012 高考湖北文 3 函数 f x xcos2x 在区间 0 2 上的零点个数为 a 2 b 3 c 4 d 5 13 2012 高考江西文 3 设函数 则 2 11 2 1 xx f x x x 3 ff 答案 d 解析 所以 选 d 3 2 3 f 9 13 1 9 4 1 3 2 3 2 3 2 fff 14 2012 高考江西文 10 如右图 oa 2 单位 m ob 1 单位 m oa 与 ob 的夹角为 以 a 为圆心 ab 为半径作圆弧abdc与线段 oa 延长线交与点 c 甲 乙两质点同时从 6 点 o 出发 甲先以速度 1 单位 ms 沿线段 ob 行至点 b 再以速度 3 单位 ms 沿圆 弧行至点 c 后停止 乙以速率 2 单位 m s 沿线段 oa 行至 a 点后停止 设 t 时 a bdc 刻甲 乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 s t s 0 0 则函 数 y s t 的图像大致是 答案 a 解析 当时 甲经过的路程为乙经过的路程为所以三角形的20 t toe 2tof 面积为 为抛物线 排除 b d 当 10 2 1 3 cos 2 2 1 2 ttttts 1 t 时 甲到 b 乙到达 a 此时 即圆的半径为3 ab 由图象可知 当时 面积越来越大 当甲到 c 处 乙到 a 处时 甲3 ab21 t 乙停止 此时面积将不在变化 为常数 排除 c 选 a 15 2012 高考湖北文 6 已知定义在区间 0 2 上的函数 y f x 的图像如图所示 则 y f 2 x 的图像为 6 答案 b 解析解析 特殊值法 当时 故可排除 d2x 22200yf xff 项 当时 故可排除 a c 项 所以由排1x 22 111yf xff 除法知选 b 点评 本题考查函数的图象的识别 有些函数图象题 从完整的性质并不好去判断 作为 徐总你则提 可以利用特殊值法 特殊点 特性法 奇偶性 单调性 最值 结合排除法 求解 既可以节约考试时间 又事半功倍 来年需注意含有的指数型函数或含有的对 x eln x 数型函数的图象的识别 18 2102 高考北京文 5 函数的零点个数为 x xxf 2 1 2 1 a 0 b 1 c 2 d 3 答案 b 解析 的零点 即令 根据此题可得 在平面直 x xxf 2 1 2 1 0 xf x x 2 1 2 1 角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图象 可得交点只有一个 所以零点只 2 1 x x 2 1 有一个 故选 b 19 2012 高考天津文科 4 已知 a 21 2 b 0 2 c 2log52 则 a b c 的大小关系为 1 2 a c b a b c a b c b a c d b c a 答案 a 解析 因为 所以 122 02 0 22 2 1 bab 1 所以 选 a 14log2log2log2 5 2 55 cabc 20 2012 高考天津文科 6 下列函数中 既是偶函数 又在区间 1 2 内是增函数的为 a y cos2x xr b y log2 x xr 且 x 0 c y xr d y x3 1 xr 2 xx ee 答案 b 解析 函数为偶函数 且当时 函数为增函数 xy 2 log 0 xxxy 22 loglog 所以在上也为增函数 选 b 2 1 1 2012 高考重庆文 8 设函数在上可导 其导函数 且函数在 f xr fx f x 处取得极小值 则函数的图象可能是2x yxfx 答案 c 解析 由函数在处取得极小值可知 则 f x2x 2x 0fx 0 xfx 则时 时 选 c 2x 0fx 20 x 0 xfx 0 x 0 xfx 2 2012 高考浙江文 10 设 a 0 b 0 e 是自然对数的底数 a 若 ea 2a eb 3b 则 a b b 若 ea 2a eb 3b 则 a b c 若 ea 2a eb 3b 则 a b d 若 ea 2a eb 3b 则 a b 答案 a 解析 若 必有 构造函数 则23 ab eaeb 22 ab eaeb 2 x fxex 恒成立 故有函数在 x 0 上单调递增 即 a b 成立 其 20 x fxe 2 x fxex 余选项用同样方法排除 3 2012 高考陕西文 9 设函数 f x lnx 则 2 x a x 为 f x 的极大值点 b x 为 f x 的极小值点 1 2 1 2 c x 2 为 f x 的极大值点 d x 2 为 f x 的极小值点 9 答案 d 解析 令 则 当时 xx xfx x xf 12 ln 2 2 0 xf2 x20 x 当时 所以为极小值点 故选 d 0 xf2 x0 xf2 x xf 4 2012 高考辽宁文 8 函数 y x2 x 的单调递减区间为 1 2 a 1 1 b 0 1 c 1 d 0 答案答案 b 解析解析 故 2 11 ln 00 0 2 yxxyxyxxx x 由 解得 1 1 又 1 选选 b b 点评点评 本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间 属于中档题 6 2012 高考辽宁文 12 已知 p q 为抛物线 x2 2y 上两点 点 p q 的横坐标分别为 4 2 过 p q 分别作抛物线的切线 两切线交于点 a 则点 a 的纵坐标为 a 1 b 3 c 4 d 8 答案答案 c 解析解析 因为点p q的横坐标分别为 4 2 代人抛物线方程得p q的纵坐标分别为 8 2 由所以过点p q的抛物线的切线的斜率分别为 22 1 2 2 xyyxyx 则 4 2 所以过点p q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解 48 22 yxyx 得故点a的纵坐标为41 4 xy 点评点评 本题主要考查利用导数求切线方程的方法 直线的方程 两条直线的交点的求法 属于中档题 曲线在切点处的导数即为切线的斜率 从而把点的坐标与直线的斜率联系到 一起 这是写出切线方程的关键 二 填空题 7 2012 高考新课标文 13 曲线 y x 3lnx 1 在点处的切线方程为 1 1 答案 34 xy 解析 函数的导数为 所以在的切线斜率为4ln3 3 1ln3 x x xxxf 1 1 所以切线方程为 即 4 k 1 41 xy34 xy 21 2012 高考安徽文 13 若函数的单调递增区间是 则 2 f xxa 3 a 答案 6 解析 由对称性 36 2 a a 22 2012 高考新课标文 16 设函数 f x 的最大值为 m 最小值为 m 则 x 1 2 sinx x2 1 m m 答案 2 解析 令 1 sin2 1 1 sin21 1 sin 1 22 2 2 2 x xx x xxx x xx xf 则为奇函数 对于一个奇函数来说 其最大值与最小值之和为 1 sin2 2 x xx xg xg 0 即 而 所以0 minmax xgxg maxmax 1 xgxf minmin 1 xgxf 2 minmax xfxf 23 2012 高考陕西文 11 设函数发 f x 则 f f 4 答案 4 解析 016 2 1 4 04 4 f 416 16 4 fff 24 2012 高考山东文 15 若函数在 1 2 上的最大值为 4 最 0 1 x f xaaa 小值为 m 且函数在上是增函数 则 a 14 g xmx 0 答案 1 4 解析 当时 有 此时 此时为减函数 不1a 21 4 aam 1 2 2 am g xx 合题意 若 则 故 检验知符合题意 01a 12 4 aam 11 416 am 26 2012 高考四川文 13 函数的定义域是 用区间表示 1 1 2 f x x 答案 2 1 解析 根据题意知 所以定义域为 021 x 2 1 x 2 1 27 2012 高考浙江文 16 设函数f x 是定义在r上的周期为2的偶函数 当 x 0 1 时 f x x 1 则 3 f 2 中中 答案 3 2 解析 331113 2 1 222222 ffff 28 2012 高考上海文 6 方程的解是 1 4230 xx 答案 3log2 解析 原方程可化为 解得 或 舍去 0322 2 2 xx 32 x 12 x 3log2 x 29 2012 高考上海文 9 已知是奇函数 若且 则 yf x 2g xf x 1 1g 1 g 答案 3 解析 由 得 所以 12 1 1 fg1 1 f32 1 2 1 1 ffg 32 2102 高考北京文 14 已知 若 3 2 mxmxmxf22 x xg 或 则 m 的取值范围是 rx 0 xf0 xg 答案 0 4 解析 首先看没有参数 从入手 显然时 22 x xg22 x xg1 x 时 而对 或成立即可 故只要0 xg1 x0 xgrx 0 xf0 xg 恒成立即可 当时 不符合 式 舍1 xrx 0 xf0 m0 xf 去 当时 由 0 得 并不对0 m 3 2 mxmxmxfmxm23 成立 舍去 当时 由0 g x x3 bx 若曲线 y f x 与曲线 y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 求 a b 的值 当 a 3 b 9 时 若函数 f x g x 在区间 k 2 上的最大值为 28 求 k 的取值范围 答案 10 2012 高考江苏 18 1616 分 分 若函数在处取得极大值或极小值 则称 xfy 0 xx 为函数的极值点 0 x xfy 已知是实数 1 和是函数的两个极值点 ab 1 32 f xxaxbx 1 求和的值 ab 2 设函数的导函数 求的极值点 g x 2g xf x g x 3 设 其中 求函数的零点个数 h xf f xc 22 c yh x 当时 于是是单调增函数 从而 2x 中 0f x f x 2 2f x f 此时在无实根 f xd 2 中 当时 于是是单调增函数 1 2x 中 0f x f x 又 的图象不间断 1 0fd y f xd 在 1 2 内有唯一实根 f xd 同理 在 一 2 一 i 内有唯一实根 f xd 当时 于是是单调减两数 1 1x 中 0f x 1 0fd y f xd 在 一 1 1 内有唯一实根 f xd 因此 当时 有两个不同的根满足 2d f xd 12 xx 12 1 2xx 当 时2d 解析解析 1 求出的导数 根据 1 和是函数的两个极值点代入列方 xfy 1 xfy 程组求解即可 2 由 1 得 求出 令 求解讨论即可 3 3f xxx g x 0g x 3 比较复杂 先分和讨论关于 的方程 根的情况 再考 2d2d 0 aaxx a xxf 23 2 1 3 1 i 求函数的单调区间 xf ii 若函数在区间 2 0 内恰有两个零点 求 a 的取值范围 xf iii 当 a 1 时 设函数在区间上的最大值为 m t 最小值为 m t 记 xf 3 tt g t m t m t 求函数 g t 在区间上的最小值 1 3 答案 12 2012 高考广东文 21 本小题满分 14 分 设 集合 01a 0 axx r 2 23 1 60 bxxa xa r dab 1 求集合 用区间表示 d 2 求函数在内的极值点 32 23 1 6f xxa xax d 答案 解析 1 令 2 23 1 6g xxa xa 22 9 1 4893093 31 3 aaaaaa 当时 1 0 3 a 0 方程的两个根分别为 0g x 2 1 339309 4 aaa x 2 2 66 1 66 1 fxxa xaxa x 令 得或 0fx xa 1x 当时 由 1 知 1 0 3 a d 12 0 xx 因为 2 23 1 6 3 0g aaa aaaa 1 23 1 6310gaaa 所以 12 01axx 所以随的变化情况如下表 fxf x x x 0 aa 1 a x 2 x fx 0 f x 极大值 所以的极大值点为 没有极小值点 f xxa 当时 由 1 知 1 1 3 a d 0 所以随的变化情况如下表 fxf x x x 0 aa 1 a 1 1 fx 0 0 f x 极大值 极小值 所以的极大值点为 极小值点为 f xxa 1x 综上所述 当时 有一个极大值点 没有极小值点 1 0 3 a f xxa 当时 有一个极大值点 一个极小值点 1 1 3 a f xxa 1x 13 2102 高考福建文 22 本小题满分 14 分 已知函数 3 sin 2 f xaxxar 且在 0 2 上的最大值为 3 2 1 求函数 f x 的解析式 2 判断函数 f x 在 0 内的零点个数 并加以证明 答案 14 2012 高考四川文 22 本小题满分 14 分 已知为正实数 为自然数 抛物线与轴正半轴相交于点 设an 2 2 n a yx xa 为该抛物线在点处的切线在轴上的截距 f nay 用和表示an f n 求对所有都有成立的的最小值 n 1 11 f nn f nn a 当时 比较与01a 111 1 2 2 4 2 fffff nfn 的大小 并说明理由 1 1 6 0 1 ff n ff a 命题立意 本题主要考查导数的应用 不等式 数列等基础知识 考查基本运算能力 逻 辑推理能力 分析问题与解决问题的能力和创新意识 考查函数与方程 数形结合 分类 讨论 化归与转化由特殊到一般等数学思想 答案 解析 15 2012 高考湖南文 22 本小题满分 13 分 已知函数 f x ex ax 其中 a 0 中国 教育出版令 得 此时原函数是减函数 结合余弦函数图象 可得 1 2cos0 2 yx 1 cos 4 x 选 c 正确 7 2011 2011 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 4 4 函数函数的定义域是的定义域是 1 lg 1 1 f xx x a b c d 1 1 1 1 1 答案答案 c 解析解析 由题得由题得 所以选所以选 c 函数的定义域为 且 11 1 11 01 01 xx x x 8 2011 2011 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 10 10 设设是是 r 上的任意实值函数 如下定义两个上的任意实值函数 如下定义两个 xhxgxf 函数函数和和 对任意 对任意 xgf xgf rx xgfxgf 则下列等式恒成立的是 则下列等式恒成立的是 xgxfxgf a xhghfxhgf b xhghfxhgf c xhghfxhgf d xhghfxhgf 10 20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 4 4 曲线在点 a 0 1 处的切线斜率为 x ye a 1 b 2 c d e 1 e 答案 a 解析 1 0 0 exey x 11 20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 8 8 已知函数 f x 若 f a f 1 0 则实数 a 20 1 0 xx xx 的值等于 a 3 b 1 c 1 d 3 答案 a 解析 由题意知因为 所以 当时 1 2 f 1 0f af 20f a 0a 无解 当时 所以 解得 2 220 aa f a 0a 1f aa 120a 3a 12 20112011 年高考海南卷文科年高考海南卷文科 12 12 已知函数的周期为的周期为 2 2 当当时时 yf x 1 1 x 那么函数那么函数的图象与函数的图象与函数的图象的交点共有的图象的交点共有 2 f xx yf x lg yx a 10a 10 个个 b 9b 9 个个 c 8c 8 个个 d 1d 1 个个 答案 a 解析 画出图象 不难得出选项 a 正确 13 20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 10 10 设函数 若为函 2 f xaxbxc a b cr 1x 数的一个极值点 则下列图象不可能为的图象是 x f x e yf x 答案 d 解析 令则 2fxaxb x g xf x e xx g xfx ef x e x fxf x e 因为为函数的 22 2 2 xx axbaxbxc eaxab xbc e 1x g x 一个极值点 所以是的一个根 即1x 2 2 0axab xbc 2 2 1 0 2 4 0 aabbc aba bc a 15 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 4 4 函数 1 1 2 x y 的图像关于直线 y x 对称的图像大致是 答案 a 解析 由 得 故函数的反函数为 1 1 2 x y 1 2 log1xy 1 1 2 x y 其对应的函数图象为 a 1 2 log1yx 16 20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 7 7 曲线 sin1 sincos2 x y xx 在点 0 4 m 处的切线的斜率 为 a 1 2 b 1 2 c 2 2 d 2 2 18 20112011 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 4 4 函数的图像是 1 3 yx 答案 b 解析 过和 由过可知在直线下方 故选 b 1 3 yx 1 1 8 2 8 2 yx 19 20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 2 函数的反函数为2 0 yx x a b 2 4 x yxr 2 0 4 x yx c d 2 4yx xr 2 4 0 yxx 22 20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 3 3 若定义在 r 上的偶函数和奇函数满足 f x g x 则 x f xg xe g x a b c d xx ee 1 2 xx ee 1 2 xx ee 1 2 xx ee 答案 d 解析 因为 则 即 故由 x f xg xe x fxgxe x fxgxe 可得 所以选 d 1 2 xx g xee 23 20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 11 11 函数 f x 的定义域为 r f 1 2 对任意 xr 则的解集为 2fx 24f xx a 1 1 b 1 c l d 26 20112011 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 6 6 设的大小关 113 33 124 log log log 233 abca b c 则 系是 a b c d abc cba bac bca 答案 b 二 填空题二 填空题 25 20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 16 16 已知函数 当fx log 0a1 a xxb a 且 2 a 3 b 4 时 函数的零点 fx 0 1 n xn nnn 则 答案 2 解析 方程 0 的根为 即函数的log 0a1 a xxb a 且 0 xlog 23 a yxa 图象与函数的交点横坐标为 且 结合图象 因 34 yxbb 0 x 0 1 xn nnn 为当时 此时对应直线上的点的横坐标 当 23 xaa 1y 1y 1 4 5 xb 时 对数函数的图象上点的横坐标 直线2y log 23 a yxa 4 9 x 的图象上点的横坐标 故所求的 34 yxbb 5 6 x 5n 28 2011 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 8 8 在平面直角坐标系中 过坐标原点的一条直线与函数xoy 的图象交于 p q 两点 则线段 pq 长的最小值是 x xf 2 答案 4 解析 考察函数与方程 两点间距离公式以及基本不等式 中档题 设坐标原点的直线 方程为 则由解得交点坐标为 即 0 ykx k 2 ykx y x 2 2 k k k 2 2 k k k 为 p q 两点 所以线段 pq 长为 当且仅当时等号成 22 222 224kk kk 1k 立 故线段 pq 长的最小值是 4 29 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 13 13 函数的定义域是 2 1 6 y xx 答案 3 2 命题意图 本题考查函数的定义域 考查一元二次不等式的解法 解析 由可得 即 所以 2 60 xx 2 60 xx 320 xx 32x 30 2011 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 11 11 已知实数 函数 若0 a 1 2 1 2 xax xax xf 则 a 的值为 1 1 afaf 答案 1 2 又 所以 所以 由题意知 cax ba ca ba x 2 ca caca ac xx 所以0ca 整理得 所以或 舍去 11 1 1 xx 2 10 xx 51 2 x 51 2 x 33 20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 12 12 已知 f x为奇函数 9 2 3 2 g xf xgf 则 答案 6 解析 2 2 93 2 6gff 则 又 f x为奇函数 所以 2 2 6ff 34 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 16 16 函数 f x的定义域为 a 若 12 x x a 且 12 f xf x 时总有 12 xx 则称 f x为单函数 例如 21f xxxr 是单函 数 下列命题 函数 xr 是单函数 2 f xx 函数 2 x f xxr 是单函数 若 f x为单函数 12 x xa 且 12 xx 则 12 f xf x 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 36 20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 15 15 里氏震级 m 的计算公式为 m lga lga0 其中 a 是测震 仪记录的地震曲线的最大振幅 a0是相应的标准地震的振幅 假设在一次地震中 测震仪 记录的最大振幅是 1000 此时标准地震的振幅为 0 001 则此次地震的震级为 级 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 倍 答案 6 10000 解析 由 0 111 10001 0 0016 mgagagg 当为 9 级地震时 则有 900 1191gamgaga 当为 5 级地震时 则有 故 500 1151gamgaga 0 9 1 9 10 ga a 0 5 1 5 10 ga a 则 9 4 5 1010000 a a 37 2011 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 12 12 在平面直角坐标系中 已知点 p 是函数xoy 的图象上的动点 该图象在 p 处的切线 交 y 轴于点 m 过点 p 作 的垂 0 xexf x ll 线交 y 轴于点 n 设线段 mn 的中点的纵坐标为 t 则 t 的最大值是 7 20112011 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 7 7 若函数 1 2 f xx n 2 n 在处取最小值 则xa a a 12 b 13 c 3 d 4 答案 c 39 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 11 11 设是定义在 r 上的奇函数 当 x 0 时 f x f x 则 2 2xx 1 f 答案 3 命题意图 本题考查函数的奇偶性 考查函数值的求法 属中等难度题 解析 2 1 1 2 1 1 3ff 三 解答题三 解答题 40 20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 20 20 本小题满分 13 分 设 nxmxxxf 23 3 1 1 如果在处取得最小值 求的解析式 32 xxfxg2 x5 xf 2 如果 的单调递减区间的长度是正整数 试求和 nnmnm 10 xfm n 的值 注 区间的长度为 ba ab 41 20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 22 22 本小题满分 14 分 已知 a b 为常数 且 a 0 函数 e 2 71828 是 ln 2f xaxbaxx f e 自然对数的底数 i 求实数 b 的值 ii 求函数 f x 的单调区间 iii 当 a 1 时 是否同时存在实数 m 和 m m m 使得对每一个 t m m 直线 y t 与曲线都有公共点 若存在 求出最小的实数 m 和最大的实数 m 若 1 y f x x e e 不存在 说明理由 解析 1 由得 2f e 2b 2 由 1 可得从而 因为 a 0 故有 2ln f xaxax lnfxax 当时 由得 由得 0a 0fx 1x 0fx 01x 当时 由得 由得 0a 0fx 01x 0fx 1x 综上所述 当时 函数的单调递增区间为 单调递减区间为 0 1 0a f x 1 当时 函数的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 0a f x 1 3 当时 1a 2ln f xxx lnfxx 由 2 可得 当在区间内变化时 的变化情况如下表 x 1 e e fx f x x1 e 1 1 e 1 1 e e fx 0 f x 2 2 e 单调递减极小值 1单调递增2 又 或时 当时 不等式成立 1n 211 1111 326 fhh 假设时 不等式成立 nk k 1 11 6 f k h khhh k 当时 1nk 11111f kh khhh kh k 21 11121 32 kkkk 21 112 36 kkk 2 21 112 36 kkk 2 2111 12 32366 kkk 所以 当时 不等式成立 1nk 综上 对一切 不等式都成立 n 43 20112011 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 19 19 本小题满分 12 分 如图 从点做 x 轴的垂线交曲线于点曲线 1 0 0 p x ye 1 0 1 q 在点处的切线与 x 轴交于点 再从做 x 轴的垂线交曲线 1 q 2 p 2 p 于点 依次重复上述过程得到一系列点 2 q 记点的坐标为 1122 nn pq pqp q k p 0 1 2 k xkn 试求与的关系 1 x 1k x 2 kn 求 112233 nn pqpqpqpq 44 20112011 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 21 21 本小题满分 14 分 设 求的单调区间和最小值 讨论 ln f xx g xf xfx g x 与的大小关系 求的取值范围 使得 对任意 0 成 g x 1 g x a g ag x 1 a x 立 45 20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 19 19 本小题满分 12 分 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的 车流速度 v 单位 千米 小时 是车流密度 单位 辆 千米 的函数 当桥上的x 车流密度达到 200 辆 千米时 造成堵塞 此时车速度为 0 当车流密度不超过 20 辆 千米时 车流速度为 60 千米 小时 研究表明 当时 车流速度 v 是车20200 x 流密度的一次函数 x 当时 求函数的表达式 0200 x v x 当车流密度为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 x 辆 小时 可以达到最大 并求出最大值 精确到 1 辆 小时 f xx v x a 本小题主要考查函数 最值等基础知识 同时考查运用数学知识解决实际问题的能 力 解析 1 由题意 当时 当时 设020 x 60v x 20200 x v xaxb 再由已知得解得 2000 2060 ab ab 1 3 200 3 a b 故函数 v x 的表达式为 60 020 1 200 20200 3 x v x xx 2 依题意并由 1 可得 60 020 1 200 20200 3 xx f x xxx 当时 为增函数 故当 x 20 时 其最大值为 60 20 1200 020 x f x 当时 20200 x 2 11 200 10000 200 3323 xx f xxx 当且仅当 即时 等号成立 200 xx 100 x 所以 当时 在区间 20 200 上取得最大值 100 x f x 10000 3 综上 当时 在区间 0 200 上取得最大值 100 x f x 10000 3333 3 即当车流密度为 100 辆 千米时 车流量可以达到最大 最大值约为 3333 辆 小时 46 20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 20 20 本小题满分 13 分 设函数 其中为常数 已知曲线 322 2 32f xxaxbxa g xxx xr a b 与在点 2 0 处有相同的切线 yf x yg x l 求的值 并写出切线 的方程 l 若方程有三个互不相同的实数根 其中 且对任 1 f xg xm x 12 0 x x 12 xx 意的 恒成立 求实数 m 的取值范围 12 xx x 2 由 1 得 所以 22 452f xxxx 32 32 f xg xxxx 依题意 方程有三个互不相同的实根 0 x1 x2 2 32 0 x xxm 故 x1 x2是方程的两相异的实根 2 320 xxm 所以 9 4 2 m 0 即 1 4 m 又对任意的成立 12 1 xx xf xg xm x 特别地 取时 成立 得 m0 12 xx x 2 0 xx 1 0 xx 则又 12 0 f xg xmxx xxxx 111 0 f xg xmx 所以函数在的最大值为 0 f xg xmx 12 xx x 于是当 m0函 122 222 1 222 1 0 1 31 1 1 31 1 0 0 2 1 2 1 1 31 1 1 31 1 12341 2 1 2 1 2 1 34112 222 1 0 aaaaaa xxx aaaa aaaaaaaaaa x aaaaaa aaaaaaa ax 数在 单调递增 当a 1时 a 1 12 02 1 0 1 31 1 1 31 1 0 2 1 2 1 1 31 1 1 31 1 1 0 0 0 32 1 2 1 1 31 1 1 31 2 1 aa aaaaaa aaaa aaaaaa axx aaaa aaaaaa aa 此时函数在 单调递减 在 单调递增 当01时 函数在 单调递减 在 单调递增 当0 时 函数在 单调递增 在 1 1 31 1 2 1 2 1 aaaa aaaa 单调递减 48 20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 22 22 本小题 13 分 设函数 1 ln f xxax ar x i 讨论 f x的单调性 ii 若 f x有两个极值点 12 xx和 记过点 1122 a xf xb xf x的直线的斜率为k 问 是否存在a 使得2 ka 若存在 求出a的值 若不存在 请说明理由 ii 由 i 知 2a 因为 12 121212 12 lnln xx f xf xxxaxx x x 所以 1212 121212 lnln1 1 f xf xxx ka xxx xxx a 又由 i 知 12 1x x 于是 12 12 lnln 2 xx ka xx a 若存在a 使得2 ka 则 12 12 lnln 1 xx xx 即 1212 lnlnxxxx 亦即 222 2 1 2ln0 1 xxx x 再由 i 知 函数 1 2lnh ttt t 在 0 上单调递增 而 2 1x 所以 22 2 11 2ln12ln10 1 xx x 这与 式矛盾 故不存在a 使得2 ka 49 20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 21 21 本小题满分 12 分 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度 单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的体积为 立方米 且 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方 80 3 2lr 米建造费用为 3 千元 半球形部分每平方米建造费用为 设该容器的建造费用为 3 c c 千元 y 写出关于的函数表达式 并求该函数的定义域 yr 求该容器的建造费用最小时的 r 解析 因为容器的体积为立方米 所以 解得 80 3 3 2 4 3 r r l 80 3 所以圆柱的侧面积为 两端两个半球的 2 804 33 r l r 2 rl 2 804 2 33 r r r 2 1608 33 r r 表面积之和为 所以 定义域为 0 2 4 r y 2 160 8 r r 2 4 cr 2 l 50 20112011 年高考全国新课标卷文科年高考全国新课标卷文科 21 21 本小题满分 12 分 已知函数 曲线在点处的切线方程为 x b x xa xf 1 ln xfy 1 1 f032 yx 1 求的值ba 2 证明 当时 1 0 xx x x xf 1 ln 分析 1 利用导数的几何意义列式求待定系数的值 2 构造新函数求其导数 利利 用单调性和极值证明 解 由题意知 即 22 1 ln 1 x b x x x x a xf 2 1 1 1 1 f f 2 1 2 1 b a b 1 ba 由 知 所以 xx x xf 1 1 ln 1 ln2 1 1 1 ln 2 2 x x x xx x xf 设则 0 1 ln2 2 x x x xxh 2 2 1 x x xh 当时 而1 x0 x h0 1 h 故 当得 0 1 0 1 0 xhxxhx时当时0 1 1 2 xh x 从而 当时 即0 x 0 1 ln x x xf 1 ln x x xf 点评 这道题考查导数的概念 几何意义 导数的应用 证明不等式 考查分析问题解答 问题的能力 其中构造函数利用导数证明不等式是解答导数应用问题的常用策略之一 51 20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 21 21 本题满分 15 分 设函数 求单调区间 求所有实数 使 22 ln 0 f xaxxax a f xa 对恒成立 2 1 ef xe 1 xe 注 为自然对数的底数e 52 20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 21 21 已知函数 32 3 36 124f xxaxa xaar 证明 曲线 0yf xx 在的切线过点 2 2 若求 a 的取值范围 00 f xxxx 在处取得最小值 1 3 解析 故 32 3 36 124f xxaxa xa 2 3636fxxaxa x 0 处切线斜率 又36ka 0 124 124 36 fayaa x 切线方程为 即 当 36 1240a xya 2 2xy 时 36 22 1246 122 1240aaaa 故曲线 0 2 2 yf xx 在处的切线过点 53 53 2011 2011 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 19 19 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知函数已知函数其中其中 322 4361 f xxtxt xtxr tr 当 当时时 求曲线求曲线在点在点处的切线方程处的切线方程 1t yf x 0 0 f 当当时时 求求的单调区间的单调区间 0t f x 证明证明 对任意对任意 在区间在区间 0 1 0 1 内均在零点内均在零点 0 t f x 解析解析 当时 1t 32 436 0 0 f xxxx f 2 1266 0 6fxxxf 所以曲线在点处的切线方程为 yf x 0 0 f6yx 令 解得或 因为 以下分两种情况以下分两种情况 22 1266 fxxtxt 0fx xt 2 t 0t 讨论讨论 1 1 若若 则则 当变化时 的变化情况如下表 0t 2 t t x fx f x x 2 t 2 t t t fx f x 所以的单调递增区间是 的单调递减区间是 f x 2 t t f x 2 t t 2 若 则则 当变化时 的变化情况如下表 0t 2 t t x fx f x 所以的单调递增区间是 的单调递减区间是 f x t 2 t f x 2 t t 所以所以在在内存在零点内存在零点 f x 1 2 t 若若 1 2 t 3 7 1 24 t ftt 3 7 10 4 t 所以所以在在内存在零点内存在零点 所以所以 对任意对任意 在区间在区间 0 1 内内 0 10 ft f x 0 2 t 0 2 t f x 均在零点均在零点 综上综上 对任意对任意 在区间在区间 0 1 内均在零点内均在零点 0 t f x 命题意图命题意图 本小题主要考查导数的几何意义 利用导数研究函数的单调性 曲线的切线 方程 函数的零点 解不等式等基础知识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 54 2011 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 17 17 请你设计一个包装盒 如图所示 abcd 是边长为 60cm 的正方 形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得 四个点重合于图中的点 p 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 e f 在 ab 上是abcd 被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点 设 ae fb cm x x t 2 t t 2 t fx f x 1 若广告商要求包装盒侧面积 s cm 最大 试问应取何值 2 x 2 若广告商要求包装盒容积 v cm 最大 试问应取何值 并求出此时包装盒的高 3 x 与底面边长的比值 p 55 2011 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 19 19 已知 a b 是实数 函数 23 bxxxgaxxxf 和是的导函数 若在区间上恒成立 则称 x f x g xgxf0 xgxfi 和在区间上单调性一致 xf xgi 1 设 若函数和在区间上单调性一致 求实数 b 的取值范围 0 a xf xg 1 2 设且 若函数和在以 a b 为端点的开区间上单调性一致 0 aba xf xg 求 a b 的最大值 解析 1 考察单调性概念 导数运算及应用 含参不等式恒成立问题 中档题 2 综 合考察分类讨论 线性规划 解二次不等式 二次函数 含参不等式恒成立问题 导数及 xx ef ab dc 其应用 化归及数形结合的思想 难题 1 因为函数和在区间上单调性一致 所以 xf xg 1 即 1 0 xfx g x 1 x0 x 2 3 a 2x b 0 1 0 ax 2x b 即0 1 2 axb b2x 当时 因为 函数和在区间 a b 上单调性一致 所以 0ab xf xg 0 xa bfx g x 即而 x 0 时 不符合 x0 xa b 2 2x b 3 a 0 b x2 3 a 2x b ab0 y 0 函数f x 满足 f x y f x f y 的是 c a 幂函数 b 对数函数 c 指数函数 d 余弦函数 解析 本题考查幂的运算性质 yxfaaayfxf yxyx 20102010 辽宁文数 辽宁文数 4 已知0a 函数 2 f xaxbxc 若 0 x满足关于x的方程 20axb 则下列选项的命题中为假命题的是 a 0 xr f xf x b 0 xr f xf x c 0 xr f xf x d 0 xr f xf x 解析 选 c 函数 f x的最小值是 0 2 b ff x a 等价于 0 xr f xf x 所以命题c错误 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 7 若曲线 2 yxaxb 在点 0 b处的切线方程是 10 xy 则 a 1 1ab b 1 1ab c 1 1ab d 1 1ab 解析解析 a a