广东省佛山一中高三数学上学期9月月考试卷 理（含解析）.doc

广东省佛山一中2015届高三上 学期9月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，总分40分；每个小题仅有一个最恰当的选项，请将你的答案填涂在答题卡上）1（5分）已知全集u=r，集合a=1，2，3，4，5，b=3，+），则图中阴影部分所表示的集合为（）a0，1，2b0，1c1，2d12（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，z1=1+2i，则z1z2=（）a4+5ib4ic5id53（5分）下列说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”b命题“x0，x2+x10”的否定是“x00，x02+x010”c命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题d若“pq”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题4（5分）若x（2，4），则下列结论正确的是（）a2xx2log2xbx2log2x2xclog2xx22xdx22xlog2x5（5分）设函数f（x）（xr）满足f（x+2）=f（x）+2当0x2时，f（x）=1，则f=（）a2013b2014c2015d20166（5分）已知函数g（x）=|ex1|的图象如图所示，则函数y=g（x）图象大致为（）abcd7（5分）设函数d（x）=，关于函数d（x）有以下四个结论：d（x）值域为0，1；d（x）是周期函数；d（x）是单调函数；d（x）是偶函数；其中正确的结论个数为（）a0b1c2d38（5分）如图，对于曲线所在平面内的点o，若存在以o为顶点的角，使得aob对于曲线上的任意两个不同的点a、b恒成立，则称角为曲线的相对于点o的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点o的“确界角”已知曲线c：f（x）=（其中e=2.71828是自然对数的底数），o为坐标原点，则曲线c的相对于点o的“确界角”为（）abcd二、填空题：（本题共6个小题，每小题5分，共30分，请将你的答案写在答卷上相应位置）9（5分）=10（5分）dx=11（5分）已知函数f（x）=+（a1）x（ar）是区间（1，4）上的单调函数，则a的取值范围是12（5分）若函数f（x）=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）3恰有两个零点，则k的取值范围为13（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是14（5分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点p（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）b是奇函数”则函数f（x）=x3+3x2x2图象的对称中心坐标为三、解答题：本题共6小题，共80分，请在答卷的相应位置作答）15（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1（xr）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若x0，都有f（x）c0，求实数c的取值范围16（12分）如图，abcd是边长为3的正方形，de平面abcd，afde，de=3af，be与平面abcd所成角为60（）求证：ac平面bde；（）求二面角fbed的余弦值17（14分）某公司从一批产品中随机抽出60件进行检测如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，样本数据分组为96，98），98，100），100，102），102，104），104，106（1）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这60件抽样产品净重的平均数、众数和中位数；（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在96，98）的概率；（3）若产品净重在98，104）为合格产品，其余为不合格产品从这60件抽样产品中任选2件，记表示选到不合格产品的件数，求的分布列及数学期望18（14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x6）2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克（）求a的值；（）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大19（14分）已知函数f（x）=（ar），（1）若a=，求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间20（14分）已知函数f（x）=+lnx1（a是常数，e=2.71828）（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）当a=1时，方程f（x）=m在x，e2上有两解，求实数m的取值范围；（3）求证：nn*，ln（en）1+广东省佛山一中2015届高三上学期9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，总分40分；每个小题仅有一个最恰当的选项，请将你的答案填涂在答题卡上）1（5分）已知全集u=r，集合a=1，2，3，4，5，b=3，+），则图中阴影部分所表示的集合为（）a0，1，2b0，1c1，2d1考点：venn图表达集合的关系及运算 专题：计算题；集合分析：由已知中u为全集，a，b是集合u的子集，及图中阴影，分析阴影部分元素满足的性质，可得答案解答：解：由已知中阴影部分在集合a中，而不在集合b中，故阴影部分所表示的元素属于a，不属于b（属于b的补集）即（crb）a=1，2故选c点评：题考查的知识点是venn图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键2（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，z1=1+2i，则z1z2=（）a4+5ib4ic5id5考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题；数系的扩充和复数分析：先求出z2=2+i，再计算z1z2解答：解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，z1=1+2i，z2=2+i，z1z2=（1+2i）（2+i）=5i，故选：c点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查学生的计算能力，比较基础3（5分）下列说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”b命题“x0，x2+x10”的否定是“x00，x02+x010”c命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题d若“pq”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题考点：复合命题的真假；四种命题间的逆否关系；命题的否定 专题：简易逻辑分析：通过复合命题的定义，四种命题的关系，命题的否定，逐项进行判断解答：解：对于a：否命题为“若x21，则x1”，故a错误；对于b：否定是“x00，x02+x010”，故b错误；对于c：逆否命题为：若“sin xsin y，则xy”，是真命题，故c错误；a，b，c，都错误，故d正确，故选：d点评：本题考查了复合命题的定义，四种命题的关系，命题的否定，是一道基础题4（5分）若x（2，4），则下列结论正确的是（）a2xx2log2xbx2log2x2xclog2xx22xdx22xlog2x考点：不等式比较大小 专题：函数的性质及应用分析：如图所示，当x（2， 4），x22x4而log2x2即可得出解答：解：如图所示，当x（2，4），x22x4而log2x2综上可得：x22xlog2x故选：d点评：本题考查了指数函数、幂函数、对数函数的单调性，考查了数形结合的思想方法，属于中档题5（5分）设函数f（x）（xr）满足f（x+2）=f（x）+2当0x2时，f（x）=1，则f=（）a2013b2014c2015d2016考点：抽象函数及其应用；函数的值 专题：函数的性质及应用分析：根据递推式f（x+2）=f（x）+2进行递推，结合当0x2时，f（x）=1，从而可求出所求解答：解：因为f（x+2）=f（x）+2，所以f=f+2=f+4=f（0）+2014，而当0x2时，f（x）=1，则f=1+2014=2015故选c点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，解题的关键是熟练运用递推式f（x+2）=f（x）+2，同时考查了分析问题的能力6（5分）已知函数g（x）=|ex1|的图象如图所示，则函数y=g（x）图象大致为（）abcd考点：函数的图象 专题：导数的概念及应用分析：根据导数的几何意义：表示切线斜率，结合原函数图象可得切线斜率的变化情况，从而可得正确选项解答：解：根据函数图象可知当x0时，切线的斜率小于0，且逐渐减小，当x0时，切线的斜率大于0，且逐渐增加，故选c点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及函数图象的应用，同时考查了分析问题的能力7（5分）设函数d（x）=，关于函数d（x）有以下四个结论：d（x）值域为0，1；d（x）是周期函数；d（x）是单调函数；d（x）是偶函数；其中正确的结论个数为（）a0b1c2d3考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用；简易逻辑分析：由函数值域的定义易知错误；由函数周期性定义可判断正确；由函数单调性定义，易知错误；由偶函数定义可证明正确；解答：解：函数d（x）=，d（x）值域为0，1，故错误；d（x+1）=d（x），t=1为其一个周期，故正确；d（）=0，d（2）=1，d（）=0，显然函数d（x）不是单调函数，故错误；d（x）=d（x），故d（x）是偶函数，故正确；故正确的结论有2个，故选：c点评：本题主要考查了函数的定义，偶函数的定义和判断方法，函数周期性的定义和判断方法，函数单调性的意义，属基础题8（5分）如图，对于曲线所在平面内的点o，若存在以o为顶点的角，使得aob对于曲线上的任意两个不同的点a、b恒成立，则称角为曲线的相对于点o的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点o的“确界角”已知曲线c：f（x）=（其中e=2.71828是自然对数的底数），o为坐标原点，则曲线c的相对于点o的“确界角”为（）abcd考点：分段函数的应用 专题：导数的综合应用分析：画出函数f（x）的图象，过点o作出两条直线与曲线相切；，再由两直线的夹角公式即可得到所求的“确界角”解答：解：画出函数f（x）的图象，过点o作出两条直线与曲线相切，设它们的方程分别为y=k1x，y=k2x，当x0时，y=f（x）=，设切点为（m，n），则对应的切线方程为，令x=0，y=0，则，解得m=e，即切线斜率k1=，则切线y=k1x的倾斜角为，当x0时，函数的导数f（x）=，设切点为（a，b），（a0）则切线斜率k=f（a）=，则对应的切线方程为y（）=（xa），令a=b=0，则（）=a，即，则，解得a=，则y=k2x的斜率k2=f（）=，则切线y=k2x的倾斜角为，由两直线的夹角=，故选：b点评：本题考查新定义“确界角”及应用，考查导数的应用：求切线，利用导数的几何意义是解决本题的关键二、填空题：（本题共6个小题，每小题5分，共30分，请将你的答案写在答卷上相应位置）9（5分）=7考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值 专题：函数的性质及应用分析：根据对数函数的运算性质和幂的运算性质，化简计算即可解答：解：=+=+=+=7，故答案为：7点评：本题主要考查了对数函数和幂的运算性质，属于基础题10（5分）dx=22考点：定积分 专题：导数的概念及应用分析：根据定积分的计算法计算即可解答：解：dx=（4x+4）dx=（2x2+lnx+4x）=（8+ln2+8）（2+0+4）=10+ln2，故答案为：10+ln2点评：本题主要考查了定积分的计算，关键时求出原函数，属于基础题11（5分）已知函数f（x）=+（a1）x（ar）是区间（1，4）上的单调函数，则a的取值范围是（，25，+）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的概念及应用分析：求导，判断函数的单调性，由题意可得4a1或a11，解得即可解答：解；f（x）=+（a1）xf（x）=x2ax+（a1）=（x1）x（a1），f（x）是区间（1，4）上的单调函数，a11或a14，a2或a5故答案为（，25，+）点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性求参数的范围问题，属于基础题12（5分）若函数f（x）=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）3恰有两个零点，则k的取值范围为（2，2）考点：函数的零点与方程根的关系 专题：函数的性质及应用分析：由题意得：（x+1）2+2+k=0无解，x2+2x+k1=0有2个解，得不等式组，解出即可解答：解：f（x）=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）3=（x2+2x+k+3）（x2+2x+k1）=（x+1）2+2+k（x2+2x+k1）恰有两个零点，（x+1）2+2+k=0无解，x2+2x+k1=0有2个解，解得：2k2，故答案为：（2，2）点评：本题考查了函数的零点问题，一元二次方程的根的情况，是一道中档题13（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是10，30考点：相似三角形的性质 专题：解三角形分析：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，（0x40）矩形的面积s=x（40x），利用s300解出即可解答：解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，解得y=40x，（0x40）矩形的面积s=x（40x），矩形花园的面积不小于300m2，x（40x）300，化为（x10）（x30）0，解得10x30满足0x40故其边长x（单位m）的取值范围是10，30故答案为10，30点评：本题考查了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于基础题14（5分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点p（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）b是奇函数”则函数f（x）=x3+3x2x2图象的对称中心坐标为（1，1）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 分析：设f（x）的对称中心为点p（a，b），由f（x+a）+f（x+a）2b=0，得：（6a+6）x2+2a3+6a22a42b=0，得方程组解出即可解答：解：设f（x）=x3+3x2x2 的对称中心为点p（a，b）则函数y=f（x+a）b=（x+a）3+3（x+a）2（x+a）2b是奇函数， 由f（x+a）b=f（x+a）b，f（x+a）b=f（x+a）+b，f（x+a）+f（x+a）2b=0，（6a+6）x2+2a3+6a22a42b=0，解得：，故答案为：（1，1）点评：本题考查了函数的对称性问题，函数的奇偶性问题，考查了充分必要条件，是一道中档题三、解答题：本题共6小题，共80分，请在答卷的相应位置作答）15（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1（xr）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若x0，都有f（x）c0，求实数c的取值范围考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1可化简为2sin（2x+），从而可求函数f（x）的最小正周期；（2）先求得f（x）=2sin（2x+）在区间0，上为增函数，在区间，上为减函数，f（0）=1，f（）=2，f（）=1，所以函数f（x）在区间0，上的最大值为2，从而可求实数c的取值范围解答：解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x1，得f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为（2）因为f（x）=2sin（2x+）在区间0，上为增函数，在区间，上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=1，所以函数f（x）在区间0，上的最大值为2，最小值为1，故cf（x）max=2点评：本题主要考察两角和与差的正弦函数和三角函数的周期性及其求法，属于中档题16（12分）如图，abcd是边长为3的正方形，de平面abcd，afde，de=3af，be与平面abcd所成角为60（）求证：ac平面bde；（）求二面角fbed的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）因为de平面abcd，所以deac因为abcd是正方形，所以acbd，从而ac平面bde；（）建立空间直角坐标系dxyz，分别求出平面bef的法向量为和平面bde的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值解答：（）证明：因为de平面abcd，所以deac因为abcd是正方形，所以acbd，从而ac平面bde（5分）（）解：因为da，dc，de两两垂直，所以建立空间直角坐标系dxyz如图所示因为be与平面abcd所成角为60，即dbe=60，所以由ad=3，可知de=3，af=则a（3，0，0），f（3，0，），e（0，0，3），b（3，3，0），c（0，3，0），所以=（0，3，），=（3，0，2）设平面bef的法向量为=（x，y，z），则，即令z=，则=（4，2，）因为ac平面bde，所以为平面bde的法向量，=（3，3，0）所以cos因为二面角为锐角，所以二面角fbed的余弦值为（12分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用17（14分）某公司从一批产品中随机抽出60件进行检测如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，样本数据分组为96，98），98，100），100，102），102，104），104，106（1）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这60件抽样产品净重的平均数、众数和中位数；（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在96，98）的概率；（3）若产品净重在98，104）为合格产品，其余为不合格产品从这60件抽样产品中任选2件，记表示选到不合格产品的件数，求的分布列及数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（1）运用频率分布直方图，求解即可（2）根据概率分布关系，结合对立事件求解运算（3）求出随机变量的取值，判断求解对应的概率的值，再求期望的数值解答：解：（1）由已知图可知：（x+0.075+0.1+0.125+0.15）2=1，解得x=0.05故估计这60件抽样产品净重的平均数为970.1+990.2+1010.3+1030.25+1050.15=101.3（克）众数为101）设中位数为a，则0.1+0.2+（a100）0.15=0.5，解得，（2）恰好抽取到3件产品的净重在96，98）的概率为，故至多有2件产品的净重在96，98）的概率为10.001=0.999（3）这60件抽样产品中，不合格产品有60（0.1+0.15）=15件，合格产品有45件的可能取值为0，1，2，3，点评：本题综合考查了概率的求解，应用求解平均数、众数和中位数，96，98），分布列及数学期望等相关知识18（14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x6）2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克（）求a的值；（）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大考点：函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性 专题：应用题分析：（）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值解答：解：（）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2（）由（）可知，该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f（x）=10（x6）2+2（x3）（x6）=30（x6）（x4）于是，当x变化时，f（x）、f（x）的变化情况如下表： x（3，4）4 （4，6） f（x）+0 f（x） 单调递增极大值42 单调递减由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大点评：本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题19（14分）已知函数f（x）=（ar），（1）若a=，求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）利用导数求函数的极值，求导f（x）=，令f（x）=0，解得x=1或x=3，即可得出函数的极值；（2）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论解答：解：f（x）的定义域为r，f（x）=（1）若a=，则f （x）=，f（x）=令f（x）=0，解得x=1或x=3当x变化时，f（x），f （x）的变化情况如下表：x（，1）1（1，3）3（3，+）f（x）+00+f（x）递增极大值递减极小值递增当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=（2）设g（