高三数学一轮复习课时提能演练 7.8 立体几何中的向量方法 理 新课标.doc

2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 7.8 立体几何中的向量方法(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知直线l1的方向向量是a(2,4，x)，直线l2的方向向量是b(2，y,2)，若|a|6，且ab0，则xy的值是()(a)3或1 (b)3或1(c)3 (d)12.在正方体abcda1b1c1d1中，若e为a1c1中点，则直线ce垂直于()(a)ac(b)bd(c)a1d(d)a1a3.如图，正方形acde与等腰直角三角形acb所在的平面互相垂直，且acbc2，acb90，f、g分别是线段ae、bc的中点，则ad与gf所成的角的余弦值为()(a) (b) (c) (d)4.(2012金华模拟)正三棱柱abca1b1c1的棱长都为2，e，f，g为ab，aa1，a1c1的中点，则b1f与平面gef所成角的正弦值为()(a) (b) (c) (d)5.(2012中山模拟)如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，棱长为a，m，n分别为a1b和ac上的点，a1man，则mn与平面bb1c1c的位置关系是()(a)相交 (b)平行(c)垂直 (d)不能确定6.如图，矩形abcd中，ab3，bc4，沿对角线bd将abd折起，使a点在平面bcd内的射影o落在bc边上，若二面角cabd的大小为，则sin 的值等于()(a)(b)(c)(d)二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012九江模拟)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为.8.如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是底面a1b1c1d1的中心，则点o到平面abc1d1的距离为.9.正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角是.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012汕头模拟)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，ab5，aa14，点d是ab的中点. (1)求证：acbc1；(2)求二面角dcb1b的平面角的正切值.11.(预测题)如图，已知矩形abcd的边ab2，bc，点e、f分别是边ab、cd的中点，沿af、ec分别把三角形adf和三角形ebc折起，使得点d和点b重合，记重合后的位置为点p.(1)求证：平面pce平面pcf；(2)设m、n分别为棱pa、ec的中点，求直线mn与平面pae所成角的正弦；(3)求二面角apec的大小.【探究创新】(16分)如图，在矩形abcd中，ab2，bca，pad为等边三角形，又平面pad平面abcd.(1)若在边bc上存在一点q，使pqqd，求a的取值范围；(2)当边bc上存在唯一点q，使pqqd时，求二面角apdq的余弦值.答案解析1.【解析】选a.由题意知|a|6，得x4.由ab44y2x0得x2y2，当x4时，y3，xy1；当x4时，y1，xy3，综上xy3或1.2.【解题指南】合理建立坐标系，分别求出选项中的线段对应的向量，即可求得结果.【解析】选b.以a为原点，ab、ad、aa1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则a(0,0,0)，c(1,1,0)，b(1,0,0)，d(0,1,0)，a1(0,0,1)，e(，1)，(，1)，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,1，1)，(0,0，1)，显然00，即cebd.3. 【解析】选a.如图，正方形acde与等腰直角三角形acb所在的平面互相垂直，且acbc2，acb90，f、g分别是线段ae、bc的中点.以c为原点建立空间直角坐标系cxyz，a(0,2,0)，b(2,0,0)，d(0,0,2)，g(1,0,0)，f(0,2,1)，(0，2,2)，(1,2,1)，|2，|，2，cos，.直线ad与gf所成角的余弦值为.【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选b.【变式备选】在正方体abcda1b1c1d1中，m为dd1的中点，o为底面abcd的中心，p为棱a1b1上任意一点，则直线op与直线am所成的角是()(a) (b) (c) (d)【解析】选d.建立坐标系，通过向量的坐标运算可知amop总成立，即am与op所成的角为.4.【解析】选a.如图，取a1b1的中点e1，建立如图所示空间直角坐标系exyz.则e(0,0,0)，f(1,0,1)，b1(1,0,2)，a1(1,0,2)，c1(0，2)，g(，2).(2,0，1)，设平面gef的一个法向量为n(x，y，z)，由，得，令x1，则n(1，1)，设b1f与平面gef所成角为，则sin|cosn，|.5. 【解题指南】建立坐标系，判断与平面bb1c1c的法向量的关系.【解析】选b.分别以c1b1，c1d1，c1c所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.a1mana，m (a，a，)，n(a，a，a).(，0，a).又c1(0,0,0)，d1(0，a,0)，(0，a,0).0.是平面bb1c1c的一个法向量，且mn平面bb1c1c，mn平面bb1c1c.6.【解析】选a.由题意可求得bo，oc，ao，建立空间直角坐标系如图，则c(，0,0)，b(，0,0)，a(0,0，)，d(，3,0)，(4,3,0)，(，0，)设m(x，y，z)是平面abd的一个法向量.则，取z3，x7，y.则m(7，3).又(0,3,0)是平面abc的一个法向量.cosm，.sin.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法，其步骤是：建系，分别求构成二面角的两个半平面的法向量，求法向量夹角的余弦值，根据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法，该法就是首先利用二面角的定义，找出二面角的平面角，然后用向量法或解三角形法求其余弦值.7.【解析】cosm，n，m，n，两平面所成二面角的大小为或.答案：或【误区警示】本题容易认为两平面所成角只有，而忽视.8. 【解析】以d为原点，da、dc、dd1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，c1(0,1,1)，o(，1)，设平面abc1d1的法向量n(x，y，z)，由，得，令x1，得n(1,0,1)，又(，0)，o到平面abc1d1的距离d.答案：9. 【解析】如图，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz. 设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)，设平面pac的一个法向量为n，可取n(0,1,1)，则cos，n，n60，直线bc与平面pac所成的角为906030.答案：3010.【解析】(1)直三棱柱abca1b1c1，底面三边长ac3，bc4，ab5，ac2bc2ab2，acbc，又acc1c，且bcc1cc，ac平面bcc1，又bc1平面bcc1，acbc1.(2)方法一：取bc中点e，过d作dfb1c于f，连接ef，d是ab中点，deac，又ac平面bb1c1c，de平面bb1c1c，又ef平面bb1c1c，b1c平面bb1c1cdeef，b1cde，又dfb1c且dedfd，b1c平面def，ef平面def，b1cef，又dfb1c，efd是二面角db1cb的平面角.ac3，bc4，aa14，def中，deef，de，ef，tanefd，二面角db1cb的平面角的正切值为.方法二：以ca、cb、cc1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，ac3，bc4，aa14，a(3,0,0)，b(0,4,0)，c(0,0,0)，d(，2,0)，b1(0,4,4)，(，2,0)，(0,4,4)，平面cbb1c1的法向量n1(1,0,0)，设平面db1c的法向量n2(x0，y0，z0)，则n1，n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角dcb1b的大小则由令x04，则y03，z03，n2(4，3,3)，cosn1，n2，则tann1，n2.二面角db1cb是锐二面角，二面角db1cb的平面角的正切值为.【变式备选】(2012吉林模拟)如图，已知四棱锥pabcd的底面abcd是边长为2的正方形，pd底面abcd，e、f分别为棱bc、ad的中点.(1)若pd1，求异面直线pb与de所成角的余弦值.(2)若二面角pbfc的余弦值为，求四棱锥pabcd的体积.【解析】(1)e，f分别为棱bc，ad的中点，abcd是边长为2的正方形dfbe且dfbedfbe为平行四边形debfpbf等于pb与de所成的角.pbf中，bf，pf，pb3cospbf异面直线pb和de所成角的余弦值为.(2)以d为原点，直线da，dc，dp分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设pda，可得如下点的坐标：p(0，0，a)，f(1,0,0)，b(2,2,0)，则有：(1,0，a)，(1,2,0)，因为pd底面abcd，所以平面abcd的一个法向量为m(0,0,1)，设平面pfb的一个法向量为n(x，y，z)，则可得即，令x1，得z，y，所以n(1，).已知二面角pbfc的余弦值为，所以得：cosm，n，解得a2.因为pd是四棱锥pabcd的高，所以，其体积为vpabcd24.11.【解析】(1)pepf1，ef，pepf，又pepc，且pcpfp，pe平面pfc，pe平面pec，平面pec平面pfc.(2)如图，建立空间直角坐标系，则a(，1,0)、e(，0,0)、n(0，0)、p(0,0，)、c(，1,0)、f(，0,0)、m(，)，(，0，)，(，1，)，易知是平面pae的法向量，设mn与平面pae所成的角为，sin|cos，|.(3)易知是平面pae的法向量，设平面pec的法向量n(x，y，z)，(，1,0)，(，0，)，n0，n0，则xy0且xz0，令x1，则y，z1，所以n(1，1)，cosn，所以二面角apec的大小为135.【探究创新】【解析】(1)取ad中点o，连接po，则poad.平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，po平面abcd.建立如图的空间直角坐标系，则p(0,0，a)，d(，0,0).设q(t,2,0)，则(t,2，a)，(t，2,0).pqqd，t(t)40.a2(t)，a0，t0，2(t