广东省佛山市顺德区均安中学高中数学 3.2.2 立体几何中的向量方法学案 新人教A版选修21.doc

广东省佛山市顺德区均安中学高中数学 3.2.2 立体几何中的向量方法学案 新人教a版选修2-1【学习目标】会建立空间直角坐标系，用空间向量方法解决异面直线所成角，线面角、面面角的问题.【探索新知】 1异面直线所成角：设异面直线所成的角的取值范围是 ，直线的方向向量分别为，两向量的夹角的取值范围是0，则： 或 终有cos |cos |=_ ，如图：2直线与平面所成角：设直线pa与平面所成的角为，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦为与关系为：_3平面与平面所成角：设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量 的夹角为，则有（图4）或 （图5） 图4 图5二面角l 的大小为(),【基础自测】2已知a(0,1,1)，b(2，1,0)，c(3,5,7)，d(1,2,4)，则直线ab和直线cd所成角的余弦值为()a b c d 3在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m和n分别为a1b1和bb1的中点，那么直线am与cn所成角的余弦值是( ) a bcd4 直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为120，则直线l与平面所成角等于()a120 b30 c60 d以上均不对2若平面的一个法向量n(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a(1,2,3)，则l与所成角的正弦值为()a b c d1平面的一个法向量n1(1,0,1)，平面的一个法向量n2(3,1,3)，则与所成的角是()a30 b45 c60 d901二面角l中，平面的一个法向量n1，平面的一个法向量n2，则二面角l的大小为() a120 b150 c30或150 d60或120【合作学习】例1已知四棱锥p-abcd，底面abcd为矩形，侧棱pa平面abcd，其中bc=2ab=2pa=6，m、n为侧棱pc上的两个三等分点.（1）求证：an平面 mbd; （2）求异面直线an与pd所成角的余弦值; （3）求二面角m-bd-c的余弦值.例2如图，已知ab平面acd，de平面acd，acd为等边三角形，adde2ab，f为cd的中点(1)求证：af平面bce； (2)求证：平面bce平面cde；(3)求直线bf和平面bce所成角的正弦值【检测反馈】3 在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，o是底面abcd的中心，e，f分别是cc1，ad的中点，那么异面直线oe和fd1所成角的余弦值等于()a b c d3在正方体abcda1b1c1d1中，o为ac，bd的交点，则c1o与a1d所成角的余弦值为()a b c d4已知三棱锥oabc的侧棱oa，ob，oc两两垂直，e为oc的中点，且oa1，oboc2，则平面eab与平面abc夹角的余弦值是_7如图所示，abcd为直角梯形，abc90，abbcaad2a，e是ad的中点，pa平面abcd，paa，则pc和be是否垂直_ (填“是”或“否”)4若一个二面角的两个面的法向量分别为m(0,0,3)，n(2,1,2)，则这个锐二面角的余弦值为_5已知pa平面abc，acbc，paac1，bc则二面角apbc的余弦值_5在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的二面角的余弦值为_12.如图，在圆锥中，已知的直径的中点（i）证明：（ii）求二面角的余弦值1如图，在圆锥po中，已知po，o的直径ab2，c是的中点，d为ac的中点(1)证明：平面pod平面pac；(2)求二面角bpac的余弦值10四面体sabc中，sa、sb、sc两两垂直，sba45，sbc60，(1)求bc与平面sab所成的角； (2)sc与平面abc所成角的正弦值13.如图5，在直棱柱（i）证明：；（ii）求直线所成角的正弦值。2013辽宁卷 如图14，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点(1)求证：平面pac平面pbc； (2)若ab2，ac1，pa1，求二面角cpba的余弦值图1418解： (1)证明：由ab是圆的直径，得acbc.由pa平面abc，bc平面abc，得pabc.又paaca，pa平面pac，ac平面pac，所以bc平面pac.因为bc平面pbc，所以平面pbc平面pac.(2)方法一：过c作cmap，则cm平面abc.如图，以点c为坐标原点，分别以直线cb，ca，cm为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系因为ab2，ac1，所以bc.因为pa1，所以a(0，1，0)，b(，0，0)，p(0，1，1)故(，0，0)，(0，1，1)设平面bcp的法向量为n1(x，y，z)则所以不妨令y1，则n1(0，1，1)因为(0，0，1)，(，1，0)，设平面abp的法向量为n2(x，y，z)，则所以不妨令x1，n2(1，0)于是cosn1，n2，所以由题意可知二面角cpba的余弦值为.2.【广东汕头金山中学2013-2014高二下期末考试数学理试题】（本小题14分）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，分别为的中点.（）求证:平面平面;（）求二面角的平面角的大小.5.【山东省潍坊市重点中学2013-2014学年高二下学期入学考试数学试题】（14分）在正方体中，如图、分别是 ，cd的中点，（1）求证：；（2）求 1.直三棱柱abca1b1c1中，底面abc中，ca=cb=1，bca=90，棱aa1=2，m、n分别为a1b1、a1a的中点.(1)求的长；(2)求的值；(3)求证：a1bc1m.(1)解：以c为原点建立空间直角坐标系oxyz.依题意得b(0, 1, 0), n(1, 0, 1).(2)解：依题意得a1(1, 0, 2), b(0,