求数列通项公式的各种方法(非常全).doc

龙文教育-您值得信赖的专业化个性化辅导学校龙文教育个性化辅导授课教案教师： 学生： 时间： 年 月 日 段课题：数列的通项公式教学目标：掌握数列通项公式的求法教学重难点：构造等差等比数列一、教学内容：一、利用例1若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数，.求数列的通项公式；解： 2分 当 当4分练习：1. 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 解: 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ， anan1=5 (n2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3 2设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：解：（I），解得：所以数列是公比为4的等比数列所以：得： （其中n为正整数）（II）所以： 二、构造等差数列例2、 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。例3已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以三、累加法例4、 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例5、 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例6、已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。四、累乘法例7、 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例8、已知数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得则故所以由，则，又知，则，代入得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。五.构造等比数列或例9、已知数列满足求数列的通项公式；解：是以为首项，2为公比的等比数列。即练习.已知数列满足，且。（1）求；（2）求数列的通项公式。解：（1）（2）六、待定系数法例10、已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例11 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 将代入式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入式，得 由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例13、构造数列，使其为等比数列。 例：已知数列满足，求的通项公式。解：设 ，即则 与 比较后的得 . 或 .当时，是以为首项，2为公比的等比数列。 (). 经验证，n=1时适合上式，. 同理，当时，也得到. 综上知.七、对数变换法例14、 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得 由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。八、迭代法例15、已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。九、数学归纳法例16、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法例17、已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。十一、倒数法数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出1构造数列，使其为等差数列。 （形式：）例18、已知数列满足 ，求证：是等差数列，并求的通向公式。解： ，即 是首项为1，公差为3的等差数列。 .2. 构造数列，使其为等比数列。（） 例19、在数列中，已知，求证：数列的通项公式。 解：由可知，对，. ，即.又 . 数列是首项为，公比为的等比数列. . 例20、设数列满足求解：原条件变形为两边同乘以得.4、 课堂答疑：5、 课后小结：六、课后作业： 七、学生评价： 特别满意 满意 一般 差 学生签字： 八、教师评定：1、学生上次作业评价： 好 较好 一般 差2、学生本次上课情况评价： 好 较好 一般 差 教师签字： 龙文教育教务处： 学生作业：教师： 学生： 时间： 2012 年 月 日1、 在数列中， =1, (n+1)=n，求的表达式。2、 已知数列中，前项和与的关系是 ，试求通项公式。3、 已知数的递推关系为，且求通项。4、 在数列中，,，求。5、 已知数列中且（），求数列的通项公式。6、已知数列的前n项和，其中是首项为1，公差为2的等差数列.（1）求数列的通项公式；7、已知等差数列an的首项a1 = 1，公差d 0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项 （）求数列an与bn的通项公式；8、已知数列的前项和为，且满足（）求数列的通项公式；10、数列的前项和为，（）求数列的通项；11、已知数列和满足：，（），且是以为公比的等比数列（I）证明：；（II）若，证明数列是等比数列；12、设数列an的前项的和Sn=（an-1） (n)()求a1；a2； ()求证数列an为等比数列14、已知数列的前n项和Sn满足()写出数列的前3项 ()