（试题 试卷 真题）直线与圆的位置关系1

直线与圆的位置关系一、选择题1如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则PCA=（ ）A30B45C60D67.5CDAOPB第13题图【答案】D【思路分析】如图：PD切O于点C，OCPD，又OC=CD，COD=45，连接AC，AO=CO，ACO=22.5，PCA=90-22.5=67.5故选D【答案】D【点评】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OCPD，然后进行计算求出PCA的度数1.如图(六)，为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，平分BAD且交于F点。若ADE，则AFB的度数为何？(A) 97(B) 104(C) 116(D) 142【分析】：利用弦切角定理可得ABD=ADE，BD是圆的直径，所以BAD=，BAF=，利用内角和定理可得AFB值。【答案】：C【点评】：本题考查了三角形内角和定理、直径所对的圆周角等于直角、弦切角等知识点。难度中等3.图(十四)中，、分别切圆O1于A、D两点，、分别切圆O2于B、E两点。若1=60，2=65，判断、的长度，下列关系何者正确？(A) (B)(C) (D)【分析】：1=60，2=65，ABC= ABBCAC 由切线长定理可知 AC=CD BC=CE 【答案】：A【点评】：本题考察了三角形内角和定理、切线长定理，大边对大角。难度中等DCP第13题图ABO4.如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则PCA=（ ）A30B45C60D67.5【解题思路】PD切O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD得COD=45、PCO=90。再由OA=OC，及外角知识得ACO=22.5；又PCA+ACO=90，所以PCA=90-ACO=67.5。另外也可考虑直径条件连结BC求解。【答案】D【点评】本题切线的性质和等边对等角及外角、余角等边角之间的关系。只要充分挖掘条件和图形中边角的内在联系就可顺利求解。难度较小。1.如图，在平面直角坐标系中，P的圆心是（2，a）(a2)，半径为2，函数y=x的图象被P的弦AB的长为，则a的值是ABCD(第6题)ABBPxyy=x【解题思路】由图形易知半径为2，再根据垂径定理可求出a.【答案】B【点评】本题在直角坐标系中考查了直线和圆的位置关系及圆的有关性质，是一道好题.11如图，PA、PB是O的切线，AC是O的直径，P=50，则BOC的度数为A50 B25 C40 D60【解题思路】由PA、PB是O的切线，根据切线的性质得到OAP=OBP=90，再根据四边形的内角和为360可得到AOB，而AC是O的直径，根据互补即可得到BOC的度数【答案】PA、PB是O的切线，OAP=OBP=90，而P=50，AOB=360-90-90-50=130，又AC是O的直径，BOC=180-130=50故选A【点评】本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；也考查了四边形的内角和为360难度中等2.如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，DC切O于点C，若A=25，则D等于（）A. 20 B. 30 C. 40 D. 50ABDOC【解题思路】连结OC，因为A=25则DOC=2A =50，又因为DC切O于点C，知DCO=90，所以D=90-50=40，故选项C正确，其余选项不正确.【答案】C【点评】本题考查了圆的切线的性质，解此类问题常见辅助线的作法是作过切点的半径难度较小二、填空题如图，从O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC若A26，则ACB的度数为 （第17题）【解题思路】连接OB，因为AB是O的切线，点B是切点，所以ABO90A26，所以AOB64因为OB=OC，所以OCBOBCAOB32，即ACB32【答案】32【点评】本题主要考查了圆的切线的性质和三角形的角的有关计算解答此类几何知识的综合运用问题，要熟练掌握几何知识难度中等偏上如图，已知AB是O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与O相切，切点为D，若CD=，则线段BC的长度等于 . 【解题思路】连接OD,设圆的半径为r, 因为CD与O相切, AC=3BC，根据三角形知识解得答案.【答案】1【点评】这是圆与三角形相结合的题目，理清它们之间的关系是解题的关键.1.如图，已知PA、PB分别切O于点A、B，点C在O上，BCA，则P 。BCPOA【解题思路】连结OA、OB, PA、PB是O的切线，OAP=OBP=,则P=,BCA,所以。【答案】【点评】本题考查了圆的切线的性质和圆周角与圆心角关系等知识点，通过连结过切点的半径，建起圆周角与圆心角联系的桥梁，从而达到解题的目的。难度中等。3.如图，AB与O相切于点B，AO的延长线交O于点C若A=40，则C=_题9图BCOA【解题思路】连接OB，由AB与O相切知：OBAB，所以AOB=90-A=50，再根据圆半径相等可得C=OBC，利用外角性质得：AOB=OBC+C，即C=25.【答案】25【点评】过切点连半径是在直线与圆相切中常见的辅助线通过作出辅助线，构造直角三角形，从而解决问题难度中等ODCBA（第18题）P1.如图，P是O的直径AB延长线上的一点，PC与O相切于点C，若P=20，则A=_.【解题思路】根据圆的切线性质可知，PCOC，于是由直角三角形两锐角互余，COA=90-20=70.因为AOC为等腰三角形，据三角形外角可求出A=35.【答案】35【点评】本题涉及到圆的切线性质，三角形内角和与外角等知识考查.本题运用圆的切线性质是关键，圆的切线是圆的重点内容之一，也是中考考点内容之一，该题难度较小.2.如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦AB与小半圆N相切于点F，且ABCD，AB=4，设、的长分别为x、y，线段ED的长为Z，则Z（x+y）的值为_. 【解题思路】联系课本中 的解题思路,可过点M作MQAB于点Q,则有22+()2=()2,即x+y=,而Z=ED=-=,所以Z（x+y）的值为=8.【答案】8【点评】本题以课本原题为母题进行变式，巧妙地考查了垂径定理，勾股定理和圆的周长公式等其中，恒等变形是解题的关键.难度较小13如图，PA,PB是O是切线，A,B为切点， AC是O的直径，若BAC=250，则P= _度。【解题思路】连结OP，由切线长定理，切线性质，及三角形性质可得：【答案】50【点评】利用切线的性质时，常连结圆心与切点。从圆外一点引圆的两条切线时应考虑到圆切线长定理。10如图，CB切O于点B，CA交O于点D且AB为O的直径，点E是上异于点A、D的一点若C40，则E的度数为 . 【解题思路】连接BD，则ADB90，ABDE.因为CB切O于点B，所以ABC=90.因为C40，所以BAC50.所以ABDE40【答案】40【点评】本题考查了圆周角性质:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90以及切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径三、解答题如图，在ABC中，C= 90，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F（1）若AC=6，AB= 10，求O的半径；（2）连接OE、ED、DF、EF若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由【解题思路】第（1）题连结OD，证OBDABC，根据对应线段成比例列出方程即可求解；第（2）题先证四边形OFDE是平行四边形，在利用邻边相等可知其为菱形。证其为平行四边形时可以利用“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半”得ODE=DOB=60，可得ODE是等边三角形，所以DE=OF，所以四边形OFDE是平行四边形也可证RtAEFRtODB，所以ED=FB= OF，所以四边形OFDE是平行四边形难度中等【答案】解：（1）连接OD. 设O的半径为r. BC切O于点D，ODBC. C=90，ODAC，OBDABC. = ，即 = . 解得r = ，O的半径为. （2）四边形OFDE是菱形. 四边形BDEF是平行四边形，DEF=B.DEF=DOB，B=DOB.ODB=90，DOB+B=90，DOB=60. DEAB，ODE=60.OD=OE，ODE是等边三角形. OD=DE.OD=OF，DE=OF.四边形OFDE是平行四边形. OE=OF，平行四边形OFDE是菱形.【点评】本题综合考查了圆的切线的性质、全等三角形、相似三角形与方程、平行四边形以及菱形的相关知识。圆中已知切线，作切点所在的半径是常见的做辅助线的方法。第（2）中求解时要充分利用平行四边形与圆的基本性质，仔细分析图形，找出其中相等的线段求解已知AOB60，半径为3cm的P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C（1）P移动到与边OB相切时（如图），切点为D，求劣弧的长；（2）P移动到与边OB相交于点E，F，若EF4cm，求OC的长；【解题思路】对于（1），连接PC，PD，则可求出CPD120，用弧长公式，可求得劣弧的长；对于（2），用垂径定理及勾股定理可求出点P到OB的距离，以OC为直角边构造直接三角形，利用三角函数可以求出OC的长。【答案】解：（1）连接PC，PD（如图） OA，OB与P分别相切于点C，D PDOPCO90，CODBPA 又PDOPCOCPDAOB360AOB60CPD120l2 （2）可分两种情况 如答图2，连接PE，PC，过点P作PMEF于点M，延长CP交OB于点NEF4，EM2cm在RtEPM中，PM1AOB60，PNM30PN2PM2NCPNPC5在RtOCN中，OCNCtan305(cm) 如答图3，连接PE，PC，PC交EF于点N，过点P作PMEF于点M由上一种情况可知，PN2，NCPCPN1在RtOCN中，OCNCtan301(cm) 综上所述，OC的长为cm或cm【点评】本题考查了切线的性质、弧长公式、三角函数、垂径定理及勾股定理等综合应用能力，考察运动观点及分类思想方法。是一道有较好区分度的综合题目。难度中等。 (本题满分10分) 如图，AD是O的弦，AB经过圆心O，交O于点CDAB=B=30(1)直线BD是否与O相切?为什么?(2)连接CD，若CD=5,求AB的长【解题思路】（1）由题意，直线BD与O有公共点D，故连接OD，通过判断OD与BD是否垂直来判断BD是否圆的切线。DAB=30，由“同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍”得DOB=60又B=30ODB=90，即ODBD，故BD是O的切线；（2）由于直径所对的圆周角是直角，又DAB=30，得AC=2CD=10，则OA=OD=5，又B=30，所以BO=2OD=10，故AB=15。【答案】（1）连接OD，DAB=30，DOB=60，又B=30ODB=90，即ODBD，故BD是O的切线；（2）连CD，则ADC=90，又DAB=30，得AC=2CD=10，则OA=OD=5，又B=30，所以BO=2OD=10，故AB=15。【点评】本例考查圆的有关性质的应用和切线的判定方法，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法。难度中等。1. 如图，已知直线交O于A、B两点，AE是O的直径,点C为O上一点，且AC平分PAE，过C作，垂足为D.(1) 求证：CD为O的切线；(2) 若DC+DA=6，O的直径为10，求AB的长度.【解题思路】(1)连接OC，只要证明OCCD，根据切线的判定定理即可得：CD为O的切线. (2)在(1)的求解基础上，观察图形，过点O作弦AB的垂线段OF，即可得到矩形，还可以用垂径定理，同时又能构造出求AB长的直角三角形，因此这条辅助线的作出解题的关键.【答案】（1）证明：连接OC，因为点C在O上，OA=OC，所以 因为，所以，有.因为AC平分PAE，所以所以又因为点C在O上，OC为O的半径，所以CD为O的切线.（2）解:过O作，垂足为F，所以，所以四边形OCDF为矩形，所以 因为DC+DA=6，设,则因为O的直径为10，所以，所以.在中，由勾股定理知即化简得，解得或x=9. 由，知，故.从而AD=2，因为，由垂径定理知F为AB的中点，所以.【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理、垂径定理等知识，是一道集推理和计算为一体的平面几何题，解题策略的选择和方程思想的运用也是考查的重点.难度较大.5. （2011清远，22，8分）如图7，AB是的直径，AC与相切，切点为A，D为上一点，AD与OC相交于点E，且（1）求证：; （2）若AO=5，AD=8，求线段CE的长。【解题思路】已知AC与相切可得：,则,又有，则, AB是的直径得：。则，所以。由（1）中，得AOEABD，得,在RtABD中，,则得OE=3由题易证：ABDCOA,得得CO= ,即得CE长【答案】（1）证明：AC与相切 ，则 ， AB是的直径， （2）解：由（1）中，得AOEABD，得在RtABD中，,则得,ABDCOA，即，得CO= 【点评】本题综合考查了平行线性质、切线的性质、圆周角定理推论、勾股定理、相似三角形等内容。第（1）小题属于常规经典题型，第（2）小题综合运用了两次相似三角形的判定和性质。综合性较强，难度较大。6.如图，已知O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）求BAC的度数；求ABC面积的最大值（参考数据：sin60=，cos30=，tan30=）【解题思路】（1）BAC是一个圆周，要求BAC的度数，可利用圆周角定理，先求出圆心角BOC的度数， 结合已知条件，可以过点O作OD垂直于BC，由垂径定理以及边角之间的关系，得DOC=60，所以BAC=60，（2）点A是个动点，但ABC的边BC不变，要求面积的最大值，只有当点A到BC的距离最大时，即当点A在优弧BC的中点时，由（1）可知此时ABC是等边三角形【答案】（1）过点O作ODBC于点D, 连接OA.因为BC=，所以CD=.又OC=2，所以=，即=，所以DOC=60.又ODBC，所以BAC=DOC=60.（2）因为ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，ABC面积的最大值,即点A是的中点时，ABC面积的最大值.因为BAC=60，所以ABC是等边三角形，在RtADC中，AC=，DC=,所以AD=3.所以ABC面积的最大值为3=3.【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊角的三角函数值以及运动中的最值问题，有关弦的问题常作弦心距转化为直角三角形解决，在解题过程中要注意点的坐标与线段的长之间互相转化难度中等，2.如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.（1）请完成如下操作：以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.(2)请在（1）的基础上，完成下列问题：写出点的坐标：C 、D ；D的半径= （结果保留根号）；若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的地面面积为 （结果保留）；若E（7,0），试判断直线EC与D的位置关系并说明你的理由.【解题思路】（1）C（6，2），弦AB，BC的垂直平分线的交点得出D（2，0）；（2）OA，OD长已知，OAD中勾股定理求出D的半径=2 ；（3）求出ADC的度数，得弧ADC的周长，求出圆锥的底面半径，再求圆锥的底面的面积；（4）CDE中根据勾股定理的逆定理得DCE=90，直线EC与D相切【答案】（1）解：C（6，2）；D（2，0）；.（2）解：D的半径= = =2；（3）解：AC= =2 ，CD=2 ，ADC=90扇形ADC的弧长= = ，圆锥的底面的半径= ，圆锥的底面的面积为（ ）2= ；（4）直线EC与D相切证明：=25，DCE=90直线EC与D相切【点评】本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，综合性较强，圆的圆心D的确定是关键难度中等.3.已知：如图，在ABC中，BC=AC，以BC为直径的O与边AB相交于点D，DEAC，垂足为点E求证：点D是AB的中点；判断DE与O的位置关系，并证明你的结论；若O的直径为18，cosB =，求DE的长【解题思路】（1）连接CD,则CD，由等腰三角形三线合一可知点D是AB的中点。（2）D是圆上一点“连半径，证垂直”，连接OD，则DO是ABC的中位线，DOAC，所以DE 即DE是O的切线。（3）由cosB =，可得BD=6，cosA=，则AD=6，在中利用边角关系可求出DE。【答案】（1）证明：连接CD,则CD， 又AC = BC， CD = CD， AD = BD ， 即点D是AB的中点（2）DE是O的切线 理由是：连接OD, 则DO是ABC的中位线，DOAC ， 又DE；DE 即DE是O的切线；（3）AC = BC， B =A ， cosB = cosA =， cosB =， BC = 18，BD = 6 ， AD = 6 ， cosA = ， AE = 2，在中，DE=【点评】本题主要考查与圆有关的证明与计算，涉及到等腰三角形三线合一、中位线定理、锐角三角函数等知识，关键在于结合图形分析问题，同时要根据题的特征作出适当的辅助线，如本题要判定DE与O的位置关系，我们由图初步判定相切，进而想到连接OD的辅助线。难度中等。图922（2011辽宁大连，22，9分）如图9，AB是O的直径，CD是O的切线，切点为C，BECD，垂足为E，连接AC、BCABC的形状是_，理由是_；求证：BC平分ABE；若A60，OA2，求CE的长【解题思路】（1）直径所对圆周角是直角；（2）欲证1=2，只需证1、2都和3相等即可（3）根据条件在RtABC求出BC的长度，再在RtBEC中求出CE的长度即可。【答案】（1）直角三角形，直径所对圆周角是直角；（2）BECD，CEB=90，CD为切线，OCDE，OCD=90CEB=OCDOCBE，2=3，OC=OB，1=3，1=2，即BC平分ABE（3）在RtABC中A=60，OA2，AB=2OA=4，1=9060=30，BC=ABsin60=由（2）可知：2=1=30，在RtBCE中，CE=BEsin30=【点评】本题是圆的一个综合题，涉及到两个重要的规律，一是遇到直径想直径所对圆周角，二是遇到切线，想连接过切点的半径，再有做题过程中，遇到平行线、角平分线、等腰三角形中的两个，一定有第三个；本题还是圆与直角三角形结合点，涉及到了解直角三角形难度中等21如图，在 RtABC中,ACB90D是AB 边上的一点，以BD为直径的 0与边 AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F . ( 1 ）求证： BD = BF ;( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长 【解题思路】(1)连接OE.AC切0于点EOEAC 则AEO=ACB90AEO=ACBOEBFOED=FOE=ODODE=OEDF=ODEBD = BF(2)由（1）得：设BF = BD等于2 OEBF AOEABC 即 解得： BF 的长为8.【答案】(2)8【点评】本题主要考查了切线的性质、等角对等边、三角形相似的判定及其性质的运用，比较综合的运用了初中数学知识解决数学问题，难度中等.22本题满分12分）如图，在梯形ABCD中，AB/CD，BAD90，以AD为直径的半圆O与BC相切(1)求证：OB丄OC；(2)若AD12，BCD60，O1与半O外切，并与BC、CD相切，求O1的面积【解题思路】(1)设半圆O与直线BC的切点为F，连接切点与圆心，把BOC分成两个角FOB和FOC，然后由“HL”定理或“SSS”定理证明RtAOBRtFOB，RtCODRtCOF，得出BOC90(2)由切线长定理得出DCOBCO30，得出DC12过点O1做O1GDC，设O1Gx，由直角三角形的性质得出O1C2O1G2x由两圆的连心线经过切点，得出O1C6x，由此构建方程2x6x，解方程求出x的值，然后根据圆的面积公式计算出O1的面积【答案】（1）方法一：证明：设半圆O与BC切于F，连接OFAD是半圆O的直径，BAD90，AB与半圆O相切于点AAB/CD，BAD90，ADC90，CD于半圆O切于D半圆O与BC切于F，OFBC，BABF，FCCD在RtAOB和RtFOB中，AOBFOB（HL）FOBAOB同理RtCODRtCOF，FOCDOCFOB+FOCAOB+DOC又FOB+FOC+AOB+DOC180，BOCFOB+FOC90，即OBOC方法二：证明：设半圆O与BC切于F，连接OFAD是半圆O的直径，BAD90，AB与半圆O相切于点AAB/CD，BAD90，ADC90，CD于半圆O切于D半圆O与BC切于F，OFBC，即OFBOFC90又OAOFOD，在RtAOB和RtFOB中RtAOBRtFOB（HL）FOBAOB同理RtCODRtCOF，FOCDOCFOB+FOCAOB+DOC又FOB+FOC+AOB+DOC180，BOCFOB+FOC90，即OBOC(2)过点O1做O1GDCCD与O1相切，O1G是O1的半径DOB60，DCOBCO30AD12，OD6OC12设O1Gx，O1C2x，又O1C6x，2x6x，解得x2，即O1的半径为2O1的面积为224【点评】本题主要考查了梯形、圆的有关知识的综合运用，圆的切线经过半径的外端，且垂直于半径；过圆心作切线的垂线段，则垂线段等于半径；证明垂直，可以把相交成的角分成两个角，证明这两个角的和等于平角的一半，即可得证24（2011年内蒙古呼和浩特，24，8）如图所示,AC为O的直径,且PAAC,BC是O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,.ABCODP(1)求证:直线PB是O的切线；(2)求cosBCA的值.【解题思路】第(1)小题要证切线,须连半径,证垂直.连接、,证明即可；第(2)小题要利用平行线性质将所求问题转化为求的余弦值,在中,设出,根据已知条件用含的代数式表示边OA、OP的长,再利用三角函数求之.【答案】(1)证明:连接OB、OP (1分) 且D=DABCODPBDCPDODBC=DPOBCOPBCO=POA CBO=BOPOB=OCOCB=CBOBOP=POA又OB=OA OP=OPBOPAOPPBO=PAO又PAACPBO=90直线PB是O的切线 (4分)(2)由(1)知BCO=POA设PB,则又又BCOPcosBCA=cosPOA= (8分)(注:其他解法依据情况酌情给分)【点评】本题以基本图形:三角形与圆相结合为背景,综合考查了圆的切线的判定定理、平行线的判定与性质、三角形的相似与全等、等腰三角形性质、锐角三角函数、勾股定理等知识,知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力.2个小题设问方式较常规,为学生熟知,能让学生正常发挥自己的思维水平.对于在几何图形的证明与求解中,辅助线的添加成为部分学生的一大难题,本题中的2条辅助线添法是关键,就这2条辅助线就可以将中下层面的学生拒之题外.难度较大.29如图8所示P是O外一点PA是O的切线A是切点B是O上一点且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q （1）求证：PB是O的切线； （2）求证： AQPQ= OQBQ； （3）设AOQ=若cos=OQ= 15求AB的长 _Q_P_O_B_A图8【解题思路】1）利用切线的定义证明切线2） 利用相似三角形证明3） 利用三角函数【答案】（1）证明：如图，连结OP PA=PB，AO=BO，PO=PO APOBPO PBO=PAO=90 PB是O的切线 （2）证明：OAQ=PBQ=90 QPBQOA 即AQPQ= OQBQ （3）解：cos= AO=12 QPBQOA BPQ=AOQ= tanBPQ= PB=36 PO=12 ABPO= OBBP AB=_Q_P_O_B_A图8【点评】本题考查了相似三角形、切线的判定、锐角三角函数等相关知识24.如图（13），D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDA=CBD.(1)求证:CD是O的切线;(2)过点B作O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tanCDA=,求BE的长【解题思路】：(1)连接OD，只要证明ODCE，即可说明CD为切线；（2）根据已知条件可判断CADCDB；连接OE，可得：CDA=BEO,设OB=2x,BE=3x,利用相似得出的比例关系，求出x的值。【答案】（1）证明：连接OD，CBD=BD0，线段AB是直径，ADB=900，ADO+ODB=900，又CDA=CBD，CBD=BD0，CDA+BD0=900，即CDO=900，CD是O的切线;(2)CDA=CBD.C是公共角，CADCDB,CD2=CACB,连接OE，BE是O的切线，tanCDA=,设OB=2x,BE=3x,CD2=6(6-4x)=36-24x,又CODCEB,=,即16=36-24x,解得：x=,BE=2x=2.5.【点评】本题是一道圆与三角形的综合性题目，解题的关键是借助辅助线构建新的直角三角形，推出角的关系，利用三角形的相似，得出比例关系式，利用三角函数的边角关系，设出边的长度，代入比例式运算求值。本题难度较大。2.如图，PA为O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交O于点B.延长BO与O交于点D，与PA的延长线交于点E.（1）求证：PB为O的切线；（2）若tanABE=，求sinE的值.分析：判定切线的方法及锐角三角函数之间的关系。答案：（1）证明：连接OAPA为O的切线，PAO=90OAOB，OPAB于CBCCA，PBPAPBOPAOPBOPAO90PB为O的切线（2）解法1：连接AD，BD是直径，BAD90由（1）知BCO90ADOPADEPOEEA/EPAD/OP 由ADOC得AD2OC tanABE=1/2 OC/BC=1/2，设OCt,则BC2t,AD=2t由PBCBOC，得PC2BC4t，OP5tEA/EP=AD/OP=2/5，可设EA2m,EP=5m,则PA=3mPA=PBPB=3msinE=PB/EP=3/5（2）解法2：连接AD，则BAD90由（1）知BCO90由ADOC，AD2OC tanABE=1/2,OC/BC=1/2,设OCt，BC2t，AB=4t由PBCBOC，得PC2BC4t，PAPB2t 过A作AFPB于F，则AFPB=ABPCAF=t 进而由勾股定理得PFtsinE=sinFAP=PF/PA=3/5点评：本题难度中，是圆与直角三角形的综合题 。1（本小题满分8分）如图12，ABC内接于O，CA=CB，CDA