（试题 试卷 真题）【解析版】北京市丰台区2013年中考数学一模试卷

北京市丰台区2013年中考数学一模试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1（4分）（2013丰台区一模）2的倒数是（）A2B2CD考点：倒数分析：根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数解答：解：2（）=1，2的倒数是故选D点评：主要考查倒数的概念及性质倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题2（4分）（2013丰台区一模）第九届中国（北京）国际园林博览会将于2013年的5月18日至11月18日在丰台区举办据相关介绍，本届园博会在占地面积、建设规模、园区特色、标志建筑、绿色低碳等方面均超过以往任何一届，目前已有120多个国内外城市参展业界专家预测，北京园博会接待游客将达20 000 000人次，堪称园林版的“奥运会”将20 000 000用科学记数法表示为（）A2106B20106C2107D0.2108考点：科学记数法表示较大的数.分析：科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值是易错点，由于20 000 000有8位，所以可以确定n=81=7解答：解：20 000 000=2107故选C点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键3（4分）（2013丰台区一模）如图，下列水平放置的几何体中，俯视图是长方形的是（）ABCD考点：简单几何体的三视图.分析：俯视图是从物体上面看，所得到的图形解答：解：A、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误；B、圆锥的俯视图是带圆心的圆，故此选项错误；C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项错误；D、长方体的俯视图是长方形，故此选项正确；故选：D点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三视图中4（4分）（2013丰台区一模）如果一个正多边形的每个外角为36，那么这个正多边形的边数是（）A12B10C9D8考点：多边形内角与外角.分析：正多边形的外角和是360，这个正多边形的每个外角相等，因而用360除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数解答：解：这个正多边形的边数：36036=10故选B点评：本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键5（4分）（2013丰台区一模）某中学周末有40人去体育场观看足球赛，40张票分别为A区第2排1号到40号，小明同学从40张票中随机抽取一张，则他抽取的座位号为10号的概率是（）ABCD考点：概率公式.分析：由某中学周末有40人去体育场观看足球赛，40张票分别为A区第2排1号到40号，小明同学从40张票中随机抽取一张，直接利用概率公式求解即可求得答案解答：解：某中学周末有40人去体育场观看足球赛，40张票分别为A区第2排1号到40号，小明同学从40张票中随机抽取一张，抽取的座位号为10号的有1种情况，他抽取的座位号为10号的概率是：故选A点评：此题考查了概率公式的应用注意概率=所求情况数与总情况数之比6（4分）（2013丰台区一模）如图，直线AB、CD相交于点O，OECD，BOE=54，则AOC等于（）A54B46C36D26考点：垂线；对顶角、邻补角.分析：根据余角的定义、对顶角相等推知AOC=BOD=90BOE解答：解：如图，OECD，DOE=90又BOE=54，BOD=90BOE=36，AOC=BOD=36故选C点评：本题考查了垂线，对顶角、邻补角解题时，注意挖掘出隐含在题中的已知条件：由垂直得直角7（4分）（2013丰台区一模）某中学书法兴趣小组12名成员的年龄情况如下：年龄（岁）1213141516人数14322则这个小组成员年龄的众数和中位数分别是（）A15，16B13，14C13，15D14，14考点：众数；中位数.分析：众数即为出现次数最多的数，所以从中找到出现次数最多的数即可；中位数是排序后位于中间位置的数，或中间两数的平均数解答：解：12岁有1人，13岁有4人，14岁有3人，15岁有2人，16岁有2人，出现次数最多的数据是13，队员年龄的众数为13岁；一共有12名队员，因此其中位数应是第6和第7名同学的年龄的平均数，中位数为（14+14）2=14，故中位数为14故选B点评：本题考查了众数及中位数的概念，在确定中位数的时候应该先排序，确定众数的时候一定要仔细观察8（4分）（2013丰台区一模）如图，在ABC中，AB=AC=2，BAC=20动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持PAQ=100设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）ABCD考点：相似三角形的性质；动点问题的函数图象；等腰三角形的性质.专题：压轴题；动点型分析：根据ABC是等腰三角形，BAC=20，则ABC=ACB=80根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，得到QAC=P，得到APBQAC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得x与y的函数关系式，即可进行判断解答：解：ABC中，AB=AC，BAC=20ACB=80又PAQ=PAB+BAC+CAQ=100PAB+CAQ=80ABC中：ACB=CAQ+AQC=80AQC=PAB同理：P=CAQAPBQAC，即=则函数解析式是y=故选A点评：注意本题不一定要通过求解析式来解决能够根据角度的关系，联想到APBQAC是解决本题的关键二、填空题（本题共16分，每小题4分）9（4分）（2013丰台区一模）函数中，自变量x的取值范围是x2考点：函数自变量的取值范围.分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解解答：解：依题意，得x20，解得x2，故答案为：x2点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数10（4分）（2013丰台区一模）分解因式：x2yy3=y（x+y）（xy）考点：提公因式法与公式法的综合运用.分析：先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解解答：解：x2yy3，=y（x2y2），=y（x+y）（xy）点评：本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底11（4分）（2013丰台区一模）某地铁站的手扶电梯的示意图如图所示其中AB、CD分别表示电梯出入口处的水平线，ABC=135，BC的长是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是5m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.分析：此题乘电梯从点B到点C上升的高度h，即为过点C到AB延长线的垂线段CE的长，构造直角三角形解直角三角形即可解答：解：过点C作AB的延长线的垂线CE，即乘电梯从点B到点C上升的高度h，已知ABC=135，CBE=180ABC=45，CE=BCsinCBE=5sin45=5=5即h=5，故答案为：5点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，难度适中，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，并解直角三角形12（4分）（2013丰台区一模）我们把函数图象与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点如函数y=2x+1的图象与x轴交点的坐标为（，0），所以该函数的零点是（1）函数y=x2+4x5的零点是5或1；（2）如图，将边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系xOy中，且顶点A在x轴上若正方形ABCD沿x轴正方向滚动，即先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续顶点D的轨迹是一函数的图象，则该函数在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为+1考点：二次函数综合题.分析：（1）将y=0代入y=x2+4x5，得x2+4x5=0，解方程求出x的值即为所求；（2）正方形ABCD沿x轴正方向滚动时，从顶点D落在x轴上的时候开始计算，到下一次D点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，其顶点D从首次落在x轴上和第二次落在x轴上时所画出的轨迹就是函数在其两个相邻零点间的图象，画出图形，不难算出它与x轴所围区域的面积解答：解：（1）y=x2+4x5，当y=0时，x2+4x5=0，解得x=5或1故答案为5或1；（2）考察D点的运动轨迹，D点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BD为半径，旋转90，然后以C为圆心，再旋转90，这时候以CD为半径，因此最终构成图象如右所示：故其与x轴所围成的图形面积为S=12+（）2+211=+1故答案为：5或1；+1点评：本题实际上是正方形沿直线无滑动运动时有关顶点的摆线问题，本题考查了函数零点的概念及图形面积的计算，充分考查学生分析问题和解决问题的能力，是一道能力立意的创新题对于初中生来说，有一定难度三、解答题（本题共30分，每小题5分）13（5分）（2013丰台区一模）计算：考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值.专题：计算题分析：原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果解答：解：原式=2+4+1=点评：此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数幂，二次根式的化简，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键14（5分）（2013丰台区一模）解不等式组考点：解一元一次不等式组.专题：计算题分析：解第一个不等式得，x3，解第二个不等式得，x1，然后根据“大于小的小于大的取中间”即可得到不等式组的解集解答：解：解第一个不等式得，x3，解第二个不等式得，x1，3x1点评：本题考查了解一元一次不等式组：先分别求出各个不等式的解集，则它们的公共部分即为不等式组的解集；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的为空集”得到公共部分15（5分）（2013丰台区一模）如图，在ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD延长线及AD的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F求证：BE=CF考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题分析：利用CFBE和D是BC边的中点可以得到全等条件证明BDECDF，从而得出结论解答：证明：D是BC边上的中点，BD=CD，又分别过点B、C作AD延长线及AD的垂线BE、CF，CFBE，E=CFD，DBE=FCDBDECDF，CF=BE点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，难易程度适中，是一道很典型的题目16（5分）（2013丰台区一模）已知x3y=0，求代数式的值考点：分式的化简求值.分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，根据x3y=0得出x=3y，再代入进行计算即可解答：解：原式=，x3y=0，x=y原式=点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键17（5分）（2013丰台区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3的图象与反比例函数y=（x0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，过点A作ACx轴于点C（1）求一次函数的解析式；（2）若P为x轴上一点，且ABP的面积为10，直接写出点P的坐标考点：反比例函数与一次函数的交点问题.分析：（1）把A（1，m）代入y=求出m=4，得出A的坐标是（1，4），把A的坐标代入y=kx+3求出k即可；（2）根据三角形面积求出BP的长，根据B的坐标即可得出P的坐标解答：解：（1）把A（1，m）代入y=得：m=4，即A（1，4），把A的坐标代入y=kx+3得：4=k+3，k=1，一次函数的解析式是y=x+3；（2）把y=0代入y=x+3得：0=x+3，x=3，B的坐标是（3，0），P为x轴上一点，且ABP的面积为10，A（1，4），BP4=10，BP=5，当P在B的左边时，P的坐标是（8，0）；当P在B的右边时，P的坐标是（2，0），即P的坐标是（8，0）或（2，0）点评：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次和图象上点的坐标特征，三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力18（5分）（2013丰台区一模）列方程或方程组解应用题：去年暑期，某地由于暴雨导致电路中断，该地供电局组织电工进行抢修供电局距离抢修工地15千米抢修车装载着所需材料先从供电局出发，10分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求吉普车的速度考点：分式方程的应用.分析：先设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时，根据时间=列出方程，求出x的值，再进行检验，即可求出答案解答：解：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时，根据题意得：=，解得，x=20，经检验，x=20是原方程的解，则1.5x=30（千米/时），答：吉普车的速度为30千米/时点评：此题考查了分式方程，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，等量关系为：时间=四、解答题（本题共20分，每小题5分）19（5分）（2013丰台区一模）如图，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90，CBD=30，BCD=45，若AB=2求四边形ABCD的面积考点：勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形.分析：过点D作DEBC于E，根据等腰直角三角形的性质求出AD、BD，再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，利用勾股定理列式求出BE，判断出CDE是等腰直角三角形，然后求出CE的长，再根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解解答：解：如图，过点D作DEBC于E，AB=AD，BAD=90，AD=AB=2，BD=2=4，CBD=30，DE=BD=4=2，BE=2，BCD=45，CE=DE=2，BC=BE+CE=2+2，四边形ABCD的面积=SABD+SBCD=22+（2+2）2，=4+2+2，=2+6点评：本题考查了勾股定理，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线，把BCD分成两个直角三角形是解题的关键，也是本题的难点20（5分）（2013丰台区一模）已知：如图，在RtABC中，ABC=90，以AB为直径的O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE（1）求证：DE与O相切；（2）连结OE，若cosBAD=，BE=，求OE的长考点：切线的判定；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质.分析：（1）连接OD，BD，利用切线的性质得出ABC=2+4=90，进而得出ODE=1+3=90，即可得出答案；（2）根据相似三角形的判定与性质得出ABCADB，以及AC的长，进而得出答案解答：（1）证明：如图1所示，连接OD，BDAB是O的直径，ADB=BDC=90在RtBDC中E是BC的中点，DE=BC；DE=BE；1=2OD=OB，3=4；ABC=2+4=90ODE=1+3=90，即ODDE，DE是O的切线；（2）解：ABC=ADB，A=A，ABCADB，=，AD=3，AB=4，AC=，OE是ABC的中位线OE=AC=点评：此题主要考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，根据已知得出ABCADB是解题关键21（5分）（2013丰台区一模）某电器商场从生产厂家购进彩电、洗衣机、冰箱共480台，各种电器的进货比例如图1所示，商场经理安排6人销售彩电，2人销售洗衣机，4人销售洗冰箱前5天这三种电器的销售情况如图与表格所示电器彩电洗衣机冰箱前5天的销售总量（台）15030请你根据统计图表提供的信息，解答以下问题：（1）该电器商场购进彩电多少台？（2）把图2补充完整；（3）把表格补充完整；（4）若销售人员与销售速度不变，请通过计算说明哪种电器最先售完？考点：条形统计图；统计表；扇形统计图.专题：计算题分析：（1）由扇形统计图求出彩电所占的百分比，乘以480即可求出彩电的台数；（2）根据表格得到前5天销售洗衣机的总台数为30台，除以2人，再除以5求出每天每人的销量，补全条形统计图即可；（3）根据每天每人销量为3台，乘以5，再乘以4即可求出冰箱的总量，补全即可；（4）分别求出彩电、洗衣机及冰箱售完需要的天数，比较即可解答：解：（1）根据题意得：48055%=264（件）；（2）如图2所示；（3）如表格如下，电器彩电洗衣机冰箱前5天的销售总量（台）1503060（4）彩电售完需26465=8.8（天），冰箱售完需48030%43=12（天），洗衣机售完需 48015%23=12 （天），彩电先售完点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及统计表，弄清题意是解本题的关键22（5分）（2013丰台区一模）如图，在直角坐标系中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到M1，使得M1M0OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到M2，使得M2M1OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，OMn（1）写出点M5的坐标；（2）求M5OM6的周长；（3）我们规定：把点Mn（xn，yn）（n=0，1，2，3）的横坐标xn，纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Mn的“绝对坐标”根据图中点Mn的分布规律，请你猜想点Mn的“绝对坐标”，并写出来考点：旋转的性质；解直角三角形.专题：压轴题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质分别求出M1、M2、M3、M4的坐标，然后求M5的坐标（2）要求周长，就先根据各点的坐标求出三角形的三边长，然后再求周长（3）点Mn的“绝对坐标”可分三类情况来一一分析：当点M在x轴上时；当点M在各象限的分角线上时；当点M在y轴上时解答：解：（1）由题得：OM0=M0M1，M1的坐标为（1，1）同理M2的坐标为（0，2），M3的坐标为（2，2），M4的坐标为（4，0），M5（4，4） （4分）（2）由规律可知，OM6=8 （6分）M5OM6的周长是 （8分）（3）由题意知，OM0旋转8次之后回到x轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或x轴或y轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：当n=4k时（其中k=0，1，2，3，），点在x轴上，则Mn（，0）；（9分）当n=4k2时（其中k=1，2，3，），点在y轴上，点Mn（0，）；（10分）当n=2k1时，点在各象限的角平分线上，则点Mn（2，2）（12分）点评：本题综合考查了旋转的性质及坐标系的知识五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23（7分）（2013丰台区一模）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，4）（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换.分析：（1）确定二次函数的顶点式，即可得出二次函数的解析式（2）求出两个边界点，继而可得出n的取值范围解答：解：（1）因为M（1，4）是二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标，所以y=（x1）24=x22x3，（2）令x22x3=0，解之得：x1=1，x2=3，故A，B两点的坐标分别为A（1，0），B（3，0）如图，当直线y=x+n（b1），经过A点时，可得n=1，当直线y=x+n经过B点时，可得n=3由图可知符合题意的b的取值范围为3n1点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识，难点在第二问，关键是求出边界点时n的值24（7分）（2013丰台区一模）在ABC中，ACB=90，ACBC，D是AC边上的动点，E是BC边上的动点，AD=BC，CD=BE（1）如图1，若点E与点C重合，连结BD，请写出BDE的度数；（2）若点E与点B、C不重合，连结AE、BD交于点F，请在图2中补全图形，并求出BFE的度数考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质.分析：（1）由CD=BE，ACB=90就可以得出BCD是等腰直角三角形，故可以得出BDE的度数；（2）作AGAC且AG=CD=BE，连接BG，则四边形AEBG是平行四边形连接GD，证明RtBCDRtDAG，则GD=BD，BGD是等腰直角三角形就可以求出结论解答：解：（1）点E与点C重合，BE=BCCD=BE，CD=BCACB=90，BDE=45（2）作AGAC且AG=CD=BE，连接BG，GD，GAD=90ACB=90BCAC，GAD=ACBAGBC，四边形AEBG是平行四边形，GBAE，AFD=GBD在GAD和DCB中，GADDCB（SAS），GD=BD，GDA=DBC，DBC+BDC=90，GDA+BDC=90，GDB=90，BGD是等腰直角三角形，GBD=45，AFD=45，BFE=45点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时添加合适的辅助线是难点，证明BG