高中数学 242抛物线的几何性质同步练习 新人教B版选修21.doc

2.4.2抛物线的几何性质一、选择题1过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于p(x1，y1)，q(x2，y2)两点，若x1x23p，则|pq|等于()a4pb5pc6pd8p答案a解析|pq|x1x2p4p.2抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(5，2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为()ay22x by24xcy22x dy24x或y236x答案b解析由题意，设抛物线的标准方程为：y22px(p0)，由题意，得56，p2，抛物线方程为y24x.3与y轴相切并和圆x2y210x0外切的动圆圆心的轨迹为()a圆 b抛物线和一条射线c椭圆 d抛物线答案b解析如图，设动圆圆心坐标为(x，y)，由题意得y0(x0，p4.故选c.8已知p为抛物线y24x上一动点，记点p到y轴的距离为d，对于定点a(4,5)，则|pa|d的最小值为()a4 b.c.1 d.1答案d解析因为a在抛物线的外部，所以，当点p、a、f共线时，|pa|pf|最小，此时|pa|d也最小，|pa|d|pa|(|pf|1)|af|111.9已知直线l：yk(x1)，抛物线c：y24x，l与c有一个公共点的直线有()a1条 b2条c3条 d1条、2条或3条答案c解析将直线l和c的方程联立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.当k0时，方程只有一个解，x0.所以直线l与c只有一个公共点(0,0)，此时直线l的方程为y0，当k0时(2k24)24k40，解得k1，此时l与c有一个公共点，l与c相切综上可知，当k0或k1时，l与c有一个公共点10过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于a、b两点，o为坐标原点，则的值是()a12b12c3d3答案d解析本题考查抛物线的性质和向量数量积的有关运算设a(，y1)，b(，y2)，则(，y1)，(，y2)，则(，y1)(，y2)y1y2，又ab过焦点，则有y1y2p24，y1y243，故选d.二、填空题11抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点a(4，m)，其到准线的距离为6，则m_.答案4解析x14，p4，y28x，将a(4，m)代入，解得m4.12抛物线y22px(p0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是_答案1或9解析设抛物线上一点m坐标为(x0，y0)由题意，得y06，x010，又y2px0，解得x01或9.13(2010重庆文，13)已知过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a、b两点，|af|2，则|bf|_.答案2解析本题考查抛物线的定义，基本知识点设a点(x1，y1)，b点(x2，y2)抛物线y24x，焦点为(1，c)，准线为x1.|af|x1(1)2，所以x11.则af与x轴垂直，|bf|af|2.14抛物线y24x的弦ab垂直于x轴，若ab的长为4，则焦点到ab的距离为_答案2解析由题意，设a点坐标为(x,2)，则x3，又焦点f(1,0)，焦点到ab的距离为2.三、解答题15根据下列条件写出抛物线的标准方程(1)焦点是f(3,0)(2)准线方程是x.(3)焦点到准线的距离是2.解析(1)设抛物线的标准方程为y22px(p0)，又焦点f(3,0)，p6，抛物线方程为y212x.(2)由题意，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，又准线方程为x，p，抛物线方程为：y2x.(3)焦点到准线的距离为2，抛物线的标准方程为y24x或x24y.16求证：以抛物线y22px过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切证明如图，过a、b分别作ac、bd垂直于l，垂足为c、d，取ab中点m，作mhl于h.由抛物线定义，知|ac|af|，|bd|bf|.|ab|ac|bd|.又acdb是梯形，mh是其中位线，|mh|(|ac|bd|)|ab|.|mh|是圆m的半径，从而命题得证17如下图所示，线段ab为抛物线yx2上的动弦，且|ab|a(a为常数，且a1)，求弦的中点m到x轴的最近距离解析如下图所示，设点a，m，b的纵坐标为y1，y2，y3，点a，m，b在抛物线yx2的准线上的射影分别为a，m，b，由抛物线的定义，得|af|aa|y1，|bf|bb|y3，y1|af|，y3|bf|.又m是线段ab的中点，y2(y1y3)(|af|bf|)(|ab|)(2a1)当且仅当线段ab过焦点f时等号成立，即当定长为a的弦ab过焦点f时，点m到x轴的距离最近，最近距离为(2a1)18点p在抛物线2y2x上，点q在圆(x2)2y21上，求|pq|