1(选票问题)假定一次选举中.doc

1.(选票问题)假定一次选举中,候选人甲得a票,候选人乙得b票,且ab,试求下列事件的概率：(1)：在计票过程中,甲、乙的票数在某个时刻相等；(2)：在计票过程中,甲的票数总比乙的票数多;(3)：在计票过程中,甲的是数总不落后于乙.思考方法 本题结构比较复杂,不大容易入手.为了便于分析,我们不妨考虑一个简化问题,比如,令a=3,b=2这时,样本空间就是3张属于甲的选票和2张属于乙的选票的全排列.显然这是一个不尽相异元素的全排列问题,其排列种数为如果把样本点具体写出来,就是乙乙甲甲甲,乙甲乙甲甲,乙甲甲乙甲,乙甲甲甲乙,甲甲乙乙甲,甲乙乙甲甲,甲乙甲乙甲,甲乙甲甲乙,甲甲乙甲乙,甲甲甲乙乙.为了直观地反映事件,的情形,我们可以利用平面坐标的思想,建立样本点和平面折线的对应关系.具体地说,以横轴表示计票张数,纵轴表示计票过程中甲、乙两候选人所得票数之差；先依样本点在计票过程中的情形,在坐标平面上确定点的位置,再用线段把各点连成折线.如图3-31所示,点(0,0)表示计票起点；点(1,-1)表示第一张选票是属于乙的,甲、乙票数之差等于-1；点(2,-2)表示第二张选票也是属于乙的,这时共计了两张选票,甲、乙票数之差等于-2；点(3,-1)表示第三张选票是属于甲的,这时共计了三张选票,甲、乙票数之差等于-1；点(4,0)表示第四张选票是属于甲的,这时共计了四张选票,甲、乙票数之差等于0,即两人得票数相等；点(5,1)表示第五张选票也是属于甲的,这时共计了五张选票,甲、乙票数之差等于1.这样,图3-31的折线就形象地刻划了样本点“乙乙甲甲甲”在计票过程中的情形.同样,图3-32至10的各条折线,刻划了其余九个样本点在计票过程中的情形.经过上述处理,我们从图3-3就可以形象地看到：事件包含的样本点,它们所对应的折线,除起点外,与横轴至少有一个公共点；事件包含的样本点,它们所对应的折线,除起点外,图形全在横轴的上方,与横轴没有其余的公共点；事件的样本点,它们所对应的折线,在横轴的上方,且与横轴允许有其余的公共点.这样,从图中容易得到,的样本点数为8,的样本点数为2,的样本点数为5于是P(A)=8/10=0.8; P(B)=2/10=0.2; P(C)=5/10=0.5.分析到这里,简化问题得以解决.为了能用于指导原题的解答,我们还需对简化问题作进一步的考察.细酌题中的各个事件,从图3-3可以得到以下结论：1.在计票过程中,甲的票数总比乙少的情形是不可能发生的.事实上,如果甲的票数总比乙少,那么甲的得票总数将比乙少,与条件ab相矛盾.这就表明,事件与必为互逆事件.2.事件的样本点,对应于图3-39、10所示的折线.这两个样本点的共同特点是：甲先得一票；如果把这一票扣除,那么余下的四票就组成甲得2票、乙得2票时,事件“在计票过程中,甲的票数总不落后于乙”的样本点.这样,我们就可把事件与事件联系起来,相互转化.3.从1、2可知,解题的关键,在于推求P(A)；而计算P(A)的关键,又在于确定的样本点数.从图3-3不难看出,A的样本点可以分为两类：一类是第一张选票属于乙的;另一类是第一张选票属于甲的.前一类样本点数,相当于3张属于甲的选票和2-1=1张属于乙的选票的全排列数：后一类样本点数,似难直接推算.但从图3-3可以看出.如果把这一类样本点所对应的折线,从起点到首次触到横轴的部分,对横轴作一次反射,那么就得到第一类样本点(参考图3314与58.这就是说,两类样本点在所作的反射下是一一对应的.所以,第二类样本点数等于第一类样本点数.分析到这里,原题就不难解出了.解 依题设,样本空间就是a张屋于甲的选票与b张属于乙的选票的全排列.这是一个不尽相异元素的排列问题,排列种数为,这就是样本点的总数.(1)为了计算A的样本点数.我们把A的每个样本点表示成形如图33的折线,横标为计票张数,纵标为甲、乙票数之差；斜率为1的线段表示计票过程中甲得票,斜率为-1的线段表示计票过程中乙得票.这样,可以把A的样本点分成两类：第一类为第一张选票属于乙的,在这种场合,于某个时刻必然会出现甲、乙两人的票数相等(因为ab)；第二类为第一张选票属于甲,且在某时刻甲、乙两人的票数相等.这里,第一类样本点数,相当于a张属于甲的选票与b-1张属于乙的选票的全排列数,有种.对于第二类样本点的任一折线,从起点到首次触到横轴的部分对横轴作一次反射,其余部分保持不变,就得到第一类样本点的一条折线(图3-4).不难证明,用这样的方法可以建立起第一类与第二类样本点之间的一一对应关系.所以,第二类样本点数也是这样,事件的样本点数为于是P(A)=(2)在ab的条件下,事件是事件的逆事件,所以P(B)=1-P(A)=1-.(3)为了方便起见,我们用Ca,b记事件“在计票过程中,甲的票数总不落后于乙”;用Ba,b记事件“在计票过程中,甲的票数总比乙多”(足码a,b表示在计票过程中一共有ab张选票,其中a张属于甲的,b张属于乙的).容易看出,Ba,b的样本点,它们所对应的折线,全在横轴的上方.所以,如果把第一张属于甲的选票去掉(相当于把横轴向上平移一个单位),那么余下的折线仍在新横轴的上方,最多与新横轴有若干个公共点(图3-5),从而必是Ca-1,b的样本点.也就是说,Ca-1,b的样本点数与Ba,b的样本点数相等.因此,Ca-1,b的样本点数为.而对应的样本点总数为于是P(Ca-1,b)=.在上式中用a1替换a,即得P(C)=P(Ca,b)=.【评注】 在解题过程中,我们借助了几何直观,把每个样本点都用坐标平面上的一条折线来表示,并采用了反射的技巧,建立起事件的两类样本点之间的一一对应关系,把本来难以入手的问题,转化为容易求解的排列问题.本题涉及到较多的理论问题,深入进行考察,还可得到许多有趣的结论,有兴趣的读者可以阅读威廉费勒(William Feuer)的名著概率论及其应用(胡迪鹤等译,科学出版社1964年11月第一版).这是一个典型的古典概率问题. 利用本题的结论和思想方法,不难解答下列问题：(1)一口袋中有m个白球及n个黑球,且mn,从袋中一个个把球取出(不返回),直至把球全部取出.求在整个摸球过程中,得到相同个数黑、白球的概率. (答案：) (2)掷均匀硬币几次,求总共掷出m次正面(mn/2)且在整个投掷过程中掷出反面次数总小于正面次数的概率. (答案：)(3)剧院售票处有人排队买票,其中人只有五角钱一张的钞票,其余几人只有一元的钞票.开始售票时售票处无钱可找,而每人只买一张五角钱的票.求售票处不会找不出钱的概率.(答案：)(4)一口袋中有n个白球和n个黑球.从袋中一个个把球取出(不返回),直至球全部取出.求在摸完全部球之前,摸出的白球个数总比摸出的黑球个数多的概率. (答案：)2.