Asin（ωx+φ）的图象（2）课件2 新人教A版必修4.ppt

1 5函数y asin x 的图象 二 知识提炼 1 函数y asin x a 0 0中参数的物理意义 a x 2 函数y asin x a 0 0 的有关性质 r a a k 即时小测 1 判断 1 函数y sin x 0 的值域为 2 函数y 3sin 2x 5 的初相为5 3 函数y sin 的一条对称轴方程为x 解析 1 正确 因为sin x 1 1 故函数y sin x 的值域为 2 错误 函数y 3sin 2x 5 的初相为 5 3 错误 当x 时y sin 1 答案 1 2 3 2 函数y asin x 1 a 0 0 的最大值为5 则a a 5b 5c 4d 4 解析 选c 因为a 0 所以当sin x 1时 ymax a 1 5 所以a 4 3 函数的振幅为 周期为 频率为 解析 的振幅为 周期为 频率为答案 4 函数y sinx 1的对称中心坐标为 解析 函数y sinx 1的对称中心坐标为 k 1 k z 答案 k 1 k z 5 函数f x sin x 的图象的对称轴方程是 解析 由x k k z得x k k z 函数f x sin x 的图象的对称轴方程是x k k z 答案 x k k z 知识探究 知识点1函数y asin x a 0 0 中参数的物理意义观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 参数a 与简谐运动中哪些物理量有关 问题2 前面所学的图象变换分别与哪些物理量的变化有关 总结提升 1 对振幅 周期 频率及相位的说明 1 a 它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 称为振幅 2 t t 它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 称为周期 3 f 它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 称为频率 4 x 称为相位 当x 0时的相位 称为初相 2 简记图象变换步骤 1 由y sinx到y sin x 的图象的变换称为相位变换 2 由y sinx到y sin x的图象的变换称为周期变换 3 由y sinx到y asinx的图象的变换称为振幅变换 因此函数y sinx到y asin x 的图象的变换途径一般为 相位变换 周期变换 振幅变换 周期变换 相位变换 振幅变换 知识点2函数y asin x a 0 的性质观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 研究周期函数的性质的基本原则是什么 问题2 y asin x 的单调性 值域与u x t sinu y at的单调性 值域有什么关系 总结提升 研究函数y asin x 性质的基本策略 1 借助周期性 研究函数的单调区间 对称性等问题时 可以先研究在一个周期内的单调区间 对称性 再利用周期性推广到全体实数 2 整体思想 研究当x 时的函数的值域时 应将 x 看作一个整体 利用x 求出 的范围 再结合y sin 的图象求值域 题型探究 类型一由图象求三角函数的解析式 典例 1 2015 合肥高一检测 如图所示为函数y asin x k在一个周期内的图象 则这个函数的一个解析式为 2 已知函数f x asin x a 0 0 在一个周期内的图象如图所示 1 求函数的解析式 2 设0 x 且方程f x m有两个不同的实数根 求实数m的取值范围和这两个根的和 解题探究 1 典例1中 a k的值与最大 小 值有什么关系 该函数的周期是多少 提示 周期2 典例2中 a的值是多少 为求 可利用哪两个关系 提示 a 2 可依据点 0 1 和 0 在函数图象上列方程组求 解析 1 选d 由图象可知由得 2 所以y 2sin 2x 1 因为点在函数图象上 所以所以 k z 可取 故d正确 2 1 显然a 2 又图象过 0 1 点 所以f 0 1 所以sin 因为 所以 所以f x 2sin x 又因为在f x 的图象上 所以所以 k k z k z 又因为所以故 2 所以所求的函数的解析式为 f x 2sin 2x 2 如图所示 在同一坐标系中画出y 2sin 2x 和y m m r 的图象 由图可知 当 2 m 1或1 m 2时 直线y m与曲线有两个不同的交点 即原方程有两个不同的实数根 所以m的取值范围为 2 m 1或1 m 2 当 2 m 1时 两根和为当1 m 2时 两根和为 延伸探究 本例1中图象的最高点和最低点分别为p q pq 5 且p点坐标为 1 1 q点的纵坐标为 3 其他点坐标不知 试求函数解析式 其中 0 解析 易知a 2 k 1 设函数的周期为t 则故所以点p 1 1 的坐标代入上式 得所以 k z 2k k z 又 故 所以 方法技巧 确定函数y asin x 解析式的策略与步骤若设所求解析式为y asin x 则在观察函数图象的基础上 可按以下规律来确定a 1 由函数图象上的最大值 最小值来确定a 2 由函数图象与x轴的交点确定t 由t 确定 3 确定函数y asin x 的初相 的值的两种方法 代入法 把图象上的一个已知点代入 此时a 已知 或代入图象与x轴的交点求解 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 五点对应法 确定 值时 往往以寻找 五点法 中的第一个零点 0 作为突破口 五点 的 x 的值具体如下 第一点 即图象上升时与x轴的交点 为 x 0 第二点 即图象的 峰点 为 x 第三点 即图象下降时与x轴的交点 为 x 第四点 即图象的 谷点 为 x 第五点 为 x 2 变式训练 1 2015 黔西南高一检测 下列函数中 图象的一部分如图所示的是 解析 选d 由图象知周期所以a c不合题意 对于b当x 时y 0与图形不符 故选d 2 2015 武汉高一检测 函数f x 2sin x 0 的部分图象如图所示 则 的值分别是 解析 选a 由图象知解得 2 所以f x 2sin 2x 因为点在函数图象上 所以 所以 2k k z 即 2k k z 又所以 故选a 补偿训练 1 已知函数y asin x a 0 0 0 的部分图象如图所示 则a 解析 由图象知a 2 故所以y 2sin 又因为点 2 在函数图象上 所以所以 k z 即 2k k z 又0 所以答案 2 已知函数f x asin x x r 其中a 0 0 0 的周期为 且图象上一个最低点为m 2 求f x 的解析式 解析 由函数f x 图象上一个最低点为m 2 得a 2 由周期t 得由点m 2 在图象上 得2sin 2 即sin 1 所以 2k k z 故 2k k z 又0 所以k 1 所以函数的解析式为f x 2sin 2x 类型二图象的对称性 典例 2015 宿迁高一检测 在函数y 2sin 4x 的图象的对称中心中 离原点最近的一个中心的坐标是 解题探究 本例中函数图象的所有对称中心坐标如何求 提示 令4x k k z 求出对称中心的横坐标 纵坐标为0 解析 由4x k k z 得x k z 所以函数y 2sin 4x 图象的对称中心坐标为 0 k z 取k 1得 0 为距离原点最近的一个点 答案 0 延伸探究 1 变换条件 将本例中 sin 改为 cos 其他条件不变 结果如何 解析 由 k z 得x k z 所以函数y 2cos 4x 图象的对称中心坐标为 0 k z 取k 0得 0 为距离原点最近的一点 2 变换条件 将本例中 sin 改为 tan 其他条件不变 结果如何 解析 由 k z 得x k z 所以函数y 2tan 图象的对称中心坐标为 0 k z 取k 1得 0 为距离原点最近的一点 3 变换条件 改变问法 将本例中对称中心改为对称轴 其他条件不变 求离y轴最近的一条对称轴方程 解析 由 k z 得x k z 所以函数y 2sin 4x 图象的对称轴方程是x k z 取k 0得x 是距离y轴最近的一条对称轴 方法技巧 三角函数对称轴 对称中心的求法 补偿训练 对于函数f x 2sin 2x 给出下列结论 图象关于原点成中心对称 图象关于直线x 成轴对称 图象可由函数y 2sin2x的图象向左平移个单位长度得到 图象向左平移个单位长度 即得到函数y 2cos2x的图象 其中正确结论的个数为 a 0b 1c 2d 3 解析 选c f 0 2sin 2 0 0 故 错误 f 2sin 2 2 故 正确 y 2sin2x的图象向左平移个单位长度得y 2sin2 x 故 错误 y 2sin 2x 的图象向左平移个单位长度得y 2sin 2 x 2sin 2x 2cos2x 故 正确 延伸探究 改变问法 求本例中函数图象的对称中心坐标和对称轴方程 解析 由2x k k z 解得x k z 由2x k k z 解得x k z 所以对称中心坐标为 0 k z 对称轴方程为x k z 类型三三角函数图象性质的综合应用角度1 三角函数的奇偶性 典例 2015 孝感高一检测 将函数y sin 2x 的图象沿x轴向左平移m m 0 个单位长度后 得到一个奇函数的图象 则m的最小值为 解题探究 若函数y sin x 是奇函数 则 是什么样的角 提示 k k z 解析 选a 函数y sin 2x 的图象向左平移m个单位长度 得到函数y sin 2 x m sin 2x 2m 的图象 由于所得函数是一个奇函数 所以2m k k z 所以m k z 故当k 1时 m取最小值 延伸探究 本例条件中 奇 改为 偶 其他条件不变 结果如何 解析 所得函数y sin 2x 2m 是偶函数 则2m k k z 故m k z 当k 0时 m取最小值 角度2 三角函数的单调性 典例 2015 镇江高一检测 f x sin2 x 1 0 在区间 上为增函数 则 的最大值为 解题探究 本例中函数f x 的单调递增区间与区间 有什么关系 提示 区间 包含于f x 单调递增区间 解析 因y sinx在每个闭区间 k z 上为增函数 f x sin2 x 1 0 在每个闭区间 k z 上为增函数 依题意知 对某个k z成立 此时必有k 0 于是解得 故 的最大值为 答案 角度3 三角函数的最大 小 值问题 典例 2015 南昌高一检测 若f x 2sin x m 对任意实数t都有f t f t 且f 3 则实数m的值等于 解题探究 本例中 由f t f t 可知函数f x 图象具有什么特征 提示 x 是函数f x 图象的对称轴 解析 因为f t f t 所以x 是函数f x 图象的对称轴 所以当x 时 f x 取最大值或最小值 所以f 2 m或f 2 m 又f 3 所以m 5或m 1 答案 5或 1 方法技巧 1 正弦余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数y asin x 和余弦型函数y acos x 不一定具备奇偶性 对于函数y asin x 当 k k z 时为奇函数 当 k k z 时为偶函数 对于函数y acos x 当 k k z 时为偶函数 当 k k z 时为奇函数 2 与正弦 余弦函数有关的单调区间的求解技巧 1 结合正弦 余弦函数的图象 熟记它们的单调区间 2 确定函数y asin x a 0 0 单调区间的方法 采用 换元 法整体代换 将 x 看作一个整体 可令 z x 即通过求y asinz的单调区间而求出函数的单调区间 若 0 则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数 再求单调区间 3 求三角函数值域的常用方法 1 求解形如y asinx b 或y acosx b 的函数的最值或值域问题时 利用正 余弦函数的有界性 1 sinx cosx 1 求解 求三角函数取最值时相应自变量x的集合时 要注意考虑三角函数的周期性 2 求解形如y asin2x bsinx c 或y acos2x bcosx c x d的函数的值域或最值时 通过换元 令t sinx 或cosx 将原函数转化为关于t的二次函数 利用配方法求值域 最值即可 求解过程中要注意t sinx 或cosx 的有界性 变式训练 1 2015 全国卷 函数f x cos x 的部分图象如图所示 则f x 的单调递减区间为 解题指南 根据图象 利用五点法求出 的值 确定f x 的解析式 求出f x 的单调递减区间 解析 选d 由五点作图知 解得 所以f x cos x 令2k x 2k k z 解得2k x 2k k z 故f x 的单调递减区间为 2k 2k k z 2 若函数f x asin x 1 0 对任意实数t 都有f t f t 记g x acos x 1 则g 解析 选c 由题意知函数f x 的一条对称轴为x 因此sin 1 cos 0 因此g acos 1 1 规范解答函数y asin x 的图象和性质 典例 12分 2015 南昌高一检测 设函数f x sin 2x 0 y f x 图象的一条对称轴是x 1 求函数y f x 的单调增区间 2 画出函数y f x 在区间 0 上的图象 审题指导 1 依据x 是一条对称轴 求 依据正弦函数y sinx的单调递增区间为 2k 2k k z 求f x 的单调增区间 2 用五点法画函数y f x 在 0 上的