（试题 试卷 真题）数学归纳法

高考数学第二轮热点专题复习数学归纳法考纲指要：数学归纳法是高考考查的重点内容之一 类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法 考点扫描： 1数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，若（1）P(n0)成立(奠基)；（2）假设P(k)成立(kn0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立 2数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等 考题先知：例1试证明 不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n1,nN*且a、b、c互不相等时，均有 an+cn2bn 分析： 本题中使用到结论 (akck)(ac)0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1akc+cka 证明 (1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q0且q1)an+cn=+bnqn=bn(+qn)2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想()n(n2且nN*)下面用数学归纳法证明 当n=2时，由2(a2+c2)(a+c)2，设n=k时成立，即则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c)()k()=()k+1也就是说，等式对n=k+1也成立 由知，an+cn2bn对一切自然数n均成立 点评：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况 例2已知实数列an,满足a1=a2=a3=k, an+1=,其中k0.数列bn满足:(n=1,2,3,4,).(1)求b1,b2,b3,b4; (2)求bn的通项公式;(3)求所有的正数k,使得数列an的每一项都为整数.(1)解:经过计算可知:a4=k+1, a5=k+2,a6=.求得b1=b3=2,b2=b4=. 解(2)由条件可知:an+1an2=k+anan1,类似地有: an+2an1=k+an+1an.有: an+1an2 an+2an1= anan1 an+1an .即:an+1an2+ an+1an = anan1+ an+2an1 . 因此:bn=bn2,故:所以: bn= (nN*) . 解(3)由(2)可知:由a1=kZ ,及 a6=Z可知k=1或2. 当k=1时,为整数,利用a1,a2,a3Z,结合式,反复递推,可知a4,a5,a6,a7,均为整数. 当k=2时, 变为(3 我们用数学归纳法证明a2n1为偶数,a2n为整数(n=1,2,3,)n=1时,结论显然成立,假设n=k时结论成立,这时a2k1为偶数,a2k为整数,故为偶数, 为整数,所以n=k+1时,命题成立.故数列an是整数列.综上所述,k的取值范围是1,2. 复习智略： 例3已知函数f (x) = ax3 + bx2+ cx + d (a、b、cR)，且函数f (x)的图象关于原点对称，其图象x = 3处的切线方程为8x y 18 = 0 （1）求f (x)的解析式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）是否存在区间a，b，使得函数f (x)的定义域和值域为a，b？若存在，求出这样的一个区间a，b；若不存在，则说明理由； （3）若数列an满足：a11，an + 1(an + 1)，试比较与1的大小关系，并说明理由 解：（1）f (x)的图象关于原点对称，f ( x) + f (x) = 0恒成立，即2bx2 + 2d 0，b = d = 0又f (x)的图象在x = 3处的切线方程为8x y 18 = 0，即y 6 = 8(x 3)，(3) = 8，且f (3) = 6而f (x) = ax3 + cx，(x) = 3ax2 + c解得，故所求的解析式为f (x) = （2）由解得x = 0或x = 又由(x) = 0，得x = 1，且当x或x时，(x) 0；当x( 1，1)时，(x) 0所以，函数f (x)在， 1 和 1，上分别递增；在 1，1上递减于是，函数f (x)在，上的极大值和极小值分别为f ( 1) =，f (1) = 而 ，故存在这样的区间a，b，其中满足条件的一个区间为， （3）由（2）知(x) = x2 1，所以，有an + 1(an + 1)2 1而函数y = (x + 1)2 1 = x2 + 2x在上单调递增，所以，由a11，可知a2(a1 + 1)2 122 1；进而可得a3(a2 + 1)2 123 1；由此猜想an2n 1下列用数学归纳法给出证明：当n = 1时，a11 = 21 1，结论成立假设n = k时有ak2k 1，则当n = k + 1时，由于函数f (x) = x2 + 2x在上递增，可知，ak + 1(ak + 1)2 1(2k 1 + 1)2 1 = 22k 12k + 1 1，即n = k + 1时，结论也成立所以，对任意的nN*都有an2n 1，即1 + an2n，从而，故有 1检测评估：1 已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A 30B 26C 36D 62 用数学归纳法证明3kn3(n3,nN)第一步应验证( )A n=1B n=2C n=3D n=43、如图，五角星魅力无穷，一动点由处按顺序依次进行跳跃运动。如果动点由处运动到处时，记作“1次跳跃”，那么按此规律运动，动点进行了2008次跳跃后，该动点应在 （ ）A处 B处 C处 D处4对于函数，设f2(x)=ff(x)，f3(x)=ff2(x)，fn1(x)=ffn(x)(nN*，且n2)，令集合M=x|f2007(x)=x，xR，则集合M为A空集B实数集C单元素集D二元素集5已知，猜想的表达式为.6一次研究性课堂上，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题： 甲：函数f (x)的值域为（1，1）； 乙：若x1x2，则一定有f (x1)f (x2)； 丙：若规定对任意恒成立. 你认为上述三个命题中正确的是命题： 7 观察下列式子 则可归纳出_ 8 已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_，由此猜想an=_ 9在数列中，其中则数列的通项公式是 10 若n为大于1的自然数， 请你写出不等式中的值： （越接近越好）。 11已知函数满足，；且使成立的实数只有一个。（）求函数的表达式；（）若数列满足，证明数列 是等比数列，并求出的通项公式；（）在（）的条件下，证明：，。12已知函数，函数的图象与的图象关于点中心对称。（1）求函数的解析式；（2）如果，试求出使成立的取值范围；（3）是否存在区间，使对于区间内的任意实数，只要，且时，都有恒成立？点拨与全解：1 解析。 f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k2)时，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2)f(k+1)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于36 故选C。 2 解。 由题意知n3，应验证n=3 故选C。3周期为5，所以第2008次即为第3次，过点D处，选C。4解： ，故是以4为周期.，集合M为空集故选A。5显然选项C、D不符合题意，若，则，满足等式，故选B。6解：易证原函数是奇函数，当时，所以得甲正确；同样可证乙正确；又，依次类推，可证丙正确，故正确答案是：甲、乙、丙。7 解析 ，(nN*)(nN*)9因为，由此可猜想出数列的通项公式为。10取。证明 (1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即11解：（）由，得.由，得.由只有一解，即，也就是只有一解， .故.（），猜想，.下面用数学归纳法证明：10 当n=1时，左边=，右